第4章 教考衔接1 因“型”制宜话大小(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

一、真题展示 1．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 2．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 二、真题溯源 [人教B版必修二P12例1] 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8-0.1与0.8-0.2； (2)2.5a与2.5a+1. [人教B版必修二P13练习B第1题] 　比较1.0010.001与0.9990.999的大小． 三、类法探究 有关指数幂、对数式的大小比较问题，一直是高考的热点内容，难度有中档题，也有高档题．主要考查指(对)数函数的性质与图象，重点考查数形结合能力、构造与转化能力、逻辑推理能力等．未来以指(对)数函数为载体的大小比较问题仍是高考命题的重点． 类型一　利用指(对)数函数的性质比较大小 　(1)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a　　　　　　 B．b<a<c C．a<c<b D． a<b<c [解析]　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C． [答案]　C 利用指数函数、对数函数的性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”和“1”的大小关系，以便比较大小.　 类型二　利用指(对)数函数的图象比较大小 　已知实数a，b，c满足ln a＝eb＝，则下列不等式不可能成立的是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a [解析]　令ln a＝eb＝＝x(x＞0)，可得a＝ex，b＝ln x，c＝，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝在(0，＋∞)上的图象，如图所示，画一条直线x＝x0(x0＞0)，设直线x＝x0(x0＞0)与函数y＝ex，y＝ln x的图象分别相交于A，B两点，由图可知，点A恒在点B的上方，即点A的纵坐标恒大于点B的纵坐标，所以a＞b恒成立，故选项D不可能成立．故选D． [答案]　D 画出函数的图象，充分利用图象的直观性解决大小比较问题．本题画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝的图象是关键.　 类型三　设元法、特例法比较大小 　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y [解析]　解法一　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A． 解法二　设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝logk2，＝logk3，＝logk5.又易知k＞1，5＜2＜3，所以logk5＜logk2＜logk3，即0＜＜＜，所以3y＜2x＜5z.故选A． [答案]　A 本题可利用特例法或设元法求解，利用特例法，显得简洁明了；利用设元法，求解关键在于转化为比较，，的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性.　 类型四　构造函数比较大小 　若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 [解析]　由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，所以2a＋log2a＜22b＋log2(2b)，即f(a)＜f(2b)，所以a＜2b.故选B． [答案]　B 对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的．破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼；二是巧构造，即会构造函数；三是会放缩，即会利用函数单调性，不等式性质等比较大小.　 学科网（北京）股份有限公司 $