第4章 4.2.3 第1课时 对数函数的概念、对数函数的性质与图象(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

4．2.3　对数函数的性质与图象 学业标准 素养目标 1.通过具体实例，了解对数函数模型，理解对数函数的概念．(难点) 2．探索并掌握对数函数的性质与图象，并能解决对数型函数的相关问题．(重点、难重) 1.通过学习对数函数的概念，发展学生数学抽象等核心素养． 2．通过对数函数性质和图象的探究及应用，提升学生逻辑推理、直观想象等核心素养． 第1课时　对数函数的概念、对数函数的性质与图象 导学1 对数函数的概念 　我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x>0)是否表示y是x的函数？为什么？ [提示]　是．由对数的定义可知y＝log2x(x>0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x>0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞). ◎结论形成 函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1，x是自变量． 导学2 对数函数的图象与性质 　在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx的图象分别如图所示，说出这四个函数图象的特征． [提示]　(1)这四个图象都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞). (2)y＝log2x与y＝logx图象关于x轴对称，y＝log5x与y＝logx图象关于x轴对称． (3)函数y＝logx与y＝logx的图象从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞). (4)这四个图象均过定点(1，0). ◎结论形成 对数函数的图象和性质 名称 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) 过定点 (1，0)，即当x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝loga(2x)(a＞0，且a≠1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝loga(x2－x＋1)(a＞0，且a≠1)的定义域为R.(　　) (3)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　) (4)函数y＝loga(x－1)的图象过定点(2，0).(　　) 解析　(1)对数函数自变量x的系数为1. (2)因为Δ＝1－4＝－3＜0，所以x2－x＋1＞0恒成立． (3)由对数函数的图象知正确． (4)由对数函数的图象和性质知正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为(　　) A．(－∞，－1)　　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析　函数有意义需满足x＋1＞0，所以x＞－1. 答案　C 3．(多选题)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　) A．5 B．2 C． D． 解析　因为函数y＝logax的图象一直上升， 所以函数y＝logax为单调增函数，所以a＞1. 答案　AB 4．若函数y＝log(2a－1)x是以x为自变量的对数函数，则a的取值范围是 ． 解析　因为y＝log(2a－1)x是以x为自变量的对数函数，所以解得a＞，且a≠1. 答案　∪(1，＋∞) 题型一　对数函数的概念 　(1)下列给出的函数： ①y＝log5 x＋1；②y＝loga x2(a>0，且a≠1)； ③y＝log(－1)x；④y＝log3 x； ⑤y＝logx (x>0，且x≠1)；⑥y＝logx. 其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　　　　　　 B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)对数函数的图象过点(16，2)，则f(8)的值为 ． [解析]　(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3 x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确． (2)设对数函数的解析式为y＝loga x(a>0，且a≠1)，由已知可得loga 16＝2，即a2＝16， 解得a＝4，故函数解析式为y＝log4 x. 所以f(8)＝log48＝. [答案]　(1)D　(2) 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的常数； ③对数的真数仅有自变量x.　 [触类旁通] 1．(1)(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A．y＝log8x　　　　　　　 B．y＝ln x C．y＝logx D．y＝2log4x (2)已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝ ． 解析　(1)根据对数函数的定义，只有选项A，B中的函数是对数函数． (2)设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为函数f(x)的图象过点(8，－3)， 则－3＝loga8，∴a＝，∴f(x)＝logx， ∴f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－. 答案　(1)AB　(2)－ 题型二　对数型函数的定义域 　(1)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 (2)求下列函数的定义域． ①y＝lg x＋lg (5－3x)； ②y＝logx(4－x)； ③y＝； ④y＝. [解析]　(1)只有C组定义域相同，故选C． (2)①由对数的定义可知⇒0＜x＜，所以该函数的定义域为； ②由对数的定义可知⇒0＜x＜4且x≠1， 所以该函数的定义域为(0，1)∪(1，4)； ③由对数的定义和二次根式的性质可知： ⇒⇒ ⇒＜x≤3， 所以该函数的定义域为； ④由对数的定义、二次根式的性质、分式的性质可知⇒x≥2且x≠，所以该函数的定义域为∪. [答案]　(1)C　(2)略 求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　 [触类旁通] 2．求下列函数的定义域． (1)f(x)＝lg (x－2)＋； (2)f(x)＝logx＋1(16－4x). 解析　(1)要使函数有意义，需满足 解得x＞2且x≠3. ∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足 解得－1＜x＜0或0＜x＜4. ∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). 题型三　对数函数的图象问题（一题多变） 　(1)y＝ln (1－x)的图象大致为(　　) (2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． [解析]　(1)由1－x＞0知x＜1，排除A，B；函数在定义域(－∞，1)为减函数，故选C． (2)因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)本例(2)条件不变，试写出函数f(x)＝loga|x|的值域及单调区间． 解析　由本例(2)的图象知f(x)的值域为R，递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0). 2．(变条件)若把本例(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图象． 解析　利用图象变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图象，将函数y＝log5|x|的图象向左平移1个单位，即可得函数y＝log5|x＋1|的图象，如图所示． [素养聚焦]　　对数函数图象的识图、用图问题中重点提升直观想象核心素养． 有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). (2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.　 [触类旁通] 3．(1)已知函数f(x)＝ax-3＋loga＋1(a>0，a≠1)，则它的图象过定点(　　) A． B． C． D． (2)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋a与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 解析　(1)由题意，函数f(x)＝ax-3＋loga＋1(a>0且a≠1)， 令x＝3， 可得f＝a3-3＋loga＋1＝1＋0＋1＝2， 所以函数f(x)的图象恒过定点(3，2). (2)A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾； B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾； C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致； D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选C． 答案　(1)C　(2)C [缜密思维提能区] 规范答题 求函数解析式、定义域、值域 [典例]　(13分)已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)，求函数y＝f(x)的解析式、定义域及值域． [审题指导]　合理恒等变形求出y＝f(x)的解析式，注意定义域． [规范解答]　因为lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)， 所以即(3分) 又lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)＝lg [3x(3－x)]， 所以lg y＝3x(3－x)， 所以y＝103x(3-x).…………(5分) 因为0＜x＜3， 所以3x(3－x)＝－3＋∈，…………(8分) 所以y＝103x(3-x)∈(1，10]，满足y＞1.…………(11分) 所以函数y＝f(x)的解析式为y＝103x(3-x)，定义域为(0，3)，值域为(1，10].…………(13分) 知识落实 技法强化 1.对数函数的概念． 2.对数函数的性质与图象． 研究对数函数时应注意的两点 1.往往先求对数函数的定义域． 2.若底数不确定，需对底数分类讨论． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga(2x)　　　　　 B．y＝logx C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x 解析　由对数函数的定义：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，则函数为对数函数，只有B、D符合． 答案　BD 2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2. 答案　C 3．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是(　　) 解析　f(x)＝2|log2x|＝ 答案　C 4．(多选题)函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象一定过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的大致图象如图所示，所以一定过第二、三、四象限．故选BCD． 答案　BCD 5．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝ ． 解析　因为M＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}， N＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}． 所以M∩N＝{x|1≤x＜2}＝[1，2)， 所以∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞). 答案　(－∞，1)∪[2，＋∞) 6．函数f(x)＝loga(3x－2)＋2(a＞0，a≠1)恒过定点 . 解析　f(x)＝loga(3x－2)＋2， 因为f(1)＝loga1＋2＝2， 所以f(x)恒过(1，2)点． 答案　(1，2) 7．已知函数f(x)＝则f的值是 ． 解析　由于f＝log2＝－2， 所以f＝f(－2)＝3-2＝. 答案　 8．已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)， (1)求a的值； (2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域． 解析　(1)由已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)，则2＝loga4，所以a2＝4. 因为a＞0且a≠1，所以a＝2. (2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x) ＝log2(1－x)＋log2(1＋x)， 由得－1＜x＜1， 所以g(x)的定义域为(－1，1). [关键能力·综合提升] 9．若点(a，b)在y＝log2x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　) A．　　　　　　　 B．(2a，1－b) C． D．(a2，2b) 解析　若点(a，b)在y＝log2x的图象上，则b＝log2a，所以2b＝2log2a＝log2a2，即(a2，2b)也在函数y＝log2x的图象上． 答案　D 10．(多选题)已知0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是(　　) A．log2a＜0 B．2a－b＜ C．＜4 D．log2a＋log2b＜－2 解析　A．∵0＜a＜b，a＋b＝1， ∴0＜a＜，＜b＜1， ∴log2a＜log2＝－1，故A正确； B．∵0＜a＜b，∴a－b＜0，∴2a－b＜20＝1，故B不正确； C．∵0＜a＜b，∴2＋＞22＝4，故C不正确； D．∵0＜a＜b，a＋b＝1，∴1＝a＋b＞2， ∴ab＜，∴log2a＋log2b＜log2＝－2，故D正确． 答案　AD 11．已知函数f(x)＝若f(m)＝，则m＝ . 解析　由题意，得或 所以m＝或m＝－lg 2. 答案　或－lg 2 12．已知实数a，b满足loga＝logb，则给出下面五种关系：①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1；③1＜b＜a；④1＜a＜b；⑤a＝b＝1. 其中可能成立的序号为 ． 解析　由题意得，令y1＝loga，y2＝logb，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示．若y1＝y2＞0，即loga＝logb＞0，则0＜b＜a＜1；若y1＝y2＜0，即loga＝logb＜0，则1＜a＜b；若y1＝y2＝0，即loga＝logb＝0，则a＝b＝1.故②④⑤成立． 答案　②④⑤ 13．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a＞0，且a≠1). (1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域； (2)求使函数y＝f(x)－g(x)的值为负数的x的取值范围． 解析　(1)由题意可知， y＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)， 由解得所以－1＜x＜2， 所以函数y＝f(x)－g(x)的定义域是(－1，2). (2)由f(x)－g(x)＜0，得f(x)＜g(x)， 即loga(x＋1)＜loga(4－2x)，① 当a＞1时，由①可得0＜x＋1＜4－2x， 解得－1＜x＜1； 当0＜a＜1时，由①可得x＋1＞4－2x＞0， 解得1＜x＜2； 综上所述：当a＞1时，x的取值范围是(－1，1)； 当0＜a＜1时，x的取值范围是(1，2). [核心价值·探索创新] 14． 如图，已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A，B)，其中A(－4，0)，B(4，0)，C(0，4)，则不等式f(x)＞log2(x＋2)的解集是 ． 解析　在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log2(x＋2)的图象，易知当x＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＝2，所以 不等式f(x)＞log2(x＋2)的解集是(－2，2). 答案　(－2，2) 15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回出生地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1. (1)求出v关于Q的函数解析式； (2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时，计算耗氧量的单位数． 解析　(1)设v＝k·log3(k＞0)， ∵当Q＝900时，v＝1， ∴1＝k·log3，∴k＝， ∴v关于Q的函数解析式为v＝log3. (2)令v＝1.5，则1.5＝log3，解得Q＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时，耗氧量的单位数为2 700. 学科网（北京）股份有限公司 $