专题02 全等三角形7考点（期中真题汇编，吉林专用）八年级数学上学期人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02全等三角形 ☆7大高频烤点概览 考点01全等三角形的概念与性质 考点02全等三角形的判定 考点03角平分线性质 考点04全等三角形中的结论问题 考点05动点问题 考点06全等综合一添加辅助线（压轴） 考点07全等作图 目目 考点01 全等三角形的概念与性质 1.(24-25八上·吉林松原宁江区·期中)如图，△AEC≌△DFB,点A、B、C、D在同一条直线上，AB=2, BD=5,则线段BC的长度为() B A.2 B.3 C.4 D.5 2.(24-25八上·吉林长春第五十二中学期中下列各命题的逆命题是真命题的是() A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.若a>0,b>0,则a+b>0 D.等边三角形的三个内角都相等 3.(24-25八上·吉林逐梦芳华期中如图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为() 0 b 60° 60° a A.54° B.60° C.66° D.114° 4.(24-25八上·吉林长春德惠·期中)如图，己知ABC与BDE全等，其中点D在边AB上，DE=AB, 1/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE∥AC,AC=10,AD=3,则DE的长是() B A.7 B.10 C.13 D.15 5.(24-25八上·吉林实验中学期中)如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD≌△EBC,若∠C=20°，则 LA=度. D E B 目目 考点02 全等三角形的判定 1.(24-25八上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学期中)如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距 离，作线段AC与BD相交于点O,使AC=BD,AO=DO,只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B 间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是() A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.(24-25八上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学.期中)如图，△ACM与△CBN都是等边三角形， AC>BC,若△ACM不动，将△CBN绕点C旋转，则在旋转过程中，AN与BM的大小关系是() 2/14 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 M A.AN BM B.AN>BM C.AN <BM D.无法确定 3.(24-25八上·吉林松原乾安县期中)如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件_，使得 △ABD≌△ACD.(添一个即可) 4.(24-25八上·吉林逐梦芳华期中)如图，要测量两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取 两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使点A、C、E在同一条直线上，这时测得DE的长度就 是AB的长度，这是由△ABC≌△EDC时，得到AB=ED的缘故.此问题中判定△ABC≌△EDC的依据 是 5.(24-25八上·吉林吉林博达中学期中如图：AE=DE,LA=∠D,AC和BD相交于点E,求证： AB=DC. 6.(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)如图，点E在边CD上，BC与AE交于点F, AB=CB,BE=BD,∠1=∠2. 3/14 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 F 3 D E (I)求证：△ABE≌△CBD; (2)若∠2=72°，则∠3=° 7.(24-25八上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学期中)如图，在ABC与△CDE中，点C在线段BD上， 且AB⊥BD,DE⊥BD,AC=CE,BC=DE.求证：AB=CD. E B D 8.(24-25八上·吉林松原乾安县期中)如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布 制伞.油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞骨BD=CD,AB=AC,试问：当伞圈D沿着伞柄AP滑动 时，伞柄AP是否始终平分∠BAC？请说明你的理由. 图1 图2 9.(24-25八上·吉林吉林第七中学校期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,交CB于点D, 过点D作DE⊥AB于点E· (I)求证：△ACD≌△AED; (2)若∠CAB=60°，CD=3,求BC的长 10.(24-25八上·吉林长春九台区多校·期中)某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不 4/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 用涉水过河就能测得河的宽度.他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A; ②沿河岸直行15m处有一棵树C,继续前行15m到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得DE的长为10m. 根据测量数据求河的宽度. 11.(24-25八上·吉林长春九台区多校·期中如图，在ABC中，AB=AC,分别以AB、AC为斜边作 Rt△ABD和RtAACE,使AD=AE,∠ADB=∠AEC=90°，连接BE、CD相交于点F,连接AF并延长交 BC于点G. (I)求证：△ABD≌△ACE; (2)求证：G为BC的中点. MDEA入 图① 图② 图③ (1)如图①，若LBAC=90°，BD=3,CE=2,则线段DE的长为 (②)如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若将题中的“LBDA=LBAC=LAEC”变为“∠BDM=∠BAC=∠MEC”,其他条件不变，且 BD=5,CE=8,请直接写出DE的长. 5/14 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 角平分线性质 1.(24-25八上·吉林逐梦芳华期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，DC=DE,点F为AC上 的点，DE⊥AB,垂足为点E,DF=DB, (I)求证：AD为∠BAC的平分线； (2)求∠ADF的度数. 2.(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)【定理回顾】 (1)我们已经学习了“角平分线的性质定理”，如图1，已知：∠A0C=∠B0C,点P在0C上，PD⊥OA、 PE⊥OB,垂足分别为D,E,求证：PD=PE.请写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 【定理应用】 (2)如图2，在图1的基础上，做一个∠MPN,使得∠MPN=∠DPE, ①证明：∠PN0+∠PM0=180°； ②若∠AOB=60°，OM=MP,直接写出PN与ON的数量关系. D M B EN B 图1 图2 3.(24-25八上·吉林吉林龙潭区吉化第三中学校·期中)(1)特例探究 如图1，已知在ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD,判断△ABD是 三角形， (2)归纳证明： 如图2，己知在ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD,把Rt△DEF 的直角顶点D放在AC的中点上，DE交AB于M,DF交BC于N. 6/14 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求证：DM=DW. (3)拓展应用： 在(2)的条件下，AC=4,请直接写出Rt△DEF与ABC的重叠部分的面积. E B B木 M D D 图1 图2 目目 考点04 全等三角形中的结论问题 1.(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校期中)如图，ABC是等边三角形，D是AB上一点， DE⊥BC于点E,F为CE上一点且BE=EF,连接DF,HG垂直平分DE,交AC于点H,交AB于点G, 连接DH、EH·下列结论中：①△DHE是等腰三角形；②BDF是等边三角形；③AD=HD;④ LAHG=60°.正确结论的序号有 E 2.(24-25八上·吉林长春德惠期中)如图，在ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE, ∠B=∠E,若添加一个条件，使△ABC≌△DEF·下面所列条件正确的有一 ①BF=CE;②LA=∠D;③AC=DF;④AC∥DF 7/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 动点问题 1.(24-25八上·吉林白城部分学校月考)如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=m,点P以每秒1个单 位长度的速度从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向点D运动，设P、Q两点 运动的时间为t(秒)，点E为边CD上任意一点（点E不与点C、D重合)，连接PO、OE. D E B (1)请直接用含m,t的代数式表示线段QD的长度； (2)当m=5时. ①若点E是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求t的值； ②若△APQ与△EDQ全等，求DE的长； (3)若在边AD上总存在点Q,使得△APQ≌△DQE（点A、P、Q的对应点分别为点D、Q、E),请直 接写出m的取值范围. 2.(24-25八上·吉林长春吉林大学附属中学.期中)如图，在ABC中，AB=6,BC=5,点D为边AB的中 点.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC运动，同时动点2从点C出发，以每秒Q个单位 长度的速度沿线段CA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒 D B P (1)线段PC的长= (用含t的代数式表示)； (2)若AC=AB,且点P在边BC上时，若△BPD与△CPQ全等，求a和t的值； (3)当LACB=68°，且△CPQ为等腰三角形时，直接写出∠CP2的度数 3.(24-25八上·吉林吉林丰满区吉林松花江中学·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=2cm, BC=AD=4cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向终点C运动，设点P的运动时间为s. 8/14 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 D BP→ B P P 备用图 (1)PC cm.(用含x的代数式表示) (2)当x为何值时，△ABP≌△DCP? (3)当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿折线CD-DA向终点A运动.当 BP-DQ时，直接写出x的值， 4.(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)如图1，ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD, D 图1 图2 备用图 (I)若BE平分∠ABC,请求出∠BAC的度数； (2)如图2，连接0C,请判断a0DC的形状，并说明理由； (3)若AC=5,F是射线BC上一点，且CF=A0,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速 度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时， P,Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，请直接写出此时t的值. 5.(24-25八上·吉林长春第一O八学校月考)如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=12,点B在 直线m上，点M是直线m上点B左边的一点，且BM=4,∠ABM=60°.动点P从点A出发，以每秒2个 单位长度的速度沿折线AB-BC向终点C匀速运动；同时动点Q从C点出发，以每秒6个单位长度的速度 沿折线沿CB-BA向终点A匀速运动.两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点P、点Q作PD⊥m于 D,QE⊥m于E.设点P的运动时间为ts(t>0). O MD B E m (I)用含t的代数式表示BP的长， (2)当点Q在边BC上时，求证：∠PBD=∠BQE (3)连结PM、QM,在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出t值. 9/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)当△PBD与△BQE全等时，直接写出t的值. 目目 考点06 全等综合 一一添加辅助线（压轴） 1.(24-25八上·吉林吉林第七中学校期中(1)【问题发现】 如图①，把一块三角板ABC(AB=BC,∠ABC=90)放入“U”形槽中，使三角板ABC的三个顶点A,B,C分别 在槽的两壁及底边上滑动，己知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是_，与线段 AD始终相等的线段是_； (2)【拓展探究】 如图②，在ABC中，点D在边BC上，且DA=DE,∠B=∠ADE=∠C.求证：△ADB≌△DEC; (3)【能力提升】 如图③，在等边△DEF中，点A,C分别为DE,DF边上的点，AE=6,连接AC,以AC为边在△DEF内作 等边ABC,连接BF,当∠CFB=30°时，请直接写出CD的长为_· D B B 图1 图2 图3 2.(24-25八上·吉林逐梦芳华期中【阅读理解】 如图①，在ABC中，AB>AC,点D是边BC的中点，连接AD,求证： (B+AC)>AD>(4B-AC) 2 证明：延长AD至点E,使AD=DE,连接BE, :点D是边BC的中点，.BD=DC. 又 =∠EDB, ≌△EBD,.AC=BE. 在△ABE中，AB+BE>AE>AB-BE, ∴.AB+AC>2AD>AB-AC,∴. 请将你上面的填空补充完整， 【方法运用】 (1)如图②，在ABC中，AD是BC边上中线，若AB=4,AC=2,则AD的取值范围是 (2)请你把证明补充完整. 10/14 专题02 全等三角形 7大高频考点概览 考点01 全等三角形的概念与性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 角平分线性质 考点04 全等三角形中的结论问题 考点05 动点问题 考点06 全等综合——添加辅助线（压轴） 考点07 全等作图 地 城 考点01 全等三角形的概念与性质 1．(24-25八上·吉林松原宁江区·期中)如图，，点A、B、C、D在同一条直线上，，，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查线段的和差，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得出，进而根据线段的和差，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 2．(24-25八上·吉林长春第五十二中学·期中)下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．等边三角形的三个内角都相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理． 分别写出四个命题的逆命题，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误； B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“角对应相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误； C、“若，则”的逆命题为“若，则”，此逆命题为假命题，所以C选项错误； D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D选项正确． 故选：D. 3．(24-25八上·吉林逐梦芳华·期中)如图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质．先求出边的对角，再根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”得出答案． 【详解】解：根据三角形内角和可得边的对角， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 4．(24-25八上·吉林长春德惠·期中)如图，已知与全等，其中点在边上，，，，，则的长是（   ） A．7 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了全等三角形的性质．根据，可得，再由与全等，，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与全等，， ∴是对应边， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 5．(24-25八上·吉林实验中学·期中)如图，点在同一直线上，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质，由，则，，根据点在同一直线上，有，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 全等三角形的判定 1．(24-25八上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段与相交于点O，使，，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离， 故选：B． 2．(24-25八上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)如图，与都是等边三角形，，若不动，将绕点C旋转，则在旋转过程中，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明即可说理． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．(24-25八上·吉林松原乾安县·期中)如图，已知，请你添加一个条件 ，使得．（添一个即可） 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键，根据题中，，再添加，，等条件都可证明． 【详解】解： 由题可得：，， 若添加，则根据“”可得； 若添加，则根据“”可得； 若添加，则根据“”可得； 故答案为：（不唯一）． 4．(24-25八上·吉林逐梦芳华·期中)如图，要测量两岸相对的两点A、B的距离，可以在的垂线上取两点C、D，使，再定出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上，这时测得的长度就是的长度，这是由时，得到的缘故．此问题中判定的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由题意可得，再利用即可证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是， 故答案为：． 5．(24-25八上·吉林吉林博达中学·期中)如图：，和相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，已知，根据对顶角相等可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】证明：在和中， ， ． 6．(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，则________． 【答案】(1)见解析 (2)72 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识； （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，结合三角形外角的性质可得出，最后结合已知即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：72． 7．(24-25八上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)如图，在与中，点C在线段上，且，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 证明，由全等三角形的性质得出； 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 8．(24-25八上·吉林松原乾安县·期中)如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞骨，，试问：当伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄是否始终平分？请说明你的理由． 【答案】伞柄始终平分，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，从实际应用中抽象出数学问题是解题的关键．利用三边对应相等的两个三角形全等，证得，再利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：伞柄始终平分，理由如下： 证明：在和中，， ， ， 平分． 9．(24-25八上·吉林吉林第七中学校·期中)如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，证明出全等是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）由全等得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，，， ， 在中，， ． 10．(24-25八上·吉林长春九台区多校·期中)某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得的长为． 根据测量数据求河的宽度． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， 答：河宽为． 11．(24-25八上·吉林长春九台区多校·期中)如图，在中，，分别以为斜边作和，使，，连接相交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)求证：G为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用即可证明； （2）利用得到，，结合题意可证，进而证明，从而得到，利用全等三角形的性质可知，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ； （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， G为的中点． 12. (1)如图①，若，则线段的长为_________； (2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长． 【答案】(1)5 (2)），理由见解析 (3)3 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 角平分线性质 1．(24-25八上·吉林逐梦芳华·期中)如图，在中，，，，点为上的点，，垂足为点，． (1)求证：为的平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得，由已知条件及角平分线的判定定理即可得出结论； （2）利用可证得，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形角平分线的定义可得，然后由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，           ， 又， 为的平分线； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）可得：为的平分线， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理是解题的关键． 2．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)【定理回顾】 （1）我们已经学习了“角平分线的性质定理”，如图，已知：，点在上，、，垂足分别为，，求证：．请写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图，在图的基础上，做一个，使得， 证明：； 若，，直接写出与的数量关系． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；． 【分析】（）由，，得，证明即可； （）得，即，证明，再根据等角的补角相等即可求解； 根据外角性质得，再证明，最后利用直角三角形的性质即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，直角三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：（）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴， 由（）得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 3．(24-25八上·吉林吉林龙潭区吉化第三中学校·期中)（1）特例探究： 如图1，已知在中，，，为边的中点，连接，判断是______三角形． （2）归纳证明： 如图2，已知在中，，，为边的中点，连接，把 的直角顶点放在的中点上，交于，交于． 求证：． （3）拓展应用： 在（2）的条件下，，请直接写出与的重叠部分的面积． 【答案】（1）等腰直角；（2）证明见解析；（3）2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，理解定理是解答此题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和三线合一，直接证得是等腰直角三角形即可； （2）证得，即可得出答案； （3）由（2）中证明可知 ，可将重叠部分的面积转化，根据三线合一和三角形面积公式即可解答． 【详解】（1），， 为等腰直角三角形． 为边的中点， ，，， ， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角； （2）， ． 是的中点， ，，， ， ． ， ， ． 在和中， ，，， ， ． 由（2）可知， ∴重叠部分面积． 因为是中点，， ∴，． ， ∴与的重叠部分的面积为． 地 城 考点04 全等三角形中的结论问题 1．(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)如图，是等边三角形，D是上一点，于点E，F为上一点且，连接，垂直平分，交于点H，交于点G，连接、．下列结论中：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．正确结论的序号有 ．     【答案】①②④ 【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故④正确；根据，即可判断，故③错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故③错误． 综上可知正确的结论为①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 2．(24-25八上·吉林长春德惠·期中)如图，在和中，点在同一直线上，，，若添加一个条件，使．下面所列条件正确的有 ． ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定,平行线的判定和性质，理解判定三角形的全等的AAS，SSS，ASA是解答关键． 根据SAS来判定①，根据AAS来判定②，两条对边相等，其中一条对边的对角相等的两个三角形不全等来判定③，由平行线的性质得到，再利用AAS来判定④． 【详解】解：， ． ，， （AAS），故①符合题意； ，，， （AAS），故②符合题意； ，，， 不能得到与全等，故③不符合题意； ， ． ，， （AAS），故④符合题意． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 地 城 考点05 动点问题 1．(24-25八上·吉林白城部分学校·月考)如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． (1)请直接用含，的代数式表示线段的长度； (2)当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①；②或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； （2）解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 2．(24-25八上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)线段的长=________（用含t的代数式表示）； (2)若，且点在边上时，若与全等，求和的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数 【答案】(1)； (2)，或，； (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论； （3）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成． 【详解】（1）解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上，； （2）解：中，，点为的中点，， ，， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，； （3）解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， 则； 当时，则， 则； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或． 3．(24-25八上·吉林吉林丰满区吉林松花江中学·期中)如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿向终点C运动，设点P的运动时间为． (1)_________．（用含x的代数式表示） (2)当x为何值时，? (3)当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以的速度沿折线向终点A运动．当时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查了列代数式、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，再由计算即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，即，求解即可； （3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵点P从点B出发，以的速度沿向终点C运动，设点P的运动时间为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当x为时，； （3）解：如图，当点在上时，，则， ∵， ∴， 解得：； 如图，当点在上时，，则， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当时，x的值为或． 4．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)如图1，的两条高与交于点，， (1)若平分，请求出的度数； (2)如图2，连接，请判断的形状，并说明理由； (3)若，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）由证明，根据对应角相等求得，再利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的定义即可求解； （2）由，得到，据此可得答案； （3）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，全等，根据对应边相等求得值． 【详解】（1）解：∵的两条高与交于点O， ∴，， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， 平分， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形；理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由题意得，， ①当点在延长线上时：、分别运动到如图位置， ，， 当时，． ，， ， 解得． ②当点在之间时：、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质的应用，四边形的内角和定理的应用，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．(24-25八上·吉林长春第一〇八学校·月考)如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)t的值为或 (4)t的值为1或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）分两种情况情况，点在上，在上，由题意可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出结论； （3）当点在边上，且时，是等边三角形，当点Q在边上，时，是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案； （4）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，在上，， ∴； 当时，点在上， ∵， ∴； ∴的长为或； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为或； （4）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点Q在边上，，， 此时，，，则有， ∴， ∴ 解得：； 当时，点P，Q都在边上时，，， 点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点到终点停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点到终点停止不动，点P在边上，，，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或． 地 城 考点06 全等综合——添加辅助线（压轴） 1．(24-25八上·吉林吉林第七中学校·期中)（1）【问题发现】 如图①，把一块三角板放入“”形槽中，使三角板的三个顶点分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是 ，与线段始终相等的线段是 ； （2）【拓展探究】 如图②，在中，点在边上，且，．求证：； （3）【能力提升】 如图③，在等边中，点分别为边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据直角三角形的性质及平角的定义推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出； （2）根据三角形外角性质推出，利用即可证明； （3）过点作交于点，根据等边三角形的性质推出，，，根据平行线的性质及等腰三角形的判定推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：；； （2）证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图3，过点作交于点， 、是等边三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 2．(24-25八上·吉林逐梦芳华·期中)【阅读理解】 如图①，在中，，点D是边的中点，连接．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点，∴． 又∵________，∴________，∴． 在中，， ∴，∴________________． 请将你上面的填空补充完整． 【方法运用】 （1）如图②，在中，是边上中线，若，，则AD的取值范围是________． （2）请你把证明补充完整． 如图③，在中，点D为BC中点，．求证：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴，∴． 连接，∵，∴． ∵，，∴，∴． 【拓展提升】 如图④，在中，是角平分线，过的中点M作垂线，分别交的延长线于点F、E．当，时，直接写出的长． 【答案】阅读理解：，，，方法运用：（1）．（2）见解析，拓展提升：7． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质与判定等等： 阅读理解：根据已给推理过程，结合线段之间的关系证明即可； 方法运用：（1）根据阅读理解的结论求解即可； （2）延长到点G，使，连接．证明，得到． 连接，再证明，得到，由，即可证明； 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，则． 【详解】阅读理解：证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 方法运用：（1）延长至点E，使，连接， 由阅读理解可知， ∴， ∴； （2）证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴， ∴． 连接， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G， ∵在中，是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八上·吉林吉林丰满区吉林松花江中学·期中)已知，在中，，过点B引一条射线，点D是上一点． 【问题解决】（1）如图①，若，射线在内部，，求的度数． 小丽同学做法：在上取一点E，使得． ， ∴为等边三角形．（                    ）（写根据） ，． 又，，为_________三角形．（填“等腰”或“等边”） ，，． ∴_________，． _________°． 请你帮助小丽补充完整证明过程． 【类比探究】（2）如图②，已知． ①当射线在内部，求证：． 证明：在上取一点E，使得． ． ， ． 请你补充完整 ②当射线在下方（如图③）时，直接写出的度数． 【答案】（1）有一个角是的等腰三角形是等边三角形；等边；；60；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的判定定理得出、为等边三角形，证明，得出，即可得解； （2）①证明，得出，再根据即可得解；②延长，在上取一点，使得，证明得出，即可得解． 【详解】解：（1）在上取一点E，使得． ， ∴为等边三角形．（有一个角是的等腰三角形是等边三角形） ，． 又，， 为等边三角形． ， ， ． ∴， ． ； （2）①证明：在上取一点E，使得． ，． ，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长，在上取一点，使得， ，． ，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25八上·吉林长春九台区多校·期中)【问题原型】在数学活动课上，徐老师给出如下问题：如图①，在中、，，以为斜边作直角三角形，点D在边上方，与交于点O，连接，过A作于点E．求证：（不需证明）： 【解决问题】如图②，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．根据小明同学的思路证明； 【应用】 （1）在图①中，的大小为__________度； （2）若O是的中点，且，则四边形的面积为__________． 【答案】解决问题：见解析；应用：（1）135；（2）12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 解决问题：通过证明即可得出结论； 应用（1）：利用三角形全等得到，结合三角形内角和定理求出的度数进而求出结果； （2）通过证明得到，通过求出角的度数得到，利用等腰三角形的性质即可得出，求出结果即可． 【详解】解：解决问题：如图②，在上截取，连接， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 应用：（1）， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：135； （2）是中点，即， ，， 在与中， ， 。 ， 由（1）得， ， ， ， 是等腰的高， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 5．(24-25八上·吉林吉林第九中学·期中)中， ，点 E、F分别是边和上的动点，但始终保持不变． (1)如图①，若求证： (2)如图②，当与不平行时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)设则 周长的最小值为 （用含a 的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再由平行线的性质推出，则，再由三线合一定理得到，则可证明，进而可证明； （2）在上截取，连接，证明，得到，，导角证明，得到，则； （3）证明是等边三角形，推出当时，最小，即此时的周长最小，求出，此时有，即可得到的周长最小为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当时，最小，即此时的周长最小， ∵ ∴， ∴此时有， ∴的周长最小为．37．已知三点均在直线上，且． 6．(24-25八上·吉林长春东北师大附中净月校区慧泽中学初中部·月考)（1）基础夯实：如图1，垂足分别为D、E，，，则的长为_____． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线上．的边、上，，点E，F在内部的射线上，且，求证： （3）拓展应用：如图3，在中，，点D在边上，点E在线段上，若，则_____． 【答案】（1）3；（2）证明过程见详解；（3） 【分析】（1）由，，得，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）由，推导出，由，得，而，即可根据“”证明； （3）在上截取，连接，由，得，而，即可根据“”证明，则，由，设，则求得，则，所以，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解： 如图1：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：3； （2）证明：如图2所示： ，，且， ， ， ， 在和中， ， （3）解：如图3， 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 即 ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查同角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合及类比等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 地 城 考点07 全等作图 1．(24-25八上·吉林长春南关区·期中)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个使它与全等； (2)在图②中画一个使它与全等； (3)在图③中画一个使它与全等，其中M、N为格点且不与B、C重合． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图、全等三角形的判定： （1）在方格中找到满足，的格点，或满足，的格点即可； （2）在方格中找到满足，的格点即可； （3）在方格中找到满足，,的格点即可． 【详解】（1）解：如图，或即为所求； （2）解：如图，或即为所求； （3）解：如图，或即为所求． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $