第26讲 分式 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第26讲 分式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知分式的值等于0，则的取值是（   ） A． B． C．或 D． 4．下列式子中，计算结果与相同的是（    ） A． B． C． D． 5．小丽在化简分式时，部分不小心滴上小墨水，请你推测（    ） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1 6．要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知m2+3m-4=0，则代数式值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米时，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　） A．7 B．11 C．12 D．13 10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．－15 B．－13 C．－7 D．－5 二、填空题 11．约分：① ，       ② ， ③ ， 　　　　④ 若，则的值是 . 12．计算的结果是 13．能使分式值为整数的整数有 个． 14．如果关于x的方程有增根，则 ． 15．若，则 ． 16．咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 17．已知：，请计算： ．（用含x的代数式表示） 18．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 21．解分式方程： (1)； (2)； (3) 22．计算：（结果不含负整数指数幂）： 23．先化简，再从中选择适当的数代入求值． 24．先化简，再求值：，其中，． 25．某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 26．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 27．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 28．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 分式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【解析】解：、，不是最简分式，不合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 故选：． 2．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项计算即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【解析】解：、原变形错误，该项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原式 原变形正确，该选项符合题意； 故选：． 3．已知分式的值等于0，则的取值是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为0，必须符合分子为0，分母不为0，进行计算即可． 【解析】解：由题意得： 且 或且，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0，必须符合分子为0，分母不为0是解题的关键． 4．下列式子中，计算结果与相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂的法则、同底数幂的乘除法法则计算与的结果比较即可判断． 【解析】解：， A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 5．小丽在化简分式时，部分不小心滴上小墨水，请你推测（    ） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1 【答案】A 【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案． 【解析】解：∵， ∴， 故*部分的式子应该是x2﹣2x+1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 6．要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将进行化简得到，利用x是正数，可得出，即可判断A和B的大小，进而可得答案． 【解析】解：由题意可知： ∵， ∴，， ∴，即， 故选：C． 【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简． 7．已知m2+3m-4=0，则代数式值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解析】解： ∵ ∴ ∴原式 故选：D 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米时，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为(x−80)千米//时，根据乘坐“复兴号”动车组列车比乘坐普通快车节省1小时40分钟，列出方程即可． 【解析】解：设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为(x−80)千米//时， 根据题意得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出的分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量关系． 9．若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　） A．7 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可． 【解析】解分式方程﹣2＝，得：， ∵分式方程的解为整数，且x≠2， ∴a=-1，1，2，4，7． 故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．－15 B．－13 C．－7 D．－5 【答案】B 【分析】由不等式组的解求出a的取值范围，再根据分式方程的解验证a的取值即可； 【解析】解：由可得：， 由可得：， ∴，， 解分式方程可得：（y≠-1）， ∵分式方程的解为负整数， ∴a=-8或-5， ∵-8-5=-13， 故选： B． 【点睛】本题考查了根据不等式组和分式方程的解的情况求参数，注意分式方程的分母不能为零． 二、填空题 11．约分：① ，       ② ， ③ ， 　　　　④ 若，则的值是 . 【答案】 ； ； ； ． 【分析】（1）分子分母都约去公因式5ab即可； （2）分别将分子和分母分解因式，再约分； （3）分别将分子和分母分解因式，再约分； （4）将前面的等式进行变形后再代入后面的代数式进行求值即可． 【解析】解：① ； ② ； ③ ； ④ 若，则, ∴． 故答案为：① ；② ； ③ ；④． 【点睛】本题考查了约分及分式的求值：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 12．计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【解析】解： 故答案为：． 13．能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【解析】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 14．如果关于x的方程有增根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可． 【解析】方程两边同时乘以得： 即， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 将代入得：， 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，能根据题意得出是解题的关键． 先根据得出，再利用完全平方公式即可得出结论． 【解析】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：11． 16．咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可． 【解析】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． 17．已知：，请计算： ．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．首先把代入，利用x表示出，进而表示出、，即可得到循环关系，进而即可解答． 【解析】解：由题意可知， ， ， ， ∴y的值每3次一个循环． ∵， ∴． 故答案为：． 18．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【解析】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可； （2）先根据分式的减法法则计算，再根据分式的除法法则，将除法变成乘法，再根据分式的乘法法则计算即可． 【解析】（1） （2） 【点睛】本题考查了整式和分式的混合运算，能正确根据整式和分式的运算法则进行化简是解题关键，注意运算顺序． 20．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． （2）按照分式乘除运算法则进行计算即可． （3）分式的分子分母分别平方即可． （4）按照分式混合运算法则进行计算即可． 【解析】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 21．解分式方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【解析】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 22．计算：（结果不含负整数指数幂）： 【答案】 【分析】本题主要考查了含负整数指数幂的分式混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【解析】解： ． 23．先化简，再从中选择适当的数代入求值． 【答案】，-1 【分析】先根据分式混合运算法则计算，再根据分式的意义条件，选x=1代入化简式计算即可． 【解析】解：原式 ∵，且x≠0，2， ∴把代入． 【点睛】本题考查分式化简求值，分式有意义条件，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂等知识，先按相关法则化简，再代入求值即可． 【解析】解：原式 当，时，原式． 25．某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设书店月份该图书的售价为x元，根据销售量增加本建立方程求解即可； （2）依据由月份书店销售该图书获利元，可求出每本进价，然后求出月份销售该图书获利． 【解析】（1）解：设书店月份该图书的售价为x元， 依题意得 解得 经检验是方程的解， 答：书店月份该图书的售价为元； （2）由（1）可知， 月销量为（本） 月销量为（本） 由月份书店销售该图书获利元， 则每本的进价为：元， 月份书店销售该图书获利为： （元） 答：月份销售该图书获利元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，销售问题；解题的关键是认真审题得出关系式． 26．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 【答案】(1) (2)A的最小值为； (3) 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解； （3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解． 【解析】（1）解：原式 （2）解：由（1）得： 把代入得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴A的最小值为； （3）∵A，B均为正整数 ∴ 当时， ，解得： 当时 或，解得：或 经检验，是原方程的解 ∵a， b为正整数， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 27．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 28．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【解析】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 8 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$