13.2第1课时　命题与证明课件2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“命题与证明”，系统涵盖定义、命题的概念结构（条件与结论）、真假命题、逆命题、反例及证明的必要性等核心知识点。通过观察实例讨论判断句特征等导入方式，搭建从具体语句到抽象概念的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合数学眼光抽象能力、思维推理意识和语言表达。通过典例精析练一练及费马猜想反例故事，引导学生从实例抽象命题结构，用推理和反例判断真假。学生能提升逻辑思维与探究能力，教师可借助丰富实例分层练习优化教学。

13.2　命题与证明 第1课时　命题与证明 第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 观察下列语句： 1. 无限不循环小数叫作无理数； 2. 两条边相等的三角形叫作等腰三角形； 3. 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 像这样能明确界定某个对象含义的语句叫作定义． 请你举出你所熟知的一些定义例子. 定义 1 例如： 3.“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫作一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义. 2. “两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义； 1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义； (1) 北京是中华人民共和国的首都； (2) 如果∠1 与∠2 是对顶角，那么∠1 =∠2； (3) 1 +1 < 2； (4) 如果一个整数的各个位上的数字之和是 3 的倍数，那么这个数能被 3 整除. 命题 2 讨论：我们一起来看一些可以判断正确与否的陈述. 都是在对一件事进行判断. 思考：上述这些语句有什么特征? (对) (对) (错) (对) 像这样，可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 经判断是正确的，这样的命题称之为真命题. 经判断是错误的，这样的命题称之为假命题. 注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 不是命题的形式，如： ① 疑问句；如：你的作业做完了吗? ② 感叹句；如：欢迎前来参观！ ③ 祈使句；如：以点 O 为圆心、3 cm长为半径画弧. 知识要点 思考：上面这些命题，哪些是真命题? 哪些是假命题? 你对命题的结构理解了吗? 命题的形式：如果……那么…… 例1 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流. (1) 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等； (2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； (3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3. 真命题 假命题 假命题 典例精析 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”. 例如，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”. 知识要点 命题 条件( p ) 结论( q ) 已知事项 由已知事项推出的事项 命题形式： “如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”. 例2 指出下列命题的条件与结论. (1)如果∠A =∠B，那么∠A 的补角与∠B 的补角相等 ； (2) 两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行. 解 ： (1)“∠A =∠B”是条件，“∠A 的补角与∠B 的补角相等”是结论. (2).“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论. 1.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的条件和结论. 1. 对顶角相等； 2. 内错角相等； 3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等； 4. 垂直于同一直线的两直线平行. 解：(1) 如果有两个角是对顶角，那么这两个角相等. 条件：有两个角是对顶角，结论：这两个角相等. (2) 如果有两个角是内错角，那么这两个角相等. 条件：有两个角是内错角，结论：这两个角相等. 练一练 (3) 如果有两直线被第三条直线所截形成三线八角， 那么其同位角相等； 条件：有两直线被第三条直线所截形成三线八角， 结论：其同位角相等. (4) 如果有两直线垂直于同一直线，那么这两直线平行. 条件：有两直线垂直于同一直线， 结论：这这两直线平行. （2）如果一个三角形是直角三角形， 那么这个三角形中有一个角是直角. （1）如果一个三角形中有一个角是直角， 那么这个三角形是直角三角形； 指出下列命题的条件和结论，观察这两个命题有什么样的关系？并判断是真命题还是假命题. 条件 结论 条件 结论 命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件. 命题 (1) 真命题 成立 成立 命题 (2) 真命题 成立 成立 逆命题 3 将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 q，那么 p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 要点归纳 典例精析 解:命题 (1) 的条件是“ a 是整数”，结论是 “a是有理数”. 命题 (2) 的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”. 例3 下面两个命题是互逆命题吗？ (1) 如果 a 是整数， 那么 a 是有理数； 由于命题 (1) 的条件和结论分别是命题 (2) 的结论和条件，于是，命题 (1) 与命题 (2) 是互逆命题. (2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数. 这两个命题是真命题还是假命题？ (1) 如果 a 是整数，那么 a 是有理数； (2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数. 条件 结论 命题 (1) 真命题 成立 成立 条件 结论 命题 (2) 假命题 不一定成立 成立 若 a 为 0.1，0.1 是有理数，但不是整数. 由此可知，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 反例 4 如：0 的绝对值是 0，不是正数. 1. 有理数的绝对值是正数. 假命题 判一判：下列命题是真命题还是假命题？ 2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b. 如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b. 假命题 像这种符合命题条件论的例子，我们称之为反例. 讨论：我们如何判断一个命题的真假？ 要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可. 例如：相等的两个角是对顶角. 1 2 反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 例4 写出下列命题的逆命题，并判断所得的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例. (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果 a = 0，那么 ab = 0. 解 ： (1)逆命题：两直线平行，内错角相等，是真命题. (2)逆命题：如果 ab = 0，那么 a = 0，是假命题. 反例：当 a = 1，b = 0 时，ab = 0. 分析：要证明 AB，CD 平行，可以找同位角相等的条件，图中∠1 与∠3 就是同位角. 我们只要找出能说明它俩相等的条件就行了. 从图中，我们可以发现∠2 与∠3 是对顶角，所以∠3 = ∠2. 又已知∠1 = ∠2，这样我们就找到了∠1 =∠3 的确切条件了. 例5 如图，∠1 =∠2，试说明直线 AB，CD 平行. 定义与命题 定义 概念：判断一个事件的句子 结构：“如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q” 相关概念：原命题、逆命题、互逆命题 命题 请举例说明，你用到过的推理. 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够； 必须经过一步一步、有根有据的推理. 为什么要证明 1 20 a b 考考你的眼力 线段 a 与线段 b 哪个比较长？ a b c d 谁与线段 d 在 一条直线上？ a b a b c d 检验你的结论 a = b 费 马 当 n = 0，1， 2， 3， 4 时， = 3，5，17，257，6 5537 都是质数 欧 拉 举出反例是检验错误 数学结论的有效方法. 大数学家也有失误 对于所有自然数 n， 的值都是质数. 当 n = 5 时， = 4 294 967 297 = 641×6 700 417 这个故事告诉我们： 1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度. 2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确. 3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法. 要点归纳 24 做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？ （1）每一个月都有 31 天； （2）如果 a 是有理数，那么 a 是整数； （3）同旁内角相等； （4）同角的补角相等. 错误 错误 错误 正确 你能说说你是怎么判断的吗？ 证明与推理 2 1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出 来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫作基本事实. 两点确定一条直线. 两点之间，线段最短. 经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行. 关于直线的基本事实： 关于线段的基本事实： 关于平行的基本事实： 基本事实的概念 2.有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫作定理. 同角或等角的补角相等. 2. 余角的性质： 同角或等角的余角相等. 4. 垂线的性质： ①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 1. 补角的性质： 3. 对顶角的性质： 对顶角相等. ②垂线段最短. 学过的定理： 定理的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明. 证实其他命 题的正确性 推理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 定义、基本事实、已证定理 已知条件 + 要点归纳 证明 定理：经过证明的真命题称为定理 证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明 1. 下列语句属于命题的是（　D　） A. 你今天打卡了吗 B. 请戴好口罩 C. 画出两条相等的线段 D. 同位角相等 2. 下列命题中，属于真命题的是（　C　） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 能被4整除的整数，一定能被2整除 D. 互为倒数的两个数和为0 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 在同一平面内，如果AB⊥EF，CD⊥EF，那么AB∥CD. 这一推理是（　D　） A. 垂直的定义 B. 平行线的基本事实 C. 等量代换 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则｜a｜＞｜b｜”是假命题的反例是（　D　） A. a＝1，b＝0 B. a＝－1，b＝2 C. a＝－2，b＝1 D. a＝1，b＝－3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，BD∥EF，∠1＝∠2. （1） 请判断∠ADG与∠C之间的数量关系，并说明理由，请补全下列解答过程. 解：判断： 　∠ADG＝∠C　. 理由：∵ BD∥EF（已知）， ∴ ∠2＝ 　∠CBD　. ∵ ∠1＝∠2（已知）， ∴ ∠1＝ 　∠CBD　（　 　等量代换　　）. ∴  　DG　∥ 　BC　（　 　内错角相等，两直线平行　　）. ∴ ∠ADG 　＝　∠C（　 　两直线平行，同位角相等　　）. ∠ADG＝∠C　 ∠CBD　 ∠CBD　 等量代换　 DG　 BC　 内错角相等，两直线平行　 ＝　 两直线平行，同位角相等　 （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若BD平分∠ABC，DG平分∠ADB，试说明∠C与∠ABC之间的数量关系. 解：由（1），得∠C＝∠ADG，∠1＝∠CBD. ∵ BD平分∠ABC，DG平分∠ADB，∴ ∠1＝∠ADG＝∠C，∠ABC＝2∠CBD. ∴ ∠ABC＝2∠C. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 下列命题中，属于假命题的是（　B　） A. 对顶角相等 B. 若｜x｜＝1，则x＝1 C. 内错角相等，两直线平行 D. 若x3＝0，则x＝0 7. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（　C　） A. 若a＞0，b＞0，则ab＞0 B. 对顶角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若a＝b，则a2＝b2 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. ★有下列命题：① 在同一平面内，a，b，c是三条不同的直线，若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；② 已知a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c；③ 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角一定相等.其中，假命题为 　①②③　（填序号）. 9. 请举反例说明命题“对于任意实数x，x2一定大于x”是假命题.你举的反例是x＝ 　0（答案不唯一）　（写出一个值即可）. ①②③　 0（答案不唯 一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，有三个论断：① ∠1＝∠2；② ∠B＝∠D；③ ∠A＝∠C. 请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题，并证明该命题的正确性. （第10题） 解：答案不唯一，如选择②③作为条件，①作为结论.已知∠B＝∠D，∠A＝∠C，则∠1＝∠2. 证明：∵ ∠A＝∠C，∴ AB∥CD. ∴ ∠B＝∠BFC. ∵ ∠B＝∠D，∴ ∠BFC＝∠D. ∴ DE∥BF. ∴ ∠DMN＝∠2.∵ ∠1＝∠DMN，∴ ∠1＝∠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $