第2章 特殊三角形单元卷- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

第2章 特殊三角形（单元卷） （年级：八年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用浙教版地区考题进行精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列命题的逆命题中正确的是（   ） A．直角都相等 B．同旁内角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 12．（25-26八年级上·全国·周测）如图，数轴上点C（弧线与数轴的交点）所表示的数是 ． 13．（19-20八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 16．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，，要从A修一条公路直达，已知公路的造价为元，求这条公路的最低造价是 万元． 17．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，，D为中点，，，则 ． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25九年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，与分别相交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）： （2）在（）的条件下，连接，若，求的度数． 20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 21. （本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E． 求证：． 22.（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 23.（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． （1）求证：是线段的中点； （2）求证：； （3）连接，试判断的形状，并说明理由． 24.（本小题满分12分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，． 【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形（单元卷） （年级：八年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用浙教版地区考题进行精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）． 根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否能沿某条直线对折后完全重合． 解：A、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． B、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． C、存在一条竖直直线，沿该直线对折后，图形两部分能完全重合，是轴对称图形． D、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 解：、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵不是正整数， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵，且是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列命题的逆命题中正确的是（   ） A．直角都相等 B．同旁内角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对A进行判断；根据平行线的判定方法对B、D进行判断；根据全等三角形的性质对C进行判断；首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 解：A、直角都相等的逆命题是：相等的角是直角，错误，不符合题意； B、同旁内角相等的逆命题是：相等的角是同旁内角，错误，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； D、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故选：C． 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 7．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 解：若，，的周长为， ∴， ， A、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、记两弧交点为，由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； D、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， 故选：D． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 10．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 【答案】22 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三边关系，分类讨论，再结合三角形三边关系，最后得出周长，即可作答． 解：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9， ∴当腰长为4，底边长为9时，则，不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当腰长为9，底边长为4时，则，符合三角形三边关系， ∴周长是． 故答案为：22． 12．（25-26八年级上·全国·周测）如图，数轴上点C（弧线与数轴的交点）所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案． 解：由勾股定理得，圆弧半径为， ∴数轴上点C所表示的数是． 故答案为：． 13．（19-20八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再设，根据三角形的外角性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形的内角和定理可得，求出的值，由此即可得． 解：∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，，要从A修一条公路直达，已知公路的造价为元，求这条公路的最低造价是 万元． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，垂线段的性质，先根据证明是直角三角形，由垂线段最短，可得当时最短，造价最低．利用等面积法计算出即可求解． 解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 当时最短，造价最低， 故过A点作，垂足为D，如图， ∵， ∴ ， ∴（元）． 即最低造价为12万元． 故答案为：12． 17．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，，D为中点，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．延长至G，使，连接，证，得，，再由线段垂直平分线的性质得，然后证，根据勾股定理即可解决问题． 解：如图，延长至G，使，连接， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. 故答案为：4． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25九年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，与分别相交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）： （2）在（）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． （）利用基本作图，作线段的垂直平分线即可； （）根据线段的垂直平分线的性质得，则，然后根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；计算的度数． 解：（1）解：如图，为所作. （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ 20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是等边三角形，理由见分析． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 解：（1）证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 21.（本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 解：证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 22.（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）设，，则，，首先确定的长，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：（1）证明：连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； 是直角三角形； （2）解：∵， 设，，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 23.（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． （1）求证：是线段的中点； （2）求证：； （3）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）为等腰三角形，理由见分析 【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 解：（1）证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． （2）证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （3）解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【点拨】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 24.（本小题满分12分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，． 【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数． 【答案】（1）是直角三角形，见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质． （1）由，得即可； （2）根据三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质做等量代换，引入参数，由解题； （3）由，三角形外角定理，根据的两种不同表示方式求出，由解题． 解：（1）如图1，是直角三角形， 理由如下： 在中，∵，， ， ， 是直角三角形；                                                    （2）如图2，令，， ， 平分， ， 在中，， 又， ， ， 在中，， ， ； （3）， 由（2）可知， ， ，， ， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $