24.1.4圆周角（第1课时）（导学案）数学人教版九年级上册

24.1.4圆周角（第1课时)（导学案）（解析版） 1.教学目标 (1)理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论，并能进行简单证明和计算，发展抽象思维、数学运算和推理能力。 (2)经历画图、观察、度量、归纳等几何研究的一般过程，发现一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，培养抽象能力、几何直观和推理能力。 (3)结合圆周角定理的探索与证明的过程，体会分类讨论、化归的思想方法，渗透从特殊到一般的数学思想，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，发展几何直观和推理能力。 重点：圆周角定理及其推论的探究与应用。 难点：圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法和圆周角定理及推论的应用。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：①顶点是圆心的角叫圆心角； ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 ③圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 【学法指导】 自研课本P85-87页内容 (一)圆周角的概念 1:为什么称为圆心角呢? 角的顶点在圆心。 2:顶点不在圆心，还可以在什么位置? 顶点可在不同位置，如图，可能在圆周上，圆内、圆外。 今天我们来研究顶点在圆周上的角？ 3：如下图，顶点在圆周上的角叫什么角？你能给圆周角下定义吗？ 圆周角；顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。 4：你能将圆心角与圆周角进行比较吗？ 圆周角定义中有两个要素，顶点在圆上，并且两边都与圆相交；圆心角与圆周角定义中都提出了角的顶点的位置，因为以圆内任意一点为端点的射线必然与圆相交，因此圆心角的定义中未提与圆相交，但在圆周角的定义中，两边与圆相交的条件不能省略。 (二)圆周角定理及其推论 探究：分别测量下图中，所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系? ∠BAC的度数是∠BOC度数的一半。 1.在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗?由此你能发现什么规律? 这条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。 2.⊙O的圆心Ｏ和圆周角位置关系有哪些种情况？ 圆心O在∠BAC的一边上;圆心O在∠BAC的内部;圆心O在∠BAC的外部三种情况。 3.如何证明上面的结论正确？进行讨论。 可以证明上面的三种情况结论都成立。先证明圆心O在∠BAC的一边上特殊情况，再将另外两种情况转化为特殊情况。 具体证明如下： (1)圆心O在∠BAC的一边上(如图). 【证明】:∵OA=OC，∴∠A=∠C，而∠BOC=∠A+∠C, ∴∠BAC=∠C=∠BOC. 教师指导：上面的证明过程我们可以推理符号“”完成： 。 (2)圆心O在∠BAC的内部. 【分析】此种情况与(1)不同，但可以转化成(1)的基本图形进行证明。 【证明】:连接AO并延长交00于D，则∠BAC =∠BAD +∠DAC 由（１），得∠BAD=∠BOD，∠ＣAD=∠ＣOD， ∴∠BAC =∠BAD +∠DAC=∠BOD＋∠ＣOD＝∠BOC. 仿照（1）用推理符号“”完成上面证明。 (3)圆心0在∠BAC的外部. 【分析】此种情况证明可以转化成(1)的基本图形进行证明。 【证明】连接AO并延长交00于点D，则∠BAC =∠DAC－∠BAD 由（１），得∠BAD=∠BOD，∠ＣAD=∠ＣOD， ∴∠BAC =∠DAC－∠BAD=∠ＣOD－∠ＢOD＝∠BOC. 仿照（1）（2）用推理符号“”完成上面证明。 思想方法总结：圆周角定理的证明，采用完全归纳法。通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想。 归纳总结：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 4.如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说明理由. 相等；理由如下： 在⊙O中，∵∠BAC =∠BＤC,∠BAC =∠BOC,∴∠BAC=∠BDC. 归纳总结　圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 5.如图，线段AB是的直径，点C是⊙0上的任意一点(除点A、B外)那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角? ∵OA=OB=OC,∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°=90°. 归纳总结　圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 自研课本P85-87页内容 典型例题 例1　下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. 【分析】根据圆周角定义中的两个要素，顶点在圆上，并且两边都与圆相交进行判断。 【详解】解：(1)(5)(6)是圆周角，符合顶点在圆上，并且两边都与圆相交;(2)不是，顶点不在圆上;(3)不是，边AC没有和圆相交;(4)不是，顶点不在圆上。 例2　 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 【分析】根据圆周角定理推论，得到∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出。 【详解】解:∵AB是直径， ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中， (cm). ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD. ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中, , ∴(cm). 第二环节 合作探究 1.讨论什么样的角叫圆周角？怎样给圆周角下定义吗？并比较圆心角与圆周角区别？ 2.讨论什么是圆周角定理？怎样证明？ 3.讨论圆周角定理证明的思想和方法？ 4.讨论如何得到圆周角定理的两条推论？ 5.合作探究提升：1．如图，将正方形中的绕点B顺时针旋转到的位置．若，求点P经过的路径长． 【详解】解：∵将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，， 由旋转性质可得，， ∴点所走过的路径是以为圆心，为半径，圆心角为弧长， ∴点所走过的路径的长为：． 1.课本课堂练习第1题　判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由: 2.课本课堂练习第3题　　如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC. 3.课本课堂练习第4题　如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗?有几种方法?与同学交流一下。 答案：1.(3)是，其他不是.(理由略). 2.由已知可得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC.所以∠ACB=2∠BAC. 3.方法有多种，如对折两次，找到直径的交点;利用“90°的圆周角所对的弦是直径”先找到直径，再确定 圆心;通过作任意一条弦的中垂线先作出直径，再确定圆心;等等。 1．（2025.山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：连接OC， ∵，AB为⊙O的直径， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°， ∴∠D∠AOC＝45°， 故选：B． 2.（2025·安庆校考）如图，是的直径， ，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为 所以 则 因为 所以， 故选：D 3.（2025·吉林松花江期中）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，；．    (1)求的度数； (2)连接，若，则的半径为_____． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：如图，连接，    ，°， ， ， 中， ，， 解得．故答案为：． 4．（2025·廊坊·九年级期中）如图，在中，，，直径于点，连接，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1.4圆周角（第1课时)（导学案）（原卷版） 1.教学目标 (1)理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论，并能进行简单证明和计算，发展抽象思维、数学运算和推理能力。 (2)经历画图、观察、度量、归纳等几何研究的一般过程，发现一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，培养抽象能力、几何直观和推理能力。 (3)结合圆周角定理的探索与证明的过程，体会分类讨论、化归的思想方法，渗透从特殊到一般的数学思想，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，发展几何直观和推理能力。 重点：圆周角定理及其推论的探究与应用。 难点：圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法和圆周角定理及推论的应用。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：①顶点是　　　　　　　　叫圆心角； ②在　　　　　中，两个圆心角、两条弧、两条弦中　　　　　　　，它们　　　　　　　　　也相等。 ③圆是　　　　　图形，　　　　　就是它的对称中心；把圆绕圆心　　　　　　　　　，所得的图形都与　　　　　　。 【学法指导】 自研课本P85-87页内容 (一)圆周角的概念 1:为什么称为圆心角呢? 2:顶点不在圆心，还可以在什么位置? 3：如下图，顶点在圆周上的角叫什么角？你能给圆周角下定义吗？ 4：你能将圆心角与圆周角进行比较吗？ (二)圆周角定理及其推论 探究：分别测量下图中，所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系? 1.在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗?由此你能发现什么规律? 2.⊙O的圆心Ｏ和圆周角位置关系有哪些种情况？ 3.如何证明上面的结论正确？进行讨论。 思想方法总结：圆周角定理的证明，采用完全归纳法。通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想。 归纳总结：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 4.如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说明理由. 归纳总结　圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 5.如图，线段AB是的直径，点C是⊙0上的任意一点(除点A、B外)那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角? 归纳总结　圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 自研课本P85-87页内容 典型例题 例1　下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. 例2　 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 第二环节 合作探究 1.讨论什么样的角叫圆周角？怎样给圆周角下定义吗？并比较圆心角与圆周角区别？ 2.讨论什么是圆周角定理？怎样证明？ 3.讨论圆周角定理证明的思想和方法？ 4.讨论如何得到圆周角定理的两条推论？ 5.合作探究提升：1．如图，将正方形中的绕点B顺时针旋转到的位置．若，求点P经过的路径长． ． 1.课本课堂练习第1题　判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由: 2.课本课堂练习第3题　　如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC. 3.课本课堂练习第4题　如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗?有几种方法?与同学交流一下。 1．（2025.山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2.（2025·安庆校考）如图，是的直径， ，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·吉林松花江期中）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，；．    (1)求的度数； (2)连接，若，则的半径为_____． 4．（2025·廊坊·九年级期中）如图，在中，，，直径于点，连接，． (1)求的度数； (2)求的长度． 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于　　　　　　　　　　　。 2.圆周角定理推论：同弧或等弧所对的　　　　　　　　。 半圆或直径所对的圆周角是　　　　，90°的圆周角所对的弦是　　　　。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $