专题05 几何证明压轴题（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05几何证明压轴题 ☆4大高频烤点概览 考点01证明线段的数量关系 考点02探究线段的数量关系 考点03角度相关几何证明 考点04最值相关几何证明 目目 考点01 证明线段的数量关系 1,(24-25八上重庆复旦中学教育集团期中)在ABC中，AC=BC,D为边CB上一点，点E在AB的 延长线上，连接AD、DE,LCAD=LEDB. B EA B 图1 图2 D 图3 (1)如图1，求证：AD=ED; (2)如图2，若LADE=60°+2∠BDE,求证：AE=2BE+BD; (3)如图3，点F是CB延长线上一点，连接AF,FA=FD,LC=2LFAE,过D作DH⊥AB于H,延长DH交 AF于点G,BF=AG,△DBE的面积为4，求线段DG的长度， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【来源】重庆复旦中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)根据等边对等角可得LCAB=∠CBA,根据外角的性质可得∠CAD+∠DAB=LBDE+∠E, 以及LCAD=LEDB,得出∠DAE=∠E,根据等边对等角即可得证； (2)导角得出∠C=60°，得出ABC为等边三角形，过D作DS∥AB交于AC于S,可得△CSD为等边三 角形，证明△SAD≌△BDE,得出△CSD为等边三角形，即可得出结论； (3)设∠EAF=a,则∠C=2a,∠CAB=∠CBA=90°-a,∠F=90°--=90°-2a,得出 LDAB=45°，LADH=∠DAH=45°，DH=AH,连接HF,证明△DFH≌△AHF,△DBE≌△BHF 得出BE=BH=)HE,则DH=2BE,根据SAD能-)BE×DH=4,得出BE=2,根据DG=DH+HG=6 2 2 即可求解 【详解】(1)证明：：AC=BC, ∴.LCAB=LCBA, .·∠CAB=∠CAD+∠CAB,∠CBA=∠BDE+∠E, .∠CAD+∠DAB=∠BDE+∠E, :∠CAD=LEDB, ∴∠DAE=∠E, ∴AD=DE; (2):∠ADB=∠C+∠CAD,LCAD=∠BDE, .∠ADB=∠C+∠BDE, .∠ADE=∠ADB+∠BDE=∠C+2∠BDE, :∠ADE=60°+2∠BDE, ∠C=60°， AC=BC, :ABC为等边三角形， :AB=AC=BC,∠C=∠CAB=∠CBA=60°， 过D作DS∥AB交于AC于S, S D E ∴LCSD=LCAB=60°，LCDS=LCBA=60°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△CSD为等边三角形. ÷CS=CD. .AC-CS BC-CD .SA=DB, :∠SAD=∠BDE,AD=DE, ·△SAD≌ABDE ∴BE=SD :△CSD为等边三角形， .DS=CD, ∴BC=BD+CD=BD+BE, ∴AE=AB+BE=BD+2BE, (3)设∠EAF=Q,:∠C=2∠FAE, ·LC=2a, .AC=BC, .∠CAB=∠CBA=90°-a, :∠CBA=∠BAF+∠F, ∴.LF=90°-a-a=90°-2a, AF FD, .∠FAD=∠FDA, .:∠F+∠FAD+∠ADF=180°， ·LFAD=∠ADF=45°+a, ∠DAB=45°， :DH⊥AB, ∴∠ADH+∠DAH=90°， .LADH=LDAH=45°， ∴.DH=AH, 连接HF, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H B G DF=AF,HF=HF, .△DFH≌△AHF, ∠1=∠2，∠GDB=∠HAG=a, :DH⊥AE, ∴∠DHB=∠AHG=90°，AH=DH, ∴△DHB≌△AHG, .DB=AG, AG=BF, .DB=BF, :1=∠2=∠DFA=45°-a,∠3=∠HDE-∠HDB=45°-a, 2 .∠1=∠3， :∠DBE=∠HBF, :.△DBE≌△BHF, BE-BH-HE. DH=HE, .DH=2BE, :Sas=2BE×DH=4, BE=2,BE=-2(舍)， .DH=HE=4, :△AHG≌△DHB, .HG=BH=2, ∴.DG=DH+HG=6. 2.(24-25八上·重庆实验外国语期中)在ABC中，点D为边AC上一点. / 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 Dn D ME B"(B)C 图1 图2 图3 (1)如图1，若BD⊥AC,∠C=60°，BC=4,AB=√21，求ABC的面积. (2)如图2，点E、G分别为边BC、AC上一点，连接AE、BG,若 BC=BG,CE=CD=DG,∠CE=∠CBG,点F是ABC外-点，态接CF,CF=AE,连接FD并延长 交BC于点M,∠F+∠DC=90,求证：CM=4C (3)如图3，BD⊥AC,∠C=60°，BC=4,将△BCD沿射线BC平移，使点B平移至BC中点B处，得到对应 BCD,将BCD绕点B旋转，得到△B"C"D”,旋转过程中射线B"C"B"D”分别交直线AC于点P、Q, 当△B"PQ为等腰三角形时，△B"PQ和△BDC是否有重叠部分？若有，直接写出△B"PQ和△BDC重叠部分 的面积。 【答案】(1)5√5 (2)见解析 3有，6-3W5或5 【来源】重庆市实验外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】(1)由30°角直角三角形的性质得到CD=BC=2,在R△BCD中，由勾股定理得BD=25,在 2 Rt△ABD中，由勾股定理得AD=√AB2-BD2=3,继而可求解面积； (2)连接BD,延长DM至点R,连接BR,使得BR=BM,先证明△CEA≌△CDB(AAS),则 BC=AC,AE=BD,可得CF=BD,导角得到L7=∠F,则△FCM≌△DBR(AAS),再根据全等三角形的 性质结合等量代换即可求证； (3)由旋转，平移得LD"B"C"=LDBC=30°，当PB”=PQ,此时点P与点C重合，那么△B"PQ和△BDC 没有重叠部分；当B"P=B"Q,如图，此时重叠部分为△B"PQ,连接B"D,过点B作B"N⊥DC于点N, 过点P作PM⊥DC交B"D于点M,则△B"CD为等边三角形，可证明△B"PD≌△B"QC,则 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PD=QC,∠DB"P=∠CB"Q=15°，导角得到MP=MB",设DP=x,则DM=2x,MP=MB"=√3x,由 MB”+MD=BD=2得：2x+V5x=2,解得：x=4-25=C0,则Sw=P0xBN=6-35,当 QP=QB”时，连接B"D,如图，则∠QPB”=∠QB"P=30°，此时点Q与点Q重合，则△B"PQ和aBDC有重 1 部分，重叠部分为△BKD,导角得到K=2BK,则SS如，文)SAc,即可求解 【详解】(1)解：BD⊥AC,∠C=60°， ∴∠CBD=30°， CD三BC=2 在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=2V5, :AB=√21， :在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=√AB2-BD2=3, .AC=3+2=5, C x25J5 (2)证明：连接BD,延长DM至点R,连接BR,使得BR=BM, A F D C 5 4 B C 图2 R ∠1=∠2=∠3， .BC=BG,DC=DG, :BD1CG,∠4=∠5=∠CBG, 2 1 :26=2C8G, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠6=L4, :CE=CD,∠C=∠C, .△CEA≌△CDB(AAS, .BC=AC,AE=BD, .CF=AE, .CF =BD, :BD⊥AC, ∠7+∠MDC=90°， :∠F+∠MDC=90°， ∴.L7=∠F, △FCM≌△DBR(AAS), .MC=BR, ∴.MC=BM, :CM=IBC, CMC (3)解：当△B"PQ为等腰三角形时，△B"PQ和△BDC有重叠部分，理由如下： :BD⊥AC,∠C=60°，BC=4, .∠DBC=30°， ∴CD=5BC=2, :在RtABDC中，由勾股定理得BD=2V5, 由旋转，平移得LD"B"C"=∠DBC=30°， 当PB”=PQ,如图： / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B B'(B" 则∠PB"Q=∠Q=30°， :∠B"PQ=180°-30°-30°=120°， 而∠BCQ=180°-∠ACB=120°， 此时点P与点C重合， ∴.△B"PQ和△BDC没有重叠部分： 当B"P=B”Q,如图，此时重叠部分为△B"PQ,连接B"D,过点B作B"N⊥DC于点N,过点P作 PM⊥DC交B"D于点M, A D D M AN B B'(B") :点B为BC中点，BD⊥DC, :8n=8c-c=2· :∠ACB=60°， :△B"CD为等边三角形， ∠B"DC=∠DB"C=60°， :PM⊥DC, ·∠DMP=30°， ∴MD=2DP, 由勾股定理得PM=√3DP, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B"P=B"O, ∠B"PQ=∠B"QP, ∠B"PD=∠B"QC, ∠B"DC=∠B"CD=60°，B"D=B"C, ∴△B"PD≌△B"QC, 1 :PD=QC,∠DB"P=∠CB"Q=5×(60°-30)=15° 2 :∠DMP=30°， ∠MPB"=15°， ∠MPB"=∠MB"P, .MP=MB", 设DP=x,则DM=2x,MP=MB"=√3x, 由MB"+MD=B"D=2得：2x+√5x=2, 解得：x=4-2V5=CQ, ÷P0=DC-DP-C0=2-24-2V3=45-6 同理可求CV=BC=1,BV=5CN=5, .5.r-iPQx8N-jx(4/5-6)xJ3-6-3/5. 当QP=QB”时，连接B"D,如图，则∠QPB”=∠QB"P=30°， D B B'(B") .∠B"QC=60° :∠B"DC=60°， .点9与点D重合， 则△B"PQ和△BDC有重叠部分，重叠部分为△B"KD,如图， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D" O D B'(B") C :∠BDB"=90°-∠B"DC=30°=∠PB"D, KB"=KD,∠KB"C=30°+60°=90°， .BK =2B"K, 1 S△BDC=62 3 综上所述：当△B"PO为等腰三角形时，△B"PQ和aBDC有重叠部分，重叠部分的面积为6-3N5或V5 3.(24-25八上重庆南川三校联盟期中)在等边ABC中，点D为边BC上一点，连接AD. B D C B D G B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠CAD=15°，BD=2,求AB的长； (2)如图2，将线段AD绕A点顺时针旋转120°至AE位置，连接CE,交AB于点F,求证：AF+CD=BF (3)如图3，在(2)的条件下，若点D为直线BC上一点，过点E作EG⊥BC于点G,BC=4,连接FG,BE ,当BE+2FG取得最小值时，请直接写出△BCE的面积. 【答案】(1)1+√5 (2)见解析 3)83 3 【详解】(1)解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H, :ABC是等边三角形， .∠B=∠BAC=60°， ∠BDH=30°，函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05几何证明压轴题 ☆4大高频考点概览 考点01证明线段的数量关系 考点02探究线段的数量关系 考点03角度相关几何证明 考点04最值相关几何证明 目目 考点01 证明线段的数量关系 1,(24-25八上重庆复旦中学教育集团期中)在ABC中，AC=BC,D为边CB上一点，点E在AB的 延长线上，连接AD、DE,LCAD=LEDB. B EA B 图1 图2 D B 图3 (1)如图1，求证：AD=ED; (2)如图2，若LADE=60°+2∠BDE,求证：AE=2BE+BD; (3)如图3，点F是CB延长线上一点，连接AF,FA=FD,LC=2LFAE,过D作DH⊥AB于H,延长DH交 AF于点G,BF=AG,△DBE的面积为4，求线段DG的长度， 2.(24-25八上·重庆实验外国语期中)在ABC中，点D为边AC上一点. / 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D D B ME B"(B)C 图1 图2 图3 (1)如图1，若BD⊥AC,∠C=60°，BC=4,AB=√21，求ABC的面积. (2)如图2，点E、G分别为边BC、AC上一点，连接AE、BG,若 BC=BG,CE=CD=DG,∠CE=∠CBG,点F是ABC外-点，态接CF,CF=AE,连接FD并延长 交BC于点M,∠F+∠DC=90,求证：CM=4C. (3)如图3，BD⊥AC,LC=60°，BC=4,将△BCD沿射线BC平移，使点B平移至BC中点B处，得到对应 BCD,将BCD绕点B旋转，得到△B"C"D”,旋转过程中射线B"C"B"D”分别交直线AC于点P、Q, 当△B"PQ为等腰三角形时，△B"PQ和△BDC是否有重叠部分？若有，直接写出△B"PQ和△BDC重叠部分 的面积. 3.(24-25八上·重庆南川三校联盟期中)在等边ABC中，点D为边BC上一点，连接AD. E D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若LCAD=15°，BD=2,求AB的长； (2)如图2，将线段AD绕A点顺时针旋转120°至AE位置，连接CE,交AB于点F,求证：AF+CD=BF (3)如图3，在(2)的条件下，若点D为直线BC上一点，过点E作EG⊥BC于点G,BC=4,连接FG,BE ,当BE+2FG取得最小值时，请直接写出△BCE的面积. 4.(24-25八上重庆南开中学期中)在ABC中，D为BC边上一点，连接AD,E为AD上一点，连 接CE,∠AEC=120°. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G P E B DM 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD⊥BC,CE=6,AE=3DE,求△ADC的面积； (2)如图2，连接BE,若∠CBE=60°，AE=CE,点G为AB的中点，连接GE,求证：BC=BE+2GE; (3)如图3，若ABC是等边三角形，BC=9,D为直线BC上一点，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到 AK,连接DK,M为线段BC上一点，BC=3BM,P为直线AB上一点，分别连接PM,PK,请直接写出 PK+MP的最小值. 5.(24-25八上·重庆两江育才中学期中)将两个等腰直角ABC与△EFC如图放置，AC=BC,CE=CF, LACB=LECF=90°. M E D B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段BC于点G,点D是线段AB上的点，满足AD=DF, ∠BDF=30°，求∠BCF的度数： (2)当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF,BE,若点M是线段AF的中点，连接MC, 求证：BE=2CM; (3)当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图3时，分别连接AF,BE,若点M是线段AF的中点，CE=12, AC=20,BE=16,四边形ABEF面积为460时，直接写出点A到CM的距离. 6.(2425八上·重庆南开中学期中)如图，在ABC中，点D是AB上一点，点E是BC上一点，连接 DE、AE,且∠AED=∠ABC,点F是AE上一点，且EF=DE,连接CF. / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 图3 (1)如图1，若CE=BD=2,BC=6,求CF的长度： (2)如图2，若CE=AD.点G为CF上一点，连接EG,且∠CEG=LEAB,求证：AE=2GE; ③)如图3，若CE=MD,Er=3V万，∠ABC=45,当CF取得最小值时，请直接写出AABE的面积. 5 7.(24-25八上·重庆育才中学教育集团半期)(1)问题提出：如图1，点E为等腰ABC内一点， AB=AC,∠BAC=Q,将AE绕着点A逆时针旋转O得到AD,求证：△ABE≌△ACD. (2)尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB=AC,BD⊥CD,过点A的直线分别 交DB的延长线和CD的延长线于点N,M,若LM=60°，求证MC+NB=2AM; (3)问题拓展：如图3，ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，∠BDA=∠BEA=60°， AE,BD交于点H.若CE=5,AH=3,直接写出BE的长度. M A B B 图1 图2 图3 目目 考点02 探究线段的数量关系 8.(24-25八上·重庆荣昌宝城初中·期中)八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和 他们一起活动吧. 图1 图2 图3 (1)【阅读理解】如图(1)，在ABC中，若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围， 小聪同学是这样思考的：延长BD至点E,使DE=BD,连接CE,利用全等将边AB转化到CE,在△BCE 中利用三角形的三边关系即可求出中线BD的取值范围.在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方法是： ;中线BD的取值范围是 (2)【理解与应用】如图(2)，在ABC中，点D是AC的中点，AB=MB,BC=BN,其中 ∠ABM=∠NBC=90°，连接MN,试探索BD与MN的数量关系，并说明理由 (3)【问题解决】如图(3)，在ABC中，∠B=90°，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边 上，若DM⊥DN,试猜想线段AM,CN,MN三者之间的数量关系，并证明你的结论. 9.(24-25八上重庆石柱一中期中)己知△ABC中，BE是角平分线， D P B B 图1 图2 图3 (I)若∠ACB的平分线与BE相交于点D. ①如图1，若LA=80°，求∠BDC的度数； ②如图2，点F,G分别在BC,BE上，连接DF,GF,且∠BAC=2LBDF,GD=DE,试猜想线段CE ,CF和FG之间的数量关系，并证明你的结论： (2)当AB=BC时，P、Q两动点分别在线段BE、线段BC上运动，若∠ACB=70°，则当CP+PQ取得最小 值时，∠CPQ的度数为_· 10.(24-25八上·重庆九十五中.半期)在ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，点D是直线BC上一点. B D D B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在BC边上，且∠DAB=15°，AD=2,求DC的长； (2)如图2，若点D在CB的延长线上，且LDAB=I5°，CE⊥AD于点E,交AB于点F,连接DF,猜想 AC,AD,DF之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点D在边BC,点G在边AC上，且AG=BD,BC=2√2，连接BG,AD,当BG+AD取 最小值时，直接写出△BCG的面积. 11.(24-25八上重庆巴蜀中学.半期)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,M为平面内一点. 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 H 图1 图2 图3 (1)当点M在BA的延长线上时，连接MC; ①如图1，若∠BAC=90°，BD⊥MC交AC于点N,AM=3,求CN的长； ②如图2，若LBAC=60°，将线段MC绕点M逆时针旋转120°得到线段MH,连接BH,若G为BH的中点， 连接MG,请猜想线段MG,BC,MB之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若∠BAC=60°，点M在∠ABC的角平分线上运动（不与点B重合），取BC中点E,将线段EM 绕点E逆时针旋转60°得到线段EP,连接PM,PB,设LBPE=a,请用含的式子表示∠PMB的度数. 12.(24-25八上重庆万州二中教育集团期中)按要求解答下列问题： D 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=LD=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠BAD=2∠EAF.求证：EF=BE+FD; (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠BAD=2∠EAF,请先写出EF、BE、FD之间的数量关系再证明； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且 ∠BAD=2∠EAF,请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系（不证明）· 13.(24-25八上·重庆南岸珊瑚中学教育集团期中)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为平面内一点. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D在边AB上，延长CA到点E,使得AE=AC,连接BE,CD⊥BE,垂足为点F,BC=3 ,AC=1,求CF的长. (2)如图2，若点D在ABC内，连接CD,DA,延长DA到点E,使AE=AD,连接BE,CD⊥BE,垂足 为点H.猜想BC,CD,BE的数量关系，并说明理由. (3)如图3，若点D为边AC上一动点，点E为边AB上一动点，且AD=BE,连接CE、BD,且AC=√5， AB=5,请直接写出8D+CE的最小值。 14.(24-25八上·重庆八中期中)ABC中，AB=BC,点D在直线AC上，连接BD,在BD的上方作 LBDE=∠ABC,且BD=DE,连接BE,BC为线段AF的垂直平分线，垂足为点G,连接EF交BC于点 H. 图1 图2 备用图 备用图 (I)如图1，点D为线段AC中点，EF平分∠BED,∠F=2LFAC,求此时∠ABC的度数； (2)如图2，点D在线段AC上，LABC=60°，试猜想BH与AD的数量关系，并说明理由； (3)若LABC=60°，点D在直线AC上运动，AC=√6，当LCBD=15°时，请直接写出EF2的值. 目目 考点03 角度相关几何证明 15.(24-25八上·重庆松树桥中学.期中)已知在ABC中，AB=AC,过点C引一条射线CM,D是CM上 一点. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M MD E B M 图1 图2 图3 【问题解决】 (1)如图1，若∠ABC=60°，射线CM在∠ACB内部，∠ADC=60°，求证：∠BDC=60°. 小明的做法是：在CM上取一点E,使得AE=AD,再通过已知条件，求得∠BDC的度数.请你帮助小明 写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知LABC=∠ADC=30°，当射线CM在∠ACB内，求∠BDC的度数 【变式迁移】 (3)如图3，已知∠ACB=∠ADC=30°，当射线CM在BC下方，∠BDC的度数会变化时？若改变，请求 出∠BDC的度数，若不变，请说明理由. 16.(24-25八上·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)（1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段 BE、EF、FD之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG, 先证明△ABE≌△ADG,再证明aAEF≌△AGF,可得出结论.他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠E4F=∠BD.(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程。 (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠EAF=∠BAD,请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系. 2 G D D Bh B B E 图1 图2 备用图 17.(24-25八上重庆西南大学附中期中)如图，ABC为等腰三角形，AB=AC,D为BC边上一点， 连接AD. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 图1 图2 M B B D 0 图3 备用图 (1)如图1，若∠BAC=90°，将AD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE,连接BE,若AB⊥BE,BD=4, 求四边形ABED的面积； (②)如图2，若∠BAC=90°，将AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AF,连接BF,若G为BF中点，连接 AG,求证：AG平分∠BAC; (3)如图3，若∠BAC=I00°，BA=BD,点M、N分别在线段AD、AB上，且AM=BN,连接BM、DN, 当BM+DN取最小值时，点P是线段ND上的一个动点，连接PA、PB、PC,请直接写出AP+PC取得 最小值时，∠BPN的度数 18.(24-25八上重庆大足区邮亭中学&五校期中)如图①，在ABC中，AB=AC,点D,E分别是AB, AC上的点，AD=AE,不难发现BD与CE的数量关系， E B B B ① ② ③ (I)将ADE绕点A旋转到图②的位置时，写出BD与CE的数量关系并说明理由； (2)当∠BAC=90°，其他条件不变时，将ADE绕点A旋转到图③的位置 ①根据以上结论小强猜想BD和CE相等并垂直，小强的猜想对吗？请说明理由； ②当点C,D,E在同一直线上时，请直接写出∠ADB的度数. 19.(24-25八上重庆为明学校期中)在△ABM中，AMBM,垂足为M,AM=BM,点D是线段AM上 / 面学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 一动点。 (I)如图1，点C是BM延长线上一点，MD=MC,连接AC,若BD=17,求AC的长； D M 图1 (2)如图2，在(1)的条件下，点E是△ABM外一点，EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是 线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF. B F M 图2 (3)如图3，BD平分∠ABM,BN平分∠ABD,P、Q分别为BN、BA上的动点，当DM=1时，直接写出 PA+PQ的最小值. D 图3 20.(24-25八上重庆西南大学附中期中)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, AD=AE, D E D E 图1 图2 (I)求证∠ABE=LACD; (2)如图2，过点A作AF⊥BE于点G,交BC于点F,过F作FP⊥CD交BE于点P,交CD于点H. ①猜想∠AFB与∠HFC的数量关系，并证明；