第4章 4.6 函数的应用(二)(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

　函数的应用(二) 学业标准 素养目标 　　收集、阅读一些现实生活、生产实际或经济领域中的数学模型，体会人们如何借助函数刻画实际问题．(重点、难点) 　　通过实例了解指数型函数模型、对数型函数模型在实际问题中的应用，主要提升学生数学建模核心素养． 导学 函数模型的应用 　我们在必修第一册学习了函数的应用(一)，常用的函数模型有哪些？ [提示]　一次函数模型f(x)＝kx＋b；二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对勾函数模型f(x)＝ax＋；分段函数模型． ◎结论形成 1．指数型函数模型 函数y＝abx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(b＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸． 2．对数型函数模型 y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增长，函数值增大的速度越来越慢(a＞1，m＞0). 3．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．(　　) (2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(　　) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．(　　) (4)函数y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．计算机成本不断降低，若每隔2年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机6年后价格可降为(　　) A．3 600元　　　　　　　 B．2 400元 C．900元 D．300元 解析　由题意，计算机6年后的价格为8 100×＝2 400(元). 答案　B 3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为(　　) A．18件 B．36件 C．22件 D．9件 解析　y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－x2 ＝－x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值． 答案　A 4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到 只． 解析　由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，所以100＝alog2(1＋1)， 所以a＝100，所以y＝100log2(x＋1)， 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300. 答案　300 题型一　指数型函数模型的应用 　某行业计划从2024年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0＜x＜1). (1)设n年后(2024年记为第1年)年产能为2023年的a倍，请用a，n表示x. (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2023年的25%? 参数数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477. [解析]　(1)依题意得：(1－x)n＝a， 所以1－x＝，即x＝1－. (2)设n年后年产能不超过2023年的25%， 则(1－10%)n≤25%，即≤， 即n lg ≤lg ，即n(2lg 3－1)≤－2lg 2， 所以n≥，即n≥， 因为13＜＜14，且n∈N＋，所以n的最小值为14， 所以，至少要到2037年才能使年产能不超过2023年的25%. 指数型函数模型的应用 (1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． (2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一.　 [触类旁通] 1．根据相关规定血液中酒精含量大于(等于)0.02 mg/mL且小于(等于)0.08 mg/mL的为酒驾，大于0.08 mg/mL的为醉驾．某驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量上升到0.3 mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．以y(单位：mg/mL)表示该驾驶员在停止喝酒x小时后血液中的酒精含量． (1)将y表示为x的函数； (2)为了保障交通安全，该驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时) 解析　(1)1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3×mg/mL，2小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3×mg/mL，即0.3×2mg/mL，x小时后其血液中酒精含量为0.3×xmg/mL， 所以y＝0.3×x＝0.3×x. (2)由题意可知0.3×x＜，即x＜ 采用估算法，x＝1时，1＝＞；x＝2时，2＝＝＜，x＝3时，3＝＞， x＝4时，4＝＜，由于y＝x是减函数，所以满足要求的x的最小值为4， 故至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆． 题型二　对数型函数模型的应用（一题多变） 　声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2). (1)平时常人交谈时的声强约为10-6W/m2，求其声强级． (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少． (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？ [解析]　(1)当I＝10-6W/m2时， 代入得Y＝10lg ＝10lg 106＝60， 即声强级为60分贝． (2)当Y＝0时，即为10lg ＝0， 所以＝1，I＝10-12W/m2， 则能听到的最低声强为10-12W/m2. (3)当声强I＝5×10-7W/m2时， 声强级Y＝10lg ＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5＞50， 所以这两位同学会影响其他同学休息． [母题变式] 1．(变结论)例2中条件不变，则达到比较理想的睡眠环境声强I的取值范围是什么？ 解析　由0≤Y≤50得0≤10lg ≤50， 所以lg 1＝0≤lg ≤5＝lg 105， 所以1≤≤105，10-12≤I≤10-12×105＝10-7， 所以声强I的取值范围是10-12≤I≤10-7. 2．(变结论)例2中条件不变，若声强级Y≥100分贝为噪音，试求产生噪音的最低声强是多少． 解析　由题意知10lg ≥100，lg ≥10， 所以≥1010，I≥10-2， 即产生噪音的最低声强是10-2W/m2. [素养聚焦]　　本题主要考查对数型函数模型的实际应用，突出考查数学建模核心素养． 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.　 [触类旁通] 2．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系为v＝2 000ln .当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s? 解析　由12 000＝2 000ln ， 即6＝ln ，1＋＝e6， 利用计算器算得≈402，即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. [缜密思维提能区] 规范答题 构建函数模型解决实际问题 [典例]　(13分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式． (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ [审题指导] [规范解答]　 知识落实 技法强化 函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题． (2)建立确定性的函数模型解决实际问题． (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求． [必备知识·基础巩固] 1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示． 时间 1 2 3 4 利润/千元 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　) A．y＝log2x 　　　　　 B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x 解析　把x＝1，2，3，4代入，只有y＝2x的值最接近表格中的对应值． 答案　B 2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是(　　) A．增加7.84% B．减少7.84% C．减少9.5% D．不增不减 解析　设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.921 6a，所以(1－0.921 6)a＝0.078 4a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%. 答案　B 3．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 解析　因为I(t)＝，所以当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K⇒＝0.95⇒1＋＝⇒＝－1⇒＝19⇒0.23(t*－53)＝ln 19⇒t*＝＋53≈＋53≈66.故选C． 答案　C 4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 解析　设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x＞200，即1.12x＞⇒x＞＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年． 答案　D 5．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝ ，经过5个小时，1个病毒能繁殖为 个． 解析　由题意知当t＝时，y＝2，∴2＝ek， 即ek＝4，∴k＝ln 4＝2ln 2，∴y＝4t. ∴当t＝5时，y＝45＝1 024. 答案　2ln 2　1 024 6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，设放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为 天． 解析　由已知得a＝a·e-50k，∴e－k＝. 设经过t1天后，一个新丸体积变为a， 则a＝， ∴＝，∴＝，t1＝75. 答案　75 7．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解析　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0， 代入函数关系式可得0＝5 log2，解得Q＝10， 即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得 v＝5 log2＝5 log28＝15(m/s)， 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. [关键能力·综合提升] 8．我国高铁技术在世界上遥遥领先，高铁运行时不仅速度比普通列车快，而且噪声小．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30～40分贝(符号：dB)，声强I(单位：W/m2)与声强级L(单位：dB)的函数关系式为I＝b·10aL(a，b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2W/m2，声强级为68 dB，驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5W/m2，声强级为55 dB，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为(　　) A．10-9W/m2 B．10-8W/m2 C．10-7W/m2 D．10-6W/m2 解析　由题意可知 解得a＝0.1，b＝10-12， 所以I＝10-12·100.1L＝100.1L-12， 所以当L取最大值40时，I取得最大值100.1×40-12＝10-8W/m2. 答案　B 9．(多选题)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，由n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4，所以选B，C． 答案　BC 10．某工厂生产的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝ 毫克/升． 解析　因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝，所以p(60)＝600ln 2×2-2＝150ln 2(毫克/升). 答案　150ln 2 11．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于 ．(取lg 2≈0.3进行计算) 解析　由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时， y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2. 所以 ②－①，得0.2＝a lg ，0.2＝a lg 2. 所以a＝＝＝. 答案　 12．某种蔬菜从2024年4月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：10天)的数据如下表： 时间t 5 11 25 种植成本Q 15 10.8 15 (1)根据上表数据，从下列函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt(其中a≠0)中，选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系； (2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． 解析　(1)根据点的分布特征知函数模型Q＝at2＋bt＋c(a≠0)与题表所提供的数据拟合得最好， 所以选取函数模型Q＝at2＋bt＋c(a≠0)描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系． 将题表中所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c， 得解得 所以描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋. (2)由(1)知Q＝t2－t＋＝(t－15)2＋10，所以当t＝15时，Q的最小值为10，即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低，最低种植成本为10元/10 kg. [核心价值·探索创新] 13．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845) ． ①y＝0.025x；②y＝1.003x；③y＝1＋log7x；④y＝x2. 解析　由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1 000]时， (ⅰ)函数为增函数； (ⅱ)函数的最大值不超过5； (ⅲ)y≤x·25%＝x， ①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求； ②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求； ③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋log71 000＝1＋＜5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求； ④中，函数y＝x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y＞5不满足公司要求． 答案　③ 学科网（北京）股份有限公司 $