专题06 选择压轴题（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06选择压轴题 ☆3大高频烤点概览 考点01代数操作题 考点02全等三角形相关几何综合题 考点03轴对称相关几何综合题 目目 考点01 代数操作题 1. (2425八上重庆南开中学期中)有如下的一列等式： T=a,T=ax-a,T2=a2x2-ax+a0,T3=ax3-a2x2+ax-a0,…，其中n为正整数，Tn的各项系数均不为0 且不相等.交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有() ①多项式T有6个不同的“友好多项式”； ②求多项式T所有不同的“友好多项式”之和，其中x的系数为：2a-a2+4; @若7.=(2x-,郑么当0=2025时，ce+a+an+…+4-1+0。 2· A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.(24-25八上·重庆高新区中学联盟·期中)数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合 数形转化的方法解决一些数学问题，比如x,-x,表示在数轴上数x,x,对应的点之间的距离.现定义一种℉ 运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对-1,1,2进行“F运 算”，得-1-1+-1-2+1-2=6.下列说法： ①对1，-2,3进行“F运算”的结果是8； ②若2<x<y,对于2，x,y进行“F运算的结果是8，则y的值是8； ③对a,a,b,c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式. 其中正确的个数为()· A.0 B.1 C.2 D.3 3.(24-25八上·重庆梁平梁山初中教育集团期中)关于x的多项式： anx”+a-x”-+an-2x"-2+…+a2x2+ax+a。,其中n为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这 样的多项式为“亲缘多项式” ①(2x-1)是“亲缘多项式” 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若多项式ax3+a,x2+ax+a。和b,x4+b,x3+b,x2+b,x+b。均为亲缘多项式”，则 a3x3+a2x2+ax+a+b4x4+bx3+b2x2+bx+b也是“亲缘多项式”. ③多项式(2x-1=b4x4+bx3+bx2+b,x+b,是“亲缘多项式”且b4+b2+b。=41. ④关于x的多项式(ax+b)”,若a≠b,ab≠0，n为正整数，则(ax+b)”为亲缘多项式”. 以上说法正确的有(）个. A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25八上·重庆育才中学期中)已知多项式M=a2+b2,N=2a-2b+m,P=ab+n（m,n为常数)， 下列说法： ①当m>2时，无论a,b取何值，都有M+N>0; ②若m+2n=2且2M+N+2P=0,则a+b=0; ③若m=2n,则不存在整数a,b,使得M+N-2P=1. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 5.(24-25八上·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)有n个依次排列的整式，第一个整式为9x2,第二个整 式为9x2+6x+1,第二个整式减去第一个整式的差记为a,将41+2记为a2,将第二个整式加上a2作为第三 个整式，将a2+2记为4，将第三个整式与4相加记为第四个整式，以此类推.下列说法： ①a2=32x+1； ②当x=2时，第三个整式的值为64； ③若第三个整式与第二个整式的差为21，则x=2; ④第2024个整式为(3x+2023)2. 其中正确的个数是：() A.4 B.3 C.2 D.1 6.（2425八上·重庆长寿实验中学期中)已知A=ax2-4x+3,B=2x2-bx-3,则下列说法： ①若a=2,b=4,则A-B=0: ②若2A+B的值与x的取值无关，则a=-1,b=-4; 15 3 圆当a=l,b=4时，若2A-刷=6，则x=4或x= 4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ④当a=-1,b=1时，2A+B-4+2A+B+3有最小值为7，则 2 g≤x≤3 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 7.(24-25八上重庆两江育才中学期中)已知多项式A=2x-1,B=x2-2x+5(其中x是任意实数). ①若A2-4B=1,则x=5; ②若m?-nB+3x2的值与x的值无关，则m=一27 8 ③存在实数x,使A>B,以上说法正确的个数是() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 8.(24-25八上·重庆礼嘉中学期中)己知多项式P=x2+y2,Q=2x-2y+a,T=xy+b(a,b为常数)， 下列说法： 其中正确的个数是() ①当a≤-1时，无论x,y取何值，都有P-2≥0； ②若a+2b=2,且2P+9+2T=0,则x+y=0; ③若a=2b,则存在整数x,y,使得P+Q-2T=1; A.0 B.1 C.2 D.3 9.(24-25八上·重庆潼南区·期中)对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这 样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1,2,3进行“差绝对值运算”，得到： 1-2+2-3+1-3=4. ①对-2,3,5,9进行“差绝对值运算”的结果是35； 5 ,15 ②x,2,5的“差绝对值运算的最小值是2 ③，b,c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种； 以上说法中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 10.(24-25八上·重庆南川三校联盟·期中)若有两个整式 A=5x3-6x2+10=a(x-1)3+b(x-1)2+cx-1+d,B=x2+ex+∫.下列结论中，正确的有() ①当A+B为关于的三次三项式时，则f=-10; ②当多项式A·B乘积不含x4时，则e=6; ③a+b+c=17; 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④当B能被x-2整除时，2e+f=-4; A.①② B.②③ C.③④ D.①③④ 11.(24-25八上·重庆江津实验&李市&白沙等期中)有一组非负整数：a1,42,an,从43开始，满足 a=a2-a,a4=a-a2,…,an=a-1-a-2,则以下结论正确的个数为() ①当a1=0,a2=1时，a,=0: ②当a1=3,a2=6时，a1+a2+…+a1=27; ③当a1=m,a2=m-2,a5=0时，m=2或6； ④当a1=2,a2=5时，a1+a2+…+a2023=1356. A.1 B.2 C.3 D.4 12.(24-25八上·重庆万州二中教育集团期中)已知多项式M=x2-4y+a和N=y2+4x+b(a、b为常 数)，以下结论：①当a+b=-8时，x+y=0;②当a=b=0时，M×N所得的结果中不含一次项和常数项； ③若a=b,M-N=16,且x、y为正整数时，则x+y=8;④若a+b=10时，则M+N的最小值为2.其中 正确的是() A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 13.(24-25八上·重庆大学城三中.期中)规定：对于依次排列的多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a、b 、c、d是常数)，当它们满足(x+a(x+d-(x+b)(x+c=M(M为常数)，则称a、b、c、d是一组 平衡数，M是该组平衡数的平衡因子.下面四个结论： ①对于多项式x+3,x+2,x+5,x+4,则3、2、5、4是一组平衡数；②已知1、2、5、6是一组平衡数， 则该组平衡数的平衡因子M=4;③已知a、b、c、d是一组平衡数，若a=-5,d=4,则b+c=1;④当 a、b、c、d之间满足a+d-b+c=0时，它们是一组平衡数.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(24-25八上·重庆忠县马灌初级中学.期中)将x-y÷z×m+n(所有字母均不为0)中的任意两个字母 对调位置，称为“对调操作”.例如：“x、y对调操作的结果为y-x÷z×m+n,且“x、y对调操作”和“y、 x对调操作”是同一种“对调操作”. 下列说法： ①只有“x、n对调操作的结果与原式相等； ②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则x=n或m+z=0; / 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③若y=m=z,则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 15.(24-25八上·重庆合川七校联盟期中)依次排列的两个整式a,b,将第1个整式乘以2再减去第2个 整式，称为第1次操作，得到第3个整式2a-b;将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作， 得到第4个整式3b-2a;将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式 6a-5b;…,以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有() ①第7个整式为22a-21b ②第34个整式中Q系数的绝对值比b系数的绝对值大1 ③第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为1024 ④若a=b=1,则第2023次操作完成后，所有整式之和为2025 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.(24-25八上·重庆长寿中学期中)中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整 数，则称三边长叫勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下 结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数； ④若m=Q+b3,n=a24b2,名≠云且m,n,a,Q,b,b2阿为止整数，则m与n之积为整弦数； ⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾 股数”.其中结论正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.(24-25八上重庆十一中教育集团期中)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=axy+bx-4（其 中a,b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算.例如：T(0,1)=a×0×1+b×0-4=-4,若 T(3,1)=11,T(-1,3)=-13则下列结论正确的有() ①a=2,b=3; ②若T(m,m)=0n≠- 2小则m= 4 2n+3 ③若T(m,n=0,则m,n有且仅有2组整数解： ④若无论k取何值时，T(x,)的值均不变，则y=-一 3 ⑤若T(kx,y)=T(ky,x对任意有理数x,y都成立，则k=0. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 目目 考点02 全等三角形相关几何综合题 18.(24-25八上·重庆石柱一初中·期中)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，ABC的角平分线AD、BE相 交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论：①LAPB=135°；② PF=PA;③AH+BD=AB;④S△ABP=S△AEP+SADBP,其中正确的个数是() E H C A.4 B.3 C.2 D.1 19.(24-25八上重庆巫山初级中学·期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∠BAC的平分 线AF交CD于点E,交BC于F,CM⊥AF于M,CM的延长线交AB于点N,以下说法错误的有() 入 ①EN=FC;②AC=AN;③EN∥BC;④LB=45°；⑤若S4Bc=16cm',则S,Bw=8cm A.1 B.2 C.3 D.4 20.(2425八上·重庆渝北实验中学.半期)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,AD=AC,在AC上 截取AE=AB,连接DE,BE,并延长BE交CD于点F,以下结论：①△BAC≌△EAD;② ∠ABE+∠ADE=∠BCD;③BC+CF=DE+EF;④BC=DC,其中正确结论的个数是() B E A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过点E作 EF⊥AB,F为垂足，给出下列结论：①△ABD≌AEBC;②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC;④ BA+BC=2BF.其中正确的有几个() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22.(24-25八上·重庆巴南育才实验中学期中)如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，AHLBC 于H,HA的延长线交DE于G,下列结论：①DG=EG;②BC=2AG;③AH=AG;④SMABC=SAADE,其中 正确的结论为() D G A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 23.(24-25八上重庆綦江联盟校.半期)如图，在ABC中，∠A=60°，两条角平分线BD,CE相交于点 O,下列结论： ①∠AEC+∠ADB=180°；②连接A0,则A0平分∠BAC;③OD=OE;④AD=AE;⑤△COD与△BOE 的面积之和等于△B0C的面积.其中正确的结论有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 24.(24-25八上·重庆云阳期中)如图，在ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D,CE平 分∠ACB交AB于点E,AD、CE交于点F,则下列说法正确的个数为() / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①LAFC=120°；②SABD=S.ADC;③若CE⊥AB,则AB=2AE;④CD+AE=AC;⑤ SAAEF SAFDC AF FC A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 25.(24-25八上重庆江津二中联盟十校期中)如图，点E是BC的中点，AB⊥BC,DC⊥BC,AE平 分∠BAD,下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE;③四边形ABCD的面积等于AE×DE;④ AD=AB+CD.四个结论中成立的是() B D A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①② 目目 考点03 轴对称相关几何综合题 26.(24-25八上·重庆西大附中荣昌实验海棠期中)如图，己知ABC和ADE都是等腰三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F,连接AF,下列结论：①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分 LCAD;④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 27.(24-25八上重庆松树桥中学期中)如图，在ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°， AB=AF,AC=AG,连接FG,交DA的延长线于点E,连接BG，,CF.则下列结论：①BG=CF;② BG⊥CF;③EG=AD;④BC=2AE,其中正确的有() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①②④ 28.(2425八上重庆高新区中学联盟期中)如图，在ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，点D是 BC的中点，点E是AB边上的动点，连接DE,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF,下列结论： ①△ADE兰△CDF;②BE+CF=AC;③EF长度不变；④S四边形AEDF=16;其中正确的个数有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 29.(24-25八上·重庆荣昌宝城初中.期中)如图，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,AD<AB, LBAC=LDAE=49°，连接CE,BD,延长BD交CE于点F,连接AF.下列结论：①BD=CE;② AD=BD;③LBFC=49°；④AF平分∠BFE.其中正确的结论个数是() B A.4 B.3 C.2 D.1 30.(2425八上·重庆开州期中)如图，在等腰ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC于点D, 点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB,下面的结论：①LAP0-∠OBD=30°；② △BP0是正三角形；③AB-AP=A0;④S四边形AOBP=2S△Boc,其中正确的个数是(） 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 专题06 选择压轴题 3大高频考点概览 考点01 代数操作题 考点02 全等三角形相关几何综合题 考点03 轴对称相关几何综合题 地 城 考点01 代数操作题 1．（24-25八上·重庆南开中学·期中）有如下的一列等式：，其中为正整数，的各项系数均不为0且不相等．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（   ） ①多项式有6个不同的“友好多项式”； ②求多项式所有不同的“友好多项式”之和，其中的系数为：； ③若，那么当时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【来源】重庆南开中学2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟试卷 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，整式的加减计算，根据“友好多项式”的定义求出多项式的“友好多项式”即可判断①；根据①所求把所得的6个多项式的“友好多项式”中的的系数相加即可判断②；令得到，则，令得到，则，据此可判断③． 【详解】解：由“友好多项式”的定义可得，多项式的“友好多项式”有：，，，，，，共个，故①正确； 多项式所有不同的“友好多项式”之和的的系数为：，故②错误； 当时，， 当时，， ∴两式相减得， ∴，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：C． 2．（24-25八上·重庆高新区中学联盟·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】 重庆市高新区中学联盟2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查了绝对值，化简绝对值．理解题意，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 根据题意求①，然后判断即可；根据题意知，，计算求解，可判断②，根据，分情况求解，然后判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对1，，3进行“F运算”的结果是不是8；①错误，故不符合要求； 由题意知，， 解得，，②错误，故不符合要求； 由题意知，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能有6种不同的表达式，③正确，故符合要求； 故选：B． 3．（24-25八上·重庆梁平梁山初中教育集团·期中）关于x的多项式：，其中n为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”． ①是“亲缘多项式” ②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”． ③多项式是“亲缘多项式”且． ④关于x的多项式，若，，n为正整数，则为“亲缘多项式”． 以上说法正确的有（        ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】 重庆市梁平区梁山初中教育集团 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷 【分析】①将展开，进行判断即可；②合并同类项后，进行判断即可；③计算出，进行判断即可；④利用特殊值法进行判断即可． 【详解】解：①，是“亲缘多项式”，故①正确； ②∵， 当时，不是“亲缘多项式”，故②错误； ③， ∴是“亲缘多项式”， ∵， ∴， ∴；故③正确； ④当时： ，三次项和一次项的系数相同，不是“亲缘多项式”，故④错误； 综上：正确的有2个； 故选B． 【点睛】本题考查整式的运算．理解并掌握“亲缘多项式”的定义，是解题的关键． 4．（24-25八上·重庆育才中学·期中）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】 重庆市育才中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方． 结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：对于①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； 对于②：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴不存在整数，使得，故③正确． 故选：D． 5．（24-25八上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）有个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．下列说法： ①； ②当时，第三个整式的值为64； ③若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ④第2024个整式为． 其中正确的个数是：（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】重庆市凤鸣山中学教育集团校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查整式的加减、列代数式、以及代数式的求值，属于规律性的题目．根据已知条件求出前几个代数式，找到规律即可解决． 【详解】解：第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为， ， 记为， ，故①正确； 记为， ， 以此类推： 同理可得：， ， ， ， 由于第一个整式为，第二个整式为， 第二个整式加上作为第三个整式， 第三个整式为：， 当时，，故②正确； 第三个整式加上作为第四个整式， 第四个整式为：， 第三个整式与第二个整式的差为， 即，解得：，故③错误； 根据题意，第五个整式为：第四个整式加， 第五个整式为， 同理第六个整式为， 第七个整式为， 第八个整式为， 第2024个整式为，故④正确， 故选：B． 6．（24-25八上·重庆长寿实验中学·期中）已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当时，若，则或； ④当时，有最小值为7，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】 重庆市长寿实验中学校2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】①代入直接计算即可作答；②先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；③代入，可得，解方程即可求解；④根据有最小值为7，可得，代入，，可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：①∵ ∴ 当时，原式，故①错误； ② ∵的取值无关， ∴ ∴，故②错误； ③ 当时， ∴或 解得：或； 故③正确； ④∵有最小值为7 ∴ 由②可得 当时， ∴ ∴ 解得：，故④正确 故选：C． 7．（24-25八上·重庆两江育才中学·期中）已知多项式，（其中是任意实数）． ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③存在实数x，使，以上说法正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【来源】重庆市两江育才中学校2024-2025学年上学期八年级数学期中考试卷 【分析】本题考查了多项式的乘法，负整数指数幂；根据，，代入，即可判断①；根据的值与的值无关，得出即可判断②，计算，即可判断③． 【详解】解：∵，（其中是任意实数），， ∴ 即 解得：，故①正确； ∵ ， 又的值与的值无关， ∴， 解得：， ∴，故②正确； ∵ ∴不存在实数x，使，故③错误； 综上分析可知：正确的个数是2个，故C正确． 故选：B． 8．（24-25八上·重庆礼嘉中学·期中）已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（   ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】重庆市礼嘉中学校2024-2025学年度上学期期中考试八年级数学试题 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可，熟练掌握配方法的步骤是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴ ∵， ∵当时，， ∴， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ， 设， ∴， ∵ ， ∴， ∴要使， ∴， ∵是整数，，而不是整数， ∴不存在整数使得，故③错误， 综上所述，正确的有1个， 故选：B． 9．（24-25八上·重庆潼南区·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【来源】重庆市潼南区初中学校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：对，3，5，9进行“差绝对值运算”得： ，故①正确； 对，，5进行“差绝对值运算”得：， 表示的是数轴上点到和5的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， ，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； ，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③不正确， 综上，故只有1个正确的． 故选：A． 10．（24-25八上·重庆南川三校联盟·期中）若有两个整式．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； A．①② B．②③ C．③④ D．①③④ 【答案】C 【来源】重庆市南川区三校联盟2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（A卷） 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．根据整式的加减法法则，多项式与多项式的乘法法则逐一判断即可解答． 【详解】解：， ， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误； 多项式乘积不含， ，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ，故③说法正确； 能被整除， 可设， ， 即， ， ，故④说法正确． 故选C． 11．（24-25八上·重庆江津实验&李市&白沙等·期中）有一组非负整数：，，，从开始，满足，，，，则以下结论正确的个数为（    ） ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，或6； ④当，时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】重庆市江津区实验中学、李市中学、白沙中学等金砖五校2024-2025学年上学期期中联考八年级数学试题 【分析】本题考查了数字的变化规律、绝对值等知识点，根据所给的式子，找到运算结果的规律是解题关键． 根据所给的式子，分别将，代入计算并找出结果的规律即可解答． 【详解】解：①当，时，代入可得： ， ， ， ， ，故①正确； ②当，时，代入可得： ， ， ， ， ， ， ∴上面的数据，从开始以3，3，0为一个循环，依次出现 ∴， ∵， ∴，故②正确； ③当，，时，代入可得： ， ， ， ∴，即或6，故③正确； ②当，时，代入可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴上面的数据，从开始以1，1，0为一个循环，依次出现， ∴， ∵， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 12．（24-25八上·重庆万州二中教育集团·期中）已知多项式和 （a、b为常数），以下结论：①当时，；②当时，所得的结果中不含一次项和常数项；③若﹐且x、y为正整数时，则；④若时，则的最小值为2．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【来源】重庆市万州二中教育集团2024-2025学年 八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，完全平方公式的应用，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入进行化简，得，即可判断①；把代入进行化简，得，即可判断②；把代入进行化简，得，再结合正整数的条件，即可判断③；把代入进行化简，得，即可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴ ； ∵， 则， 但不一定成立，故①是错误的； 当时，则， ∴所得的结果中不含一次项和常数项； 故②是正确的； ∵﹐ 则， 整理得， 即， 则， ∴， ∵x、y为正整数时， ∴都是正整数，且， 则，或， 解得（不是正整数，故舍去）；或， 则； 故③是正确的； ④∵， ∴ ； ∵， 则， 即的最小值为2． 故④是正确的； 故选：D． 13．（24-25八上·重庆大学城三中·期中）规定：对于依次排列的多项式，，，（、、、是常数），当它们满足（为常数），则称、、、是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．下面四个结论： ①对于多项式，，，，则3、2、5、4是一组平衡数；②已知1、2、5、6是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子；③已知、、、是一组平衡数，若，，则；④当、、、之间满足时，它们是一组平衡数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【来源】重庆大学城第三中学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，． ①②直接根据定义计算的值；③根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入，可得结论；④根据③可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】解：∵对于多项式，，，， ∴ ， ∴3、2、5、4是一组平衡数，故①正确； 1，，5，6是一组平衡数， 故②错误； ，，，是一组平衡数， ， ， ， ， ，， ， ，故③错误； 由③得：， 当，即时，，，，是一组平衡数， 故④错误， 故选:A． 14．（24-25八上·重庆忠县马灌初级中学·期中）将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”． 下列说法： ①只有“、对调操作”的结果与原式相等； ②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则或； ③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】重庆市忠县马灌初级中学校2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论． 【详解】解：， “、对调操作”的结果为 “、对调操作”的结果为，故①错误； ∵“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等， ∴， ， 解得：或，故②正确； ∵， ∴ ∴对调后的结果为，，，共有3种不同运算结果，故③错误； 综上所述，正确的为②， 故选B 15．（24-25八上·重庆合川七校联盟·期中）依次排列的两个整式，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（    ） ①第7个整式为 ②第34个整式中系数的绝对值比系数的绝对值大1 ③第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为1024 ④若，则第2023次操作完成后，所有整式之和为2025 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】CC 【来源】重庆市合川区初中“七校联盟”2024-2025学年上学期期中质量检测八年级 数学试题 【分析】①按要求分别列出即可求解；②由①，可得规律当n是奇数时，a的系数比b的系数大1，当n是偶数时，b的系数比a的系数大1，再求解即可；③分别求出部分整式的系数和，可得第11个整式和第12个整式的系数和是，即可求解；④第2023次操作完成后，得到第2025个等式，共有2027个整式，奇数次操作是1，偶数次操作是，据此可求解． 【详解】解：①第1个整式：a， 第2个整式：b， 第3个整式：， 第4个整式：， 第5个整式：， 第6个整式：， 第7个整式：， 故①符合题意； ②由①可知，当n是奇数时，a的系数比b的系数大1，当n是偶数时，b的系数比a的系数大1， ∴第34个整式中系数的绝对值比系数的绝对值大1， 故②符合题意； ③第1个整式和第2个整式的系数和是2， 第3个整式和第4个整式的系数和是， 第5个整式和第6个整式的系数和是， …… ∴第11个整式和第12个整式的系数和是， 故③不符合题意； ④第2023次操作完成后，得到第2027个等式， ∴（其中第3个1为第一次操作的结果，以后每次操作的结果都是1，2023次就是2023个1，共2025个1） 故④符合题意； 故选：C． 16．（24-25八上·重庆长寿中学·期中）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 17．（24-25八上·重庆十一中教育集团·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【来源】重庆十一中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 地 城 考点02 全等三角形相关几何综合题 18．（24-25八上·重庆石柱一初中·期中）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】重庆市石柱县第一初级中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 19．（24-25八上·重庆巫山初级中学·期中）在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．以下说法错误的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【来源】 重庆市巫山县巫山初级中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试题 【分析】连接，，，根据证得，即可证得，可以判断②正确；由已知，，，从而证得三个直角三角形，即：，，再通过已知，的平分线和对顶角得，即得为等腰三角形，，证明四边形是菱形，可以判断①③正确；根据等腰直角三角形的性质可以判断④错误；根据等底等高的两个三角形面积相等可以判断⑤正确． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵的平分线交于E， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 故①③正确； 在中，， ∵， ∴， 故④错误； ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，则． 故⑤正确． 综上所述：错误的有④，一共1个． 故选：A． 20．（24-25八上·重庆渝北实验中学·半期）如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【来源】重庆市渝北区实验中学校2024一2025学年上学期半期考试 八年级数学试卷 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，再根据定理可得，由此即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断②正确；先根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断③正确；根据可得，再根据可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴，则结论①正确； ∴， ∵，， ∴，， 设，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∵， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，则结论④错误； 综上，正确结论的个数是3个， 故选：B． 21．如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有几个（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， ∴在和中，， ∴，①正确； ②∵为的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．③正确； ④过E作于G点，    ∵E是的角平分线上的点，且， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∴．④正确． 故选：D． 22．（24-25八上·重庆巴南育才实验中学·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【来源】重庆巴南育才实验中学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 23．（24-25八上·重庆綦江联盟校·半期）如图，在中，，两条角平分线相交于点O，下列结论： ①；②连接，则平分；③；④；⑤与的面积之和等于的面积．其中正确的结论有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【来源】重庆市綦江区联盟校2024-2025学年上学期半期考试八年级数学试题 【详解】解；∵， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ①正确； ∵平分，平分， ∴点O在平分线上，平分， ②正确； ∵， ∴， 过点O作于点F，于点G， 则，， ∴, ∴ ， ③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ④不正确； 在上取点H，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴，与的面积之和等于的面积， ⑤正确． ∴正确的有①②③⑤，共4个． 故选：C． 24．（24-25八上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【来源】重庆市云阳县农村初中2024-2025学年 八年级上学期数学期中试题 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质及角平分线的性质，先根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理得到，然后结合三角形的全等，逐一判断每个结论即可． 【详解】解：设，， 平分交于点，平分交于点，， ，，， ； 在中，， 故①说法正确，符合题意； 是的角平分线，不是三角形的中线， 与不一定相等，故与不一定相等， 故②说法错误，不符合题意； 若，则， ∵平分， ∴， ∴， ， ， 故③说法正确，符合题意； 如图1所示，在边上取，连接， 平分，， ， ，， ∵， ， ， 又平分， ∴， ， ，， ， 故④说法正确，符合题意； 过作于，于， ∵， ∴， ∵，， ， 故⑤说法正确，符合题意； 综上，说法正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 25．（24-25八上·重庆江津二中联盟十校·期中）如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市江津二中联盟十校联考2024-2025学年 上学期期中测试八年级数学试题 【详解】解：如图，过E作于F，      ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∵， ∴，故①正确． ∵， ∴，故③正确． 综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A． 地 城 考点03 轴对称相关几何综合题 26．（24-25八上·重庆西大附中荣昌实验海棠·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】重庆市西南大学附属中学荣昌实验学校海棠校区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【详解】解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确；    分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ ∵BD=CE ∴AM=AN ∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD． 故③错误；    ∵平分∠BFE， ∴ 故④正确． 故答案为C． 27．（24-25八上·重庆松树桥中学·期中）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【来源】重庆市松树桥中学校2024—2025学年上学期第二次阶段性测试八年级数学试题 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③错误，④正确， 故选：D． 28．（24-25八上·重庆高新区中学联盟·期中）如图，在中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，过点D作交于点F，连接，下列结论： ①；②；③长度不变；④；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】重庆市高新区中学联盟2024—2025学年上期期中调研测试 八年级数学试题卷 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：由题意：易证为等腰直角三角形， ∵点D是的中点， ∴，平分，且， ∴， 又， ∴， ∴， ①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ②正确； ∵ ， 又， ∴， ∴， 但很明显是变化的， ∴也是变化的， ∴③不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴④正确， 即正确的有3个， 故选：C． 29．（24-25八上·重庆荣昌宝城初中·期中）如图，在和中，，，连接，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】重庆市荣昌区宝城初级中学2024－2025学年八年级上学期期中测试数学试题 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； 如图，记、的交点为， ，， ， ，，， ，故③正确，符合题意； 在上可以是个动点，仍然满足中，，， 不一定等于，故②错误，不符合题意； 如图，作于，作于，   ， 则， ， 由全等三角形的对应高相等可得：， 在和中， ， ， ， 平分，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①③④，共3个， 故选：B． 30．（24-25八上·重庆开州·期中）如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】重庆市开州区开州初中教育集团2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【详解】解：∵，，， ∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°， ∴OB=OC， ∴∠OBD=∠OCD， ∵OB=OP， ∴OC=OP， ∴∠APO=∠OCP， ∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°， ∴，故①正确； ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠PBO， ∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°， ∴∠PBO=∠PBA+∠APO， ∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°， ∴2∠OPB+60°=180°， ∴∠OPB=60°， ∴△BPO是正三角形，故②正确； 在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示： ∵∠PAE=60°， ∴△PAE是等边三角形， ∴AP=PE=AE，∠APE=60°， ∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO， ∴∠BPE=∠OPA， ∵OP=BP， ∴△BPE≌△OPA（SAS）， ∴BE=AO， ∵AB-BE=AE， ∴AB-OA=AP， ∴，故③正确； 延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠ABF=60°， ∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°， ∴∠PBA=∠OBF， ∵PB=OB，AB=BF， ∴△APB≌△FOB（SAS）， ∴， 如要证，需证，由题意无法证明，故④错误； 所以正确的个数有3个； 故选：C． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $