13.2第2课时　三角形的内角和课件2025-2026学年沪科版(2024)八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理的证明与应用，通过“剪拼内角”动手活动引导学生直观感知结论，进而过渡到数学证明，承接命题与证明基础，为后续几何推理提供学习支架。 其亮点在于以多种证法展现转化思想，借助平行线“移角”功能培养几何直观，结合角平分线、平行线等例题锻炼推理能力，融入生活情境与方程思想提升应用意识。学生能深化理解并培养探究能力，教师可丰富教学手段提高效率。

13.2　命题与证明 第2课时　三角形的内角和 第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 三角形的内角和的证明 1 三角形三个内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 要点归纳 C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD = ∠BAC = 20°. 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 三角形的内角和定理的运用 2 【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 问题1：在△ABC 中，∠C = 90°，求 ∠A +∠B 的度数？由此你能得到什么结论？ 问题2：在△ABC 中，∠A +∠B = 90°，则∠C 度数为多少？由此你能得到什么结论？ 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠C＝ 90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠A ＋∠B＝90°， ∴∠C＝90°. 三角形内角和定理的推论1、2 3 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和推论 1： 三角形内角和推论 2： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题 叫做推论. 要点归纳 在△ABC 中， （1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ； （2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ； （3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则 ∠B = ； （4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形. 60° 65° 75° 直角 练一练 三角形内角和定理的证明及推论 1、2 三角形内角和定理的证明 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（　B　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 2. 如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，那么这个三角形的形状是（　C　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 如图，BD，CE分别是△ABC的高和角平分线，且相交于点O. 若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数为（　B　） A. 60° B. 55° C. 50° D. 40° （第3题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.将一副三角尺按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠AFD的度数是 　75°　. （第4题） 5. （2024·合肥期末）在△ABC中，AD⊥BC交线段BC于点D，∠ABC＝32°，∠CAD＝21°，则∠BAC＝ 　79°　. 75°　 79°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 方程思想在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶5∶9，请判断三角形的形状并证明. 解：△ABC是直角三角形.∵ ∠A∶∠B∶∠C＝4∶5∶9，∴ 可设∠A＝4x，∠B＝5x，∠C＝9x.∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴ 4x＋5x＋9x＝180°，解得x＝10°.∴ ∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°.∴ △ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 如图，△ABC中，∠B＝50°，点D，E分别在边AB，AC上，∠CED＝105°，则下列关于∠C与∠ADE的关系中，一定正确的是（　） A. ∠C＋∠ADE＝95° B. ∠C－∠ADE＝25° C. ∠C－∠ADE＝35° D. ∠C＝2∠ADE （第7题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E处.若∠A＝22°，则∠BDC的度数为（　C　） A. 44° B. 60° C. 67° D. 77° （第8题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝70°，AD是∠CAB的平分线，交边BC于点D，CE是△ACD的边AD上的高，则∠ECD的度数为（　C　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° （第9题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 如图，M，N是△ABC边AB，AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A＝70°，则∠1＋∠2等于（　D　） （第10题） A. 65° B. 70° C. 75° D. 85° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 如图，在△ABC中，∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A＝60°，则∠BOC的度数为（　A　） A. 140° B. 145° C. 150° D. 155° （第11题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 　360　°. （第12题） 360　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 方程思想如图，在△ABC中，∠B＋∠C＝90°，D是边BC上一点，沿线段AD折叠，使点B落在点E处（E，B两点在直线AC的两侧），当∠EAC＝40°时，∠CAD＝ 　25　°. （第13题） 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在边AB上，连接CD. 若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 　60°或1　. 60°或10° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，在△ABC中，D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F. （第15题） （1） 若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数. 解：（1） ∵ EF∥BC，∠BEF＝120°，∴ ∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，∠BDE＝∠DBC. 又∵ BD平分∠EBC，∴ ∠EBD＝∠DBC＝∠BDE＝30°.又∵ ∠BDA＝90°，∴ ∠BAD＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2） 若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD＋∠C的度数（用含α和β的代数式表示）. （第15题答案） （2） 如图，过点A作AG∥BC. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠DBC＝ ∠ABC. ∵ EF∥BC，∴ AG∥EF∥BC. ∴ ∠EDA＝∠DAG，∠DBC＝∠EDB，∠C＝∠GAC. ∴ ∠BDA＝∠EDA＋∠EDB＝∠DBC＋∠DAG＝∠DBC＋∠FAD＋∠FAG＝∠DBC＋∠FAD＋∠C＝β.∴ ∠FAD＋∠C＝β－∠DBC＝β－ ∠ABC＝β－ α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $