精品解析：2025年山西省临汾市永和县中考数学模拟练习卷

2025年山西省临汾市永和县中考数学模拟练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，属于负数的是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的概念．掌握相关定义即可．根据正数是比0大的数，负数是比0小的数即可解答． 【详解】解：选项各数中，属于负数的是， 故选：C． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．正确掌握相关定义是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：． 3. 如图，空心圆柱体的主视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了简单组合体的三视图，检验了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 确定出几何体的主视图即可． 【详解】解：空心圆柱体的主视图是 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法．分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别化简判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、与不是同类项，无法计算，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 5. 如图，下列条件中能判定ABCD的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠B=∠D D. ∠D=∠5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．平行线的判定定理：判定方法1：同位角相等，两直线平行；判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【详解】A. ∠1=∠2，，不符合题意； B. ∠3=∠4，，符合题意； C.∠B=∠D ，不能判断任何线段平行，不符合题意； D. ∠D=∠5，，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键． 6. 已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分别代入四个选项中的解析式，求出对应的值，如果，那么符合题意；否则不符合题意． 本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，函数图像上的点的坐标一定满足该函数的解析式． 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选C． 7. 下列说法中错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 圆的内接平行四边形是矩形 C. 三角形不一定有外接圆 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的相关定义，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，三角形的外心逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 直径是圆中最长的弦，故该选项正确，不符合题意， B. 圆的内接平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意， C. 三角形一定有外接圆，故该选项不正确，符合题题意， D. 90°的圆周角所对的弦是直径，故该选项正确，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了圆的相关定义，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，三角形的外心，理解相关定义定理是解题的关键． 8. 某闭合并联电路中，各支路电流与电阻成反比例，如图表示该电路与电阻的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为，则导体内通过的电流为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，可设I=，根基图象得到图象经过点（5，2），代入解析式就得到k的值，从而能求出解析式． 【详解】解：可设， 根据题意得：， 解得k=10， ∴． 当R=4Ω时， （A）． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，利用待定系数法是求解析式时常用的方法． 9. 一个不透明的袋中装有个红球，个黄球，它们除颜色外完全相同，现有放回地从中随机摸取两次小球，每一次只摸出个小球，则两次摸出的小球都是红球的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意列表或画出树状图，然后由列表或树状图求得所有等可能的结果与两次摸出两个球恰好是两个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 黄 黄 红 红，红 红，红 红，黄 红，黄 红 红，红 红，红 红，黄 红，黄 黄 黄，红 黄，红 黄，黄 黄，黄 黄 黄，红 黄，红 黄，黄 黄，黄 由表可知一共有种情况，两次摸到的小球都是红球有种情况， 所以两次摸出的小球都是红球的概率， 故选：． 10. 如果一个扇形的弧长和半径均为2，则此扇形的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：由题意， ，则.故本题应选D. 点睛：下面简述下的推导过程,其中 为扇形的弧长， 为半径. , ，则 . 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 窗棂（如图1）是中国传统木构建筑的框架结构，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，也成为建筑的审美中心．图2是从图1中提取的由六条线段组成的图形，若，则________． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和问题，根据多边形的外角和为计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，连接．设，则．由折叠的性质得，，，可证明，可得，从而得到．再证得，可得，从而得到，进而得到然后在中，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接． 四边形为正方形，且边长为6， ，． 设，则． 由折叠的性质得，，， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：4． 13. 如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 14. 若，则，的值分别为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 【详解】解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 某校为了了解学生对文学类、科技类、艺术类、体育类、综合类这5类课后服务课程的喜爱程度，对该校部分学生进行了抽样调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一类），并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图： 请根据统计图提供的信息，完成下列问题： （1）此次被调查的学生共有多少人？请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中的______，“综合类”部分扇形的圆心角的度数是______； （3）若该校共有学生人，请估计该校喜爱“科技类”课程的学生大约有多少人？ 【答案】（1）200人，图见解析 （2）30， （3）300人 【解析】 【分析】（1）用文学类的人数除以对应的百分比即可得到被调查的学生总人数，再分别计算出艺术类和综合类的人数，补全统计图即可； （2）用体育类人数除以总人数乘以百分比得到，即可得到m的值，用乘以综合类的百分比即可得到“综合类”部分扇形的圆心角的度数； （3）先计算出被调查的学生中喜爱“科技类”课程的学生占的百分比，再用该校总人数乘以求出的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）； 艺术类人数为：（人）， 综合类人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 ， ， 故答案为：30， 【小问3详解】 ， 估计该校喜爱“科技类”课程的学生人数约：（人）． 【点睛】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，扇形圆心角，样本估计总体等知识，弄清题意，根据数据准确计算是解题的关键． 17. 如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． （1）求观测点与点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】（1）海里 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 18. 已知表示，，，四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的实数，满足以下关系式：，． （1） _______； （2）的倒数和绝对值都是本身，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析出所表示的运算类型，再进行计算； （2）的倒数和绝对值等于本身，故，然后进行计算． 【小问1详解】 解：，， 表示的是加法运算． ． 【小问2详解】 解：的倒数和绝对值都是本身， ． ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的四则运算，解决本题的关键是分析运算是四则运算中的哪一种． 19. 如图，在中，平分，交于点D． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交边于点E，交边于点F，连接，（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）．见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、平行四边形的判定和性质． （1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、D为圆心，以大于的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段的垂直平分线． （2）利用线段垂直平分线的性质，可以证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示． ； 【小问2详解】 解：． 证明：平分， ． 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ． 20. 每年的3月14日为国际数学日，在国际数学日到来之际，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要130元，购买5副七巧板和4副数独棋需要240元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过1200元，则数独棋最多能购买多少副？ 【答案】（1）七巧板和数独棋的单价分别为20元，35元 （2）13副 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设七巧板和数独棋的单价分别为元，元，根据购买3副七巧板和2副数独棋需要130元，购买5副七巧板和4副数独棋需要240元，列出方程组，解方程组即可； （2）设数独棋购买的数量为，根据购买经费不超过1200元，列出不等式，解不等式即可． 小问1详解】 解：设七巧板和数独棋的单价分别为元，元， 根据题意得， 解得：， 答：七巧板和数独棋的单价分别为20元，35元． 【小问2详解】 解：设数独棋购买的数量为副， 根据题意得：， 解得， 的最大值为13． 答：数独棋最多能购买13副． 21. 阅读与思考 下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点． 任务： （1）如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数． （2）如图，是的“沉毅三角形”，且与相切， 判断是否为的“完美三角形”，并说明理由； 若，则的周长为________． 【答案】（1）； （2）是完美三角形，见解析；． 【解析】 【分析】根据等边三角形和等腰直角三角形的性质，可知，，根据圆周角定理可知，根据一周角可以计算出； 根据是等边三角形，且与相切，可以求出，根据，可知，根据等边三角形的性质可知，从而可知，又因为是的直径，从而可证与相切； 根据锐角三角函数求出，根据等边三角形三边都相等，可得的周长为． 【小问1详解】 解：以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”， 是等边三角形，是以为底边的等腰直角三角形， ，， 为半圆的直径， ， ； 【小问2详解】 解：是“完美三角形”，理由如下： 如下图所示，连接， 是的“沉毅三角形”， 是等边三角形， ， 与相切， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 与相切， 又与相切， 是的“完美三角形”； ②， 由可知，， 为半圆的直径，且， 在中，， 的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、角直角三角形、等边三角形的性质，解决本题的关键是读懂“朴实三角形”、“沉毅三角形”、“完美三角形”，根据这三个定义找图形中边、角之间的关系． 22. 如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点，．请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度； （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【答案】（1）喷水装置OA的高度为米； （2）喷出的水流距水面的最大高度是米； （3）水池的半径至少要1+米，才能使喷出的水流不至于落在池外 【解析】 【分析】（1）将点B、C坐标代入y＝﹣x2+bx+c列方程组求出b、c的值即可得解析式，令x＝0可得y的值，即喷水装置OA的高度； （2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度； （3）令y＝0可得对应x的值． 【小问1详解】 解：根据题意，将点B（，），C（2，）代入y＝﹣x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+2x+， 当x＝0时，y＝， ∴喷水装置OA的高度为米； 【小问2详解】 解∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+， ∴当x＝1时，y取得最大值， 故喷出的水流距水面的最大高度是米； 【小问3详解】 解：当y＝0时，﹣x2+2x+＝0， 解得：x1＝1﹣，x2＝1+， ∵x1＝1﹣＜0，不合题意，舍去， ∴x2＝1+， 答：水池的半径至少要1+米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点、y轴交点的实际意义是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动． 如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接． 【猜想证明】 （1）直接判断四边形的形状． （2）求证：． 【深入探究】 （3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，． ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出值． 【答案】（1）四边形是正方形；（2）见解析；（3）①．见解析；②． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的性质及判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利用矩形和折叠的性质进行推理和证明。 （1）由折叠可知，，可知是等腰直角三角形，得到，故四条边相等，即四边形是菱形，再由可得四边形是正方形； （2）由折叠可得，由四边形是正方形可得，由平角定义可知，由已知可知，所以是等腰直角三角形，从而得到； （3）①设，根据折叠可得，分别求与的关系，再根据勾股定理分别求，而，代入可知，即，再根据证明，得到，根据可得，从而得证； （2）设，用的式子表示，连接，设，在中根据勾股定理得到方程解（含的代数式），在计算即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形是菱形， 又 ∴四边形是正方形； （2）由（1）可知四边形正方形， ， 由折叠可知，， ， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ； （3）①设， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形，， ， 由折叠可知， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴； ②设， 由①可知， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 连接，设，则， 由折叠可知， ， ， 在中，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山西省临汾市永和县中考数学模拟练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，属于负数的是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，空心圆柱体的主视图是（    ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中能判定ABCD是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠B=∠D D. ∠D=∠5 6. 已知是平面直角坐标系中点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（    ） A. B. C. D. 7. 下列说法中错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 圆的内接平行四边形是矩形 C. 三角形不一定有外接圆 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 8. 某闭合并联电路中，各支路电流与电阻成反比例，如图表示该电路与电阻的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为，则导体内通过的电流为(　　) A. B. C. D. 9. 一个不透明的袋中装有个红球，个黄球，它们除颜色外完全相同，现有放回地从中随机摸取两次小球，每一次只摸出个小球，则两次摸出的小球都是红球的概率是（    ） A. B. C. D. 10. 如果一个扇形的弧长和半径均为2，则此扇形的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 窗棂（如图1）是中国传统木构建筑的框架结构，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，也成为建筑的审美中心．图2是从图1中提取的由六条线段组成的图形，若，则________． 12. 如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________． 13. 如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 14. 若，则，的值分别为______． 15. 已知二次函数部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 某校为了了解学生对文学类、科技类、艺术类、体育类、综合类这5类课后服务课程的喜爱程度，对该校部分学生进行了抽样调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一类），并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图： 请根据统计图提供的信息，完成下列问题： （1）此次被调查的学生共有多少人？请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中的______，“综合类”部分扇形的圆心角的度数是______； （3）若该校共有学生人，请估计该校喜爱“科技类”课程的学生大约有多少人？ 17. 如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． （1）求观测点与点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 18. 已知表示，，，四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的实数，满足以下关系式：，． （1） _______； （2）的倒数和绝对值都是本身，求的值． 19. 如图，在中，平分，交于点D． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交边于点E，交边于点F，连接，（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 20. 每年的3月14日为国际数学日，在国际数学日到来之际，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要130元，购买5副七巧板和4副数独棋需要240元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过1200元，则数独棋最多能购买多少副？ 21. 阅读与思考 下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点． 任务： （1）如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数． （2）如图，是的“沉毅三角形”，且与相切， 判断是否为的“完美三角形”，并说明理由； 若，则的周长为________． 22. 如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点，．请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度； （2）喷出水流距水面的最大高度是多少米？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动． 如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接． 【猜想证明】 （1）直接判断四边形形状． （2）求证：． 【深入探究】 （3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，． ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $