专题07 尺规作图（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题07 尺规作图 4大高频考点概览 考点01 垂直平分线 考点02 角平分线 考点03 过点作垂直 考点04 作已知角相等的角 地 城 考点01 垂直平分线 1．（24-25八上·重庆实验外国语·期中）如图，在中，，点D为平面内一动点（点A、B、D三点不共线），连接． (1)如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，在（1）的条件下，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 小明同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长至点M，使得，连接， 在和中， ， ②______， ， ∴③______， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ． 2．（24-25八上·重庆两江育才中学·期中）如图，在中，的角平分线交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴______． ∵垂直平分， ∴，______，______， ∴， ∴， ∴______． ∴． 3．（24-25八上·重庆长寿实验中学·期中）如图，已知中，． (1)请用基本尺规作图：作的垂直平分线，交于点M，交的延长线于点N（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设直线交于E，连接，且， 求证：，请完成下面的证明过程： 证明：垂直平分， ①__________________， ， ， ， ， ， ②__________________， ， ， ③__________________， ， ， ④__________________， 在和中， ∴⑤_________， ∴⑥_________． 4．（24-25八上·重庆八中·期中）如图，已知中，平分交于点D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 5．（24-25八上·重庆西南大学附中·期中）我们知道在含的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．小红进行了拓展性研究，她发现这个定理反过来说也成立．她通过构造斜边上的中垂线来证明含有角，请跟根据她的思路，完善以下作图与填空： (1)如图，用直尺和圆规作斜边的垂直平分线，分别与、交于点D、点E，并连接．（只保留作图痕迹） (2)已知：在中，，． 求证：． 证明：垂直平分， ，， ，， ①_______________， 在和中，， 垂直平分， ③__________， ． 又， ， 根据小红的证明过程，进一步发现，角与所对直角边的关系，请你完善该逆定理：如果在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么④___________． 6．（24-25八上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在中，，为延长线上一点． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，与边，分别交于点，，在线段上截取，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）所作图形中，连接，，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵，， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ∴． ∴． 7．（24-25八上·重庆为明学校·期中）如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90． (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于点H，连接AD，求证∠ADE＝∠HBC． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明： ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝　 　，AE＝CE， 在△ADE与△CDE中, ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴BH⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BHC＝∠DEC＝90°， ∴DE//BH（ 　 　）（填写文字依据） ∴　 　． ∴∠ADE＝∠HBC． 地 城 考点02 角平分线 8．（24-25八上·重庆西南大学附中·期中）尺规作图并完成证明．如图，点，、点在外，连接、、，且，，． (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴______． ∵， ∴______， ∴． ∴______． 在和中， ∵ ∴（    ） ∴． 9．（24-25八上·重庆江津二中联盟十校·期中）已知：如图，． (1)用尺规作图法做平分线交于点D(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若，，求的面积． 10．（24-25八上·重庆十八中·期中）如图，点D在线段上，，， (1)求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___    ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 11．（24-25八上·重庆渝高中·期中）已知，如图，，，． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)求证：（请完善下面的证明过程） 证明：∵平分 ∴____① ∵ ∴____② ∴ ∴____③ ∵ ∴ ∴____④ 在和中 ∴ ∴ 12．（24-25八上·重庆南开中学·期中）如图，在四边形中，，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）所作图形中，若，求证：是的中点．（补全证明过程） 证明： 平分， ∴ ① ∴ ② ， ∴ ③ 在和中， ， ， ∴ ④ 是的中点． 13．（24-25八上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）（1）用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：作的角平分线，交于点，在上取一点，使，连接； （2）在（1）所作的图形中，已知，求证，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ①______， 在与中， ， ③______， （已知）， ， ④______， ， ∵， ∴⑤______． 14．（24-25八上·重庆石柱一初中·期中）(1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）如图中．在图中求作的角平分线． (2)在（1）的条件下．证明：． 15．（24-25八上·重庆秀山新星初中·期中）如图，在中，．      (1)尺规作图：作的角平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在综合实践学习中，为了说明等腰三角形“三线合一”的性质．小佳同学在（1）所作的图形中，利用三角形全等得到对应角和对应边相等，从而说明了这一性质．请根据小佳的思路完成下列填空． 证明：平分， ． 在和中， ． ；． ， ．即． 16．（24-25八上·重庆丰都·期中）我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 17．（24-25八上·重庆开州·期中）小李喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴①________， ∵平分，平分， ∴②________，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴③________， ∴④________． 通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么⑤________． 地 城 考点03 过点作垂直 18．（24-25八上·重庆巴蜀中学·半期）如图，在外有一点D，满足且． (1)过点B作直线的垂线，交于点F，并在射线上取，连接交于点G；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的大小． 19．（24-25八上·重庆南开中学·期中）学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在中，，于点E，于点F．求证：． 证明： ，，， ，，． ， ① ， 即． ② ， ， ③ ． 由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ． 20．（24-25八上·重庆礼嘉中学·期中）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； (2)证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 21．（24-25八上·重庆育才中学教育集团·期中）数学爱好者小陶发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：． 小陶的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：是的角平分线，， ① ． 是的角平分线，， ． ② ． ， ， 在和中， （④ ）． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 22．（24-25八上·重庆育才中学教育集团·半期）如图，在中，，于． (1)用尺规作图：过点作交AB于点．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）的作法下，求证． 证明：，， ， 在和中，， ， ， ， ， 即 ． 23．（24-25八上·重庆十一中教育集团·期中）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． (2)证明：∵， ∴． ∵平分， ∴ ① ． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴ ③ 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ． 24．（24-25八上·重庆沙坪坝南开中学·期中）如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：，． 平分，，， ，． 在和中， （ ）． ，， ． 25．（24-25八上·重庆渝北·期中）如图，在中，，是的角平分线． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，点为线段上一点，且，连接．求证：． 证明：（2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴________①________ 又∵是的平分线， ∴________②________ 在与中， ， ∴（________④________） ∴． 地 城 考点04 作已知角相等的角 26．（24-25八上·重庆南开中学·期中）如图，在中，点D为线段上一点． (1)用尺规完成以下基本作图：在上方作交于点E，在延长线取一点F，使，连接； (2)在（1）所作的图形中，若，，，求的周长． 解：∵，， ∵，∴， ∴______①______， 在和中， ∴， ∴，______③______， ∵，， ∴的周长____④____． 27．（24-25八上·重庆一中·期中）如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 28．（24-25八上·重庆110中学教育集团三校·期中）已知：如图，线段、相交于点，，点是线段上一点．    (1)用直尺和圆规，以点为顶点，为一边，在线段下方作，使，边与的延长线相交于点．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的情况下，求证：（请完成以下证明过程）． 证明： ， ∴____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴____________， ∴． 29．（24-25八上·重庆江津区12校联盟·期中）如图，在中，点D为边上的中点，连接．    (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴，（ ① ） 在和中， ∴（ ② ） ∴ ③ ， 在和中 ∴（ ④ ）   ∴， ∴（ ⑤ ）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 尺规作图 4大高频考点概览 考点01 垂直平分线 考点02 角平分线 考点03 过点作垂直 考点04 作已知角相等的角 地 城 考点01 垂直平分线 1．（24-25八上·重庆实验外国语·期中）如图，在中，，点D为平面内一动点（点A、B、D三点不共线），连接． (1)如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，在（1）的条件下，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 小明同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长至点M，使得，连接， 在和中， ， ②______， ， ∴③______， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【来源】重庆市实验外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）作垂线即可； （2）按照步骤作答即可． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线，点E，即为所作； （2）证明：延长至点M，使得，连接， 在和中，， ， ， ， ∴， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ∴． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，旋转的性质等知识．熟练掌握作垂线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 2．（24-25八上·重庆两江育才中学·期中）如图，在中，的角平分线交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴______． ∵垂直平分， ∴，______，______， ∴， ∴， ∴______． ∴． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【来源】重庆市两江育才中学校2024-2025学年上学期八年级数学期中考试卷 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、全等三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图是解题的关键； （1）分别以点A、D为圆心，大于长为半径画弧，即可求解； （2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定可进行求证． 【详解】（1）解：所作图形如下： （2）证明：∵的角平分线交于点D， ∴， ∵垂直平分， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． 3．（24-25八上·重庆长寿实验中学·期中）如图，已知中，． (1)请用基本尺规作图：作的垂直平分线，交于点M，交的延长线于点N（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设直线交于E，连接，且， 求证：，请完成下面的证明过程： 证明：垂直平分， ①__________________， ， ， ， ， ， ②__________________， ， ， ③__________________， ， ， ④__________________， 在和中， ∴⑤_________， ∴⑥_________． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③；④；⑤；⑥． 【来源】 重庆市长寿实验中学校2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法步骤画图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得①；根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得可得②；根据直角三角形两锐角互余可得③；根据同角的余角相等可得④；根据全等三角形的判定可得⑤⑥． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）补全证明过程如下： 证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴①， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴②， ∴ ∵， ∴， ∴③， ∵， ∴， ∴④， 在和中， ， ∴⑤， ∴⑥． ． 4．（24-25八上·重庆八中·期中）如图，已知中，平分交于点D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③ASA；④；⑤ 【来源】重庆市第八中学校2024－2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质推理即可解答． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2）证明：∵平分 ∴， ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线 ∴， ∴． 5．（24-25八上·重庆西南大学附中·期中）我们知道在含的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．小红进行了拓展性研究，她发现这个定理反过来说也成立．她通过构造斜边上的中垂线来证明含有角，请跟根据她的思路，完善以下作图与填空： (1)如图，用直尺和圆规作斜边的垂直平分线，分别与、交于点D、点E，并连接．（只保留作图痕迹） (2)已知：在中，，． 求证：． 证明：垂直平分， ，， ，， ①_______________， 在和中，， 垂直平分， ③__________， ． 又， ， 根据小红的证明过程，进一步发现，角与所对直角边的关系，请你完善该逆定理：如果在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么④___________． 【答案】(1)图见解析； (2)①，，③，④这条直角边所对的角等于. 【来源】重庆西南大学附属中学校2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线作法和全等三角形判定和性质，三角形内角和等． （1）先根据线段垂直平分线的步骤作图， （2）根据垂直平分线的性质和全等三角形性质和判定，由推理过程补充所需条件或所得结论即可． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：垂直平分， ，， ，， ①， 在和中，， 垂直平分， ③， ． 又， ， 由此可得：如果在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么④这条直角边所对的角等于． 故答案为：①，，③，④这条直角边所对的角等于. 6．（24-25八上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在中，，为延长线上一点． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，与边，分别交于点，，在线段上截取，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）所作图形中，连接，，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵，， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ∴． ∴． 【答案】(1)作图见解析 (2)；；； 【来源】重庆杨家坪中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法可得直线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：∵，， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ∴． ∴． 故答案为：；；；． 7．（24-25八上·重庆为明学校·期中）如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90． (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于点H，连接AD，求证∠ADE＝∠HBC． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明： ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝　 　，AE＝CE， 在△ADE与△CDE中, ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴BH⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BHC＝∠DEC＝90°， ∴DE//BH（ 　 　）（填写文字依据） ∴　 　． ∴∠ADE＝∠HBC． 【答案】(1)见解析 (2)DC；同位角相等，两直线平行；∠CDE＝∠HBC 【来源】重庆市为明学校2024—2025学年上学期八年级期中数学试题 【分析】（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE，再证明△ADE≌△CDE得到∠ADE＝∠CDE，接着证明DE∥BH得到∠CDE＝∠HBC，然后利用等量代换得到∠ADE＝∠HBC． 【详解】（1）（1）解：如图，DE为所作； （2）证明：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AE＝CE， 在△ADE与△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴BH⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BHC＝∠DEC＝90°， ∴DE∥BH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠CDE＝∠HBC． ∴∠ADE＝∠HBC． 故答案为：DC；同位角相等，两直线平行；∠CDE＝∠HBC． 地 城 考点02 角平分线 8．（24-25八上·重庆西南大学附中·期中）尺规作图并完成证明．如图，点，、点在外，连接、、，且，，． (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴______． ∵， ∴______， ∴． ∴______． 在和中， ∵ ∴（    ） ∴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）根据基本作图作已知角平分线的作法作出，再连接即可； （2）先由角平分线定义与平行线的性质证得，从而得到，然后利用证，则全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解： 如图所示， （2）证明：平分， ． ． ． ． ． 在和中， ． ． 【点睛】本是考查尺规基本作图--作已知角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 9．（24-25八上·重庆江津二中联盟十校·期中）已知：如图，． (1)用尺规作图法做平分线交于点D(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【来源】重庆市江津二中联盟十校联考2024-2025学年 上学期期中测试八年级数学试题 【分析】本题考查了作图——角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作与点，由角平分线的性质定理得到，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图，过点作与点， 是的平分线，，， ， ， ， ． 10．（24-25八上·重庆十八中·期中）如图，点D在线段上，，， (1)求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___    ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 【答案】(1)作图见详解 (2)①，②，③，④，⑤全等三角形对应边相等 【来源】重庆市第十八中学2024--2025学年上学期八年级数学期中考试卷 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质的运用， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据题意证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 平分， 在和中 ， （全等三角形对应边相等）． 故答案为：①，②，③，④，⑤全等三角形对应边相等． 11．（24-25八上·重庆渝高中·期中）已知，如图，，，． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)求证：（请完善下面的证明过程） 证明：∵平分 ∴____① ∵ ∴____② ∴ ∴____③ ∵ ∴ ∴____④ 在和中 ∴ ∴ 【答案】(1)作图见解析； (2)①，②，③，④． 【来源】重庆市 渝高中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】（1）以为圆心，以一定长度为半径画弧交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接即可； （2）依据题目已给出的思路进行作答即可． 【详解】（1）作图如下， 即为的角平分线，连接； （2）证明：∵平分 ∴① ∵ ∴② ∴ ∴③ ∵ ∴ ∴④ 在和中 ∴ ∴， 故答案为：①，②，③，④． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质等知识．掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 12．（24-25八上·重庆南开中学·期中）如图，在四边形中，，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）所作图形中，若，求证：是的中点．（补全证明过程） 证明： 平分， ∴ ① ∴ ② ， ∴ ③ 在和中， ， ， ∴ ④ 是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【来源】重庆南开中学2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟试卷 【分析】（1）根据角平分线的作法作出的角平分线即可； （2）先根据等腰三角形的性质得，再根据证明即可得出结论． 【详解】（1）解：以点A为圆心，任意长为半径作弧，与交于点M、N，再以点M、N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点F，交于点E，如图：   射线即为所求； （2）解：平分， ∴            ∴            ， ∴            在和中， ， ， ∴            是的中点． 故答案为：①；②；③；④． 【点睛】本题主要考查了基本作图，等腰三角形性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 13．（24-25八上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）（1）用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：作的角平分线，交于点，在上取一点，使，连接； （2）在（1）所作的图形中，已知，求证，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ①______， 在与中， ， ③______， （已知）， ， ④______， ， ∵， ∴⑤______． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③；④；⑤ 【来源】重庆市凤鸣山中学教育集团校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了作图-复杂作图：作角平分线和一条线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先利用基本作图作的平分线得到，再在上截取使，然后连接即可； （2）先证明得到，利用三角形外角性质得到，由于所以，则可得． 【详解】解：（1）如图所示，即为所作， （2）证明：平分， ①， 在与中， ， ， ③， （已知）， ， ④， ， ∵， ∴⑤． 14．（24-25八上·重庆石柱一初中·期中）(1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）如图中．在图中求作的角平分线． (2)在（1）的条件下．证明：． 【答案】(1)图见详解； (2)证明见详解； 【来源】重庆市石柱县第一初级中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查作角平分线及三角形全等的判定与性质： （1）以为圆心，任意长为半径画圆弧交，于两点，再分别以两点为圆心大于两点间距离为半径画圆弧交于一点，连接交点与顶点即可得到答案； （2）根据边角边判定证明即可得到答案； 【详解】（1）解：以为圆心，任意长为半径画圆弧交，于两点，再分别以两点为圆心大于两点间距离为半径画圆弧交于一点，连接交点与顶点，交于一点D，如图所示即为的角平分线， ； （2）证明：∵是的角平分线， ∴， 在与中， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 15．（24-25八上·重庆秀山新星初中·期中）如图，在中，．      (1)尺规作图：作的角平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在综合实践学习中，为了说明等腰三角形“三线合一”的性质．小佳同学在（1）所作的图形中，利用三角形全等得到对应角和对应边相等，从而说明了这一性质．请根据小佳的思路完成下列填空． 证明：平分， ． 在和中， ． ；． ， ．即． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市秀山土家族苗族自治县新星初级中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和等腰三角形三线合一的证明；灵活利用三角形全等判定和性质证明是解题关键． （1）根据角平分线作法作图即可； （2）由全等三角形判定和性质即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求平分线，    （2）证明∶平分， ． 在和中， ，． ．即． 16．（24-25八上·重庆丰都·期中）我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大． 【来源】重庆市丰都县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）证明：∵平分线， ． 在和中， ∴． ． ∵， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 故答案为：①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大 17．（24-25八上·重庆开州·期中）小李喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴①________， ∵平分，平分， ∴②________，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴③________， ∴④________． 通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么⑤________． 【答案】(1)见解析： (2)①；②；③；④；⑤另一组对角的角平分线互相平行 【来源】重庆市开州区2024-2025学年八年级上学期期中 【详解】（1）如图，即为所求作； （2）解：∵且， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行． 故答案为：①；②；③；④；⑤另一组对角的角平分线互相平行． 地 城 考点03 过点作垂直 18．（24-25八上·重庆巴蜀中学·半期）如图，在外有一点D，满足且． (1)过点B作直线的垂线，交于点F，并在射线上取，连接交于点G；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年八年级上学期半期考试数学试卷 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，全等三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据作垂线的方法作图即可； （2）先利用证明，得，再结合直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）∵，， ∴，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25八上·重庆南开中学·期中）学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在中，，于点E，于点F．求证：． 证明： ，，， ，，． ， ① ， 即． ② ， ， ③ ． 由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市南开中学2024-2025学年八年级上学期期中模拟数学试题 【分析】本题主要考查了做已知线段的垂线，以及利用等面积法证明过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． （1）根据作垂线的方法先做出的垂线； （2）按照所给的证明方法一步步证明即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：，，， ，，． ， ， 即． ， ， ． 由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 20．（24-25八上·重庆礼嘉中学·期中）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； (2)证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【来源】重庆市礼嘉中学校2024-2025学年度上学期期中考试八年级数学试题 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质， （1）利用基本作图．过C点作的垂线即可； （2）先根据角平分线的性质得到．再证明得到，然后利用得到； 熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：，，，． 21．（24-25八上·重庆育才中学教育集团·期中）数学爱好者小陶发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：． 小陶的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：是的角平分线，， ① ． 是的角平分线，， ． ② ． ， ， 在和中， （④ ）． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤角平分线 【来源】重庆育才中学教育集团 2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分的性质可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：是的角平分线，，， ， 是的角平分线，，， ． ． ，， ， 在和中， ， ． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的角平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 故答案为：①；②；③；④；⑤角平分线． 22．（24-25八上·重庆育才中学教育集团·半期）如图，在中，，于． (1)用尺规作图：过点作交AB于点．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）的作法下，求证． 证明：，， ， 在和中，， ， ， ， ， 即 ． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；． 【来源】重庆市育才中学教育集团2024—2025学年八年级上学期半期模拟数学试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图： （1）以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交线段于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并交线段于点，即可完成作图； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合即可证明． 【详解】（1）解：尺规作图如下； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：；；；；． 23．（24-25八上·重庆十一中教育集团·期中）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． (2)证明：∵， ∴． ∵平分， ∴ ① ． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴ ③ 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的垂线， ； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 24．（24-25八上·重庆沙坪坝南开中学·期中）如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：，． 平分，，， ，． 在和中， （ ）． ，， ． 【答案】(1)见解析 (2)，， ， 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：， ． 平分，，， ， ，． 在和中， （）． ， ，， ， ． 故答案为：，， ，． 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 25．（24-25八上·重庆渝北·期中）如图，在中，，是的角平分线． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，点为线段上一点，且，连接．求证：． 证明：（2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴________①________ 又∵是的平分线， ∴________②________ 在与中， ， ∴（________④________） ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的平分线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 故答案为：；；； 地 城 考点04 作已知角相等的角 26．（24-25八上·重庆南开中学·期中）如图，在中，点D为线段上一点． (1)用尺规完成以下基本作图：在上方作交于点E，在延长线取一点F，使，连接； (2)在（1）所作的图形中，若，，，求的周长． 解：∵，， ∵，∴， ∴______①______， 在和中， ∴， ∴，______③______， ∵，， ∴的周长____④____． 【答案】(1)见解析 (2)；；；． 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的方法作图即可； （2）根据三角形外角的性质可得出，证明，得出，，即可求解． 【详解】（1）解∶如图， （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴的周长． 故答案为：；；；． 27．（24-25八上·重庆一中·期中）如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【答案】(1)见解析 (2)；；2；1 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 28．（24-25八上·重庆110中学教育集团三校·期中）已知：如图，线段、相交于点，，点是线段上一点．    (1)用直尺和圆规，以点为顶点，为一边，在线段下方作，使，边与的延长线相交于点．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的情况下，求证：（请完成以下证明过程）． 证明： ， ∴____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴____________， ∴． 【答案】(1)作图见解析； (2)，，． 【详解】（1）解：如图：    （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25八上·重庆江津区12校联盟·期中）如图，在中，点D为边上的中点，连接．    (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴，（ ① ） 在和中， ∴（ ② ） ∴ ③ ， 在和中 ∴（ ④ ）   ∴， ∴（ ⑤ ）． 【答案】(1)见解析 (2)①线段中点的定义；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）证明：∵点D为边上的中点， ∴，（线段中点的定义） 在和中， ∴ ∴， 在和中 ， ∴ ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①线段中点的定义；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $