第4章 4.4 幂函数(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

　幂函数 学业标准 素养目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(难点) 2.结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，总结幂函数的性质，并能简单应用．(重点) 1.通过从教材实例中抽象出幂函数的概念，学生主要培养数学抽象核心素养． 2.通过幂函数的性质的简单应用发展学生直观想象、逻辑推理等核心素养． 导学 幂函数的概念、图象和性质 　在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象分别如图所示． (1)它们的图象都过同一定点吗？ (2)上述五个函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？ [提示]　(1)是的，都过定点(1，1). (2)在(0，＋∞)内是增函数的是y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x.在(0，＋∞)内是减函数的是y＝x-1. ◎结论形成 1．幂函数的定义 函数y＝xα称为幂函数，其中x为自变量，α为常数． 2．幂函数的共同性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)． (2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　) (2)当α＜0时，幂函数在R上是减函数．(　　) (3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　) (4)幂函数不一定具有奇偶性．(　　) 解析　(1)幂函数的图象不能出现在第四象限． (2)当α＝－1时，函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，在R上不是减函数． (3)函数y＝x0的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象是去除了一个点的直线． (4)如y＝x不具有奇偶性． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 解析　根据幂函数的定义知，y＝x2是幂函数，y＝－x2不是幂函数，y＝2x是指数函数，不是幂函数，y＝2x2不是幂函数． 答案　A 3．已知f(x)＝x3，f(1)＋f(a)＝0，则a＝ ． 解析　因为f(1)＋f(a)＝0，所以13＋a3＝0， 所以a3＝－1，即a＝－1. 答案　－1 4．幂函数y＝的定义域为 ，其奇偶性是 ． 解析　因为y＝＝，所以x＞0，所以函数y＝的定义域为(0，＋∞)，是非奇非偶函数． 答案　(0，＋∞)　非奇非偶函数 题型一　幂函数的概念 　(1)(多选题)下列选项中哪些是幂函数(　　) A．y＝xe B．y＝(2x)2 C．y＝ D．y＝－x2 (2)已知幂函数f(x)＝(m－1)xm+1，则f(2)＝(　　) A．8 B．4 C． D． [解析]　(1)因为幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数， 又y＝＝x-2，所以A、C正确． (2)由幂函数的定义，知m－1＝1，解得m＝2，所以f(x)＝x3，f(2)＝8. [答案]　(1)AC　(2)A 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即①系数为1；②指数为常数；③后面不加任何项．反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式.　 [触类旁通] 1．(1)若幂函数f经过点，且f＝8，则a＝(　　) A．2 B．3 C．128 D．512 (2)已知f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　) A．2 B．1　 C．　 D．0 解析　(1)设f(x)＝xα， 因为幂函数f经过点， 所以f()＝()α＝3，解得α＝3， 所以f(x)＝x3. 所以f＝a3＝8，解得a＝2，故选A． (2)因为f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0， 即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. 答案　(1)A　(2)A 题型二　幂函数的图象及应用（一题多变） 　(1)在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　) (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是 ． (3)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第 象限． [解析]　(1)对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中0＜a＜1，符合题意． (2)过原点的指数α＞0，不过原点的α＜0，所以n＜0，当x＞1时，在直线y＝x上方的α＞1，下方的α＜1，所以p＞1，0＜m＜1，0＜q＜1；x＞1时，指数越大，图象越高，所以m＞q.综上所述n＜q＜m＜p. (3)幂函数y＝x-1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限． 所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限． [答案]　(1)D　(2)n＜q＜m＜p　(3)四 [母题变式] (变结论)若本例(3)中条件不变，试确定使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值． 解析　α＝1，2，3时，函数y＝xα的定义域为R；当α＝2时，y＝xα为偶函数，当α＝1，3时y＝xα为奇函数．当α＝－1时，y＝x-1的定义域是{x|x∈R且x≠0}．当α＝ 时y＝x的定义域是{x|x≥0}． 综上，使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α＝1或3. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝x或y＝x2)来判断.　 [触类旁通] 2．函数y＝x，y＝x2和y＝的图象如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．如果>a>a2，那么0<a<1 B．如果a2>a>，那么a>1 C．如果－1<a<0，那么a2>a> D．如果a2>>a时，那么a<－1 解析　y＝x，y＝x2和y＝的图象都过点(1，1). y＝x，y＝的图象都过点(－1，－1). A选项，如果>a>a2，根据图象可知0<a<1，A选项正确． B选项，如果a2>a>，根据图象可知－1<a<0或a>1，B选项错误． C选项，如果－1<a<0，根据图象可知a2>a>，C选项正确． D选项，如果a2>>a时，根据图象可知a<－1，D选项正确． 答案　B 题型三　幂函数性质的简单应用 　(1)比较下列各组中两个数的大小． ①与； ②与； ③与. (2)已知幂函数y＝x3m-9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0, ＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的范围． [解析]　(1)①∵幂函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，又＞，∴＞. ②∵幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是减函数， 又－＜－，∴＞. ③∵函数y1＝在定义域内为减函数，且＞，∴＞. 又函数y2＝x在[0，＋∞)上是增函数，且＞，∴＞.∴＞. (2)∵函数在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，∴3m－9＜0，解得m＜3. 又m∈N＋，∴m＝1或m＝2. ∵函数y＝x3m-9(m∈N＋)的图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数，故m＝1. ∴有(a＋1)＜(3－2a). ∵y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数， ∴a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1. [素养聚焦]　本题考查幂函数单调性的应用，突出考查逻辑推理核心素养． 比较幂大小的三种常用方法 [触类旁通] 3．把下列各数按由小到大的顺序排列． 2，，，. 解析　＜0，0＜＜1，2＞1，＞1， 而函数y＝x在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以有2＞. 故题中各数由小到大的顺序为 ＜＜＜2. 知识落实 技法强化 1.幂函数的定义． 2.幂函数的图象与性质． 1.在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定．当α＞0时，函数单调递增；当α＜0时，函数单调递减． 2.曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸． [必备知识·基础巩固] 1．已知幂函数y＝xα的图象过点(9，3)，则α等于(　　) A．3 B．2 C． D． 解析　因为幂函数y＝xα的图象过点(9，3)， 所以9α＝3，即32α＝3， 则2α＝1，解得α＝. 答案　D 2．已知幂函数f(x)满足＝4，则f的值为(　　) A．3 B． C．4 D． 解析　设幂函数的解析式为f(x)＝xα，则＝4⇒3α＝4，所以f＝＝. 答案　D 3．函数f(x)＝|x|的图象大致为(　　) 解析　f(x)＝|x|的定义域为R，且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)， 故f(x)＝|x|为偶函数，排除A、B； 因为>1，故函数在(0，＋∞)上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误． 答案　C 4．在区间(0，＋∞)上是严格增函数，且图象关于y轴成轴对称的幂函数可以是(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析　对于幂函数y＝xα，在α>0时函数在(0，＋∞)上是严格增函数，D不符； 又y＝x的定义域不关于原点对称，y＝x是奇函数，A、B不符； 由y＝x的定义域为R，且为偶函数，C符合． 答案　C 5．函数y＝的定义域是 ，值域是 ． 解析　y＝＝的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞). 答案　(0，＋∞)　(0，＋∞) 6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是 ． 解析　由题意得9＝3α， 所以32＝3α，∴α＝2，所以f(x)＝x2. 所以二次函数f(x)＝x2的单调增区间是[0，＋∞). 答案　[0，＋∞) 7．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)＋f(a－1)≤0的实数a的取值范围是 ． 解析　由题意，不妨设f(x)＝xα，因为幂函数f(x)过点(2，8)，则f(2)＝2α＝8，解得α＝3，故f(x)＝x3为定义在R上的奇函数，且f(x)为增函数，因为f(a－3)＋f(a－1)≤0，则f(a－3)≤－f(a－1)＝f(1－a)，故a－3≤1－a，解得a≤2，从而实数a的取值范围是(－∞，2]. 答案　(－∞，2] 8．若点A(，2)在幂函数f(x)的图象上，B在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x). 解析　(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()a＝2，所以a＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xb，因为点B在幂函数g(x)的图象上，所以(－2)b＝，所以b＝－2，即g(x)＝x-2. (2)令f(x)＝g(x)，解得x＝±1. 在同一坐标系下画出函数f(x)和g(x)的图象，如图：由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(－1，1). 所以①当x>1或x<－1时， f(x)>g(x)； ②x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). [关键能力·综合提升] 9．设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 又因为y＝x3在(0，＋∞)单调递增， 所以y＝－在(0，＋∞)也单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)单调递增． 答案　A 10．(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论正确的有(　　) A．x1f(x1)＞x2f(x2) B．x1f(x1)＜x2f(x2) C．＞ D．＜ 解析　设函数f(x)＝xα，由点在函数图象上得＝，解得α＝.故f(x)＝x，故g(x)＝xf(x)＝x为(0，＋∞)上的增函数，故A错误，B正确；而h(x)＝＝为(0，＋∞)上的减函数，故C正确，D错误．故选BC． 答案　BC 11．若f(x)＝x－，则满足f(x)＜0的x的取值范围是 ． 解析　若f(x)＝x－，满足f(x)＜0， 则x＜，∴x＜1. ∵y＝x是增函数，∴x＜1的解集为(0，1). 答案　(0，1) 12．若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝ ． 解析　当a＞1时，有a2＝4，a-1＝m， 此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意． 若0＜a＜1，则a-1＝4，a2＝m， 故a＝，m＝，检验知符合题意． 答案　 13．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求函数f(x)； (2)讨论F(x)＝a－的奇偶性． 解析　(1)∵f(x)是偶函数， ∴m2－2m－3应为偶数． 又f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数， ∴m2－2m－3＜0.∴－1＜m＜3. 又m∈Z，∴m＝0，1，2.当m＝0或2时，m2－2m－3＝－3不是偶数，舍去； 当m＝1时，m2－2m－3＝－4. ∴m＝1，即f(x)＝x-4. (2)F(x)＝－bx3，∴F(－x)＝＋bx3. ①当a≠0，b≠0时，F(x)为非奇非偶函数； ②当a＝0，b≠0时，F(x)为奇函数； ③当a≠0，b＝0时，F(x)为偶函数； ④当a＝0，b＝0时，F(x)既是奇函数，又是偶函数． [核心价值·探索创新] 14．若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数中： ①f(x)＝；②f(x)＝x2；③f(x)＝；④f(x)＝则被称为“理想函数”的有 (填相应的序号). 解析　若f(x)是“理想函数”，则满足以下两条： (1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数； (2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，所以x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)，即函数f(x)是减函数，故f(x)为定义域上的单调递减的奇函数． ①f(x)＝在定义域上是奇函数，但不是单调减函数，所以不是“理想函数”； ②f(x)＝x2在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”； ③f(x)＝不是奇函数，所以不是“理想函数”； ④f(x)＝在定义域R上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 答案　④ 15．已知幂函数f(x)＝ (k∈N＋)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若a＞k，比较(ln a)0.7与(ln a)0.6的大小． 解析　(1)因为幂函数f(x)＝ (k∈N＋)在区间(0，＋∞)上是减函数，所以k2－2k－3＜0，解得－1＜k＜3. 因为k∈N＋，所以k＝1，2. 又因为幂函数f(x)＝ (k∈N＋)的图象关于y轴对称，所以k＝1，函数的解析式为f(x)＝x-4. (2)由(1)知，a＞1. 当1＜a＜e时，0＜ln a＜1，(ln a)0.7＜(ln a)0.6； 当a＝e时，ln a＝1，(ln a)0.7＝(ln a)0.6； 当a＞e时，ln a＞1，(ln a)0.7＞(ln a)0.6. 故当1＜a＜e时，(ln a)0.7＜(ln a)0.6； 当a＝e时，(ln a)0.7＝(ln a)0.6； 当a＞e时，(ln a)0.7＞(ln a)0.6. 学科网（北京）股份有限公司 $