第13章 分式（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024七年级上册

第13章 分式 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 2．若，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D．4 3．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 5．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 6．已知，则式子化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．已知方程，计算（    ） A．8 B．14 C．16 D．32 8．若满足,则的值为（     ） A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或 9．设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 10．已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为； （即，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为； （即） 第三次操作：将作和，结果记为；作差，结果记为； （即）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③若，则；④在第（n为正整数）次操作的结果中：（），； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算的结果是 12．化简： ． 13．方程的解是 ． 14．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 　 　 　 单价（元/千克） 　 　 　 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克． 15．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 16．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 17．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 18．同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 三、解答题：（本大题共9题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 20．解分式方程： (1)； (2)； (3) 21．计算：（结果不含负整数指数幂）： 22．先化简，再求值：，其中，． 23．先阅读，再答题： ， ， …… 一般地，有. (1)计算：； (2)计算：． 24．先阅读材料： 已知不论x取什么值，等式都成立，求a的值． 解：因为不论x取什么值，等式都成立，所以不妨取，得．所以． 根据上述提供的方法，解决下列问题： (1)已知不论x取什么值，等式都成立，求的值； (2)已知不论x取什么值（1、除外），等式都成立，求A、B的值． 25．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 26．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 27．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 分式 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．若，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由可得，代入分式，化简即可． 【详解】解：由可得 将代入可得： 原式 故选：A 【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算． 3．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式． 先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 4．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值. 【详解】原式＝， 因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2， 所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得 X=0、1、3、4、6， 所以所有符合条件的x的值有5个． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误. 5．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 6．已知，则式子化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，分式的化简，熟记绝对值的性质是解题的关键． 7．已知方程，计算（    ） A．8 B．14 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用平方差公式，将方程左边分步通分，进而得到，再求解，进而求解即可． 【详解】解： ， ∴，即， ∴， ∵ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的化简、代数式求值，灵活运用平方差公式，将分式分步通分求解是解答的关键． 8．若满足,则的值为（     ） A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或 【答案】D 【详解】令,则 则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，. 故选D. 9．设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律的探究．先找到规律，利用裂项相消法求得，再计算得到，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 10．已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为； （即，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为； （即） 第三次操作：将作和，结果记为；作差，结果记为； （即）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③若，则；④在第（n为正整数）次操作的结果中：（），； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可． 【详解】解：∵M1=，N1= ∴，， ∴，， ∴，， ，， …… 可知 ，故选项①正确； 由上式可知：， = 当时，，故选项②正确； 由上式可知：， ∴， 解得，或，故选项③不正确； ∵M1=，N1= ，， ，， …… ∴（），，故选项④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．化简： ． 【答案】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 13．方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求解较复杂的分式方程，观察方程两边的特点，先变形再将方程通分转化为整式方程求解，最后检验即可． 【详解】解：原方程可化为：， 通分得：， 化简得：， ∴当时，方程两边都为0，等式成立， 当时，， 去括号得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 故答案为：或． 14．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 　 　 　 单价（元/千克） 　 　 　 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克． 【答案】　 【分析】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，用总价除以总量就是什锦糖的单价，根据题意列方程求解即可． 【详解】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，根据题意得： ，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴需再加入丙种糖千克， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． 15．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 16．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 【答案】 【分析】先在等式的两边同时乘非零数，得到，变形为，，再将三个等式代入所求代数式化简即可得出答案． 【详解】 ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，将已知等式变形是解题的关键． 17．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 18．同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 【答案】 或 或． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）将原方程变形后即可求得答案； （2）将原方程变形后即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 令，则， ∴方程的解为10或， ∴或， 解得或， 经检验，或是原方程的解； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴方程的解为或， ∴或，解得或． 经检验，或是原方程的解． 故答案为：（1）或（2）或 三、解答题：（本大题共9题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． （2）按照分式乘除运算法则进行计算即可． （3）分式的分子分母分别平方即可． （4）按照分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 20．解分式方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21．计算：（结果不含负整数指数幂）： 【答案】 【分析】本题主要考查了含负整数指数幂的分式混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 22．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂等知识，先按相关法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 23．先阅读，再答题： ， ， …… 一般地，有. (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目提供结论化简为，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式加减运算即可求解； （2）根据题目提供结论将原式变形为，逆用分配率得到， 再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算法则，根据题目提供结论将原题进行变形是解题关键． 24．先阅读材料： 已知不论x取什么值，等式都成立，求a的值． 解：因为不论x取什么值，等式都成立，所以不妨取，得．所以． 根据上述提供的方法，解决下列问题： (1)已知不论x取什么值，等式都成立，求的值； (2)已知不论x取什么值（1、除外），等式都成立，求A、B的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）把代入即可得到答案； （2）由等式恒成立，令与，可得，再解方程组即可． 【详解】（1）解：∵不论x取什么值，等式都成立， 令， ∴； （2）∵等式恒成立， 令与则 ，即， 解得：． 【点睛】本题考查的是阅读理解类型题，整式、分式恒等的含义，分式的加减运算，二元一次方程组的解法，理解题意是解本题的关键． 25．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 26．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 27．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $