第4章 4.2.2 对数运算法则(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

4．2.2　对数运算法则 学业标准 素养目标 1.会推导对数的运算性质．(难点) 2.掌握对数的运算性质并化简、求值．(重点) 3.会用换底公式进行对数运算．(重点) 1.通过推导对数的运算性质、换底公式，发展逻辑推理等核心素养． 2.通过对数的运算，主要提升学生数学运算核心素养． 导学1 对数的运算法则 　对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性，据此试证明： loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0). [提示]　设α＝logaM，β＝logaN，则aα＝M，aβ＝N. ∴aα·aβ＝aα＋β＝MN， 即loga(MN)＝α＋β＝logaM＋logaN. ◎结论形成 对数的运算法则 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)logaMα＝αlogaM． (3)loga＝logaM－logaN． 其中，a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R. 点睛 1．对于法则(1)可以推广loga(M1M2…Mn)＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn(其中Mi＞0). 2．对数运算法则的前提是M＞0，N＞0，否则不成立，如log3[(－4)×(－5)]＝log3(－4)＋log3(－5)不成立． 导学2 换底公式 　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝，所以得出log35＝的结论． ◎结论形成 对数换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 点睛 对数换底公式常见的两种变形 (1)logab·logba＝1，即＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2) ＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，MN>0).(　　) (3)＝log2＝1.(　　) (4)log2(－3)2＝2log2(－3).(　　) 解析　(1)令x＝y＝1，则lg (x＋y)＝lg 2>lg 1＝0，而lg x＋lg y＝0，不成立． (2)例如对于(－2)×(－3)>0，loga[(－2)×(－3)]≠loga(－2)＋loga(－3)，因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． (3)等式的左边＝＝≠log2. (4)log2(－3)没有意义． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．计算：log123＋log124＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1. 答案　A 3．计算：2log510－log54＝ ． 解析　2log510－log54＝log5102－log54 ＝log5＝log525＝2. 答案　2 4．计算：log23·log34＝ ． 解析　log23·log34＝·＝＝2. 答案　2 题型一　对数运算法则的应用（一题多解） 　计算下列各式的值． (1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)2(lg )2＋lg ×lg 5＋. [解析]　(1)原式＝log5－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. (2)原式＝lg ×(2lg ＋lg 5)＋ ＝lg ×＋1－lg ＝lg ＋1－lg ＝1. 对数的运算性质在解题中的两种应用 [触类旁通] 1.计算下列各式的值． 解析　(1)解法一　 解法二　 题型二　换底公式的应用（一题多解　一题多变） 　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)； (2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示). [解析]　(1)解法一　原式＝ ＝ ＝log25·(3log52) ＝13log25·＝13. 解法二　原式＝ ＝ ＝×＝13. (2)解法一　因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝ ＝＝. 解法二　因为＝log189＝a，所以lg 9＝a lg 18， 同理得lg 5＝b lg 18， 所以log3645＝＝＝ ＝＝. [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)? 解析　log1845＝log185＋log189＝b＋a. 2．(变条件)若将本例(2)条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，结论不变，如何求？ 解析　因为9b＝5，所以log95＝b， 所以log3645＝＝＝. 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.　 [触类旁通] 2．(1)计算： ①(log32＋log92)(log43＋log83)； ②log43·. (2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z的值． 解析　(1)①原式＝ ＝ ＝·＝. ②原式＝·＝·＝·＝. (2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0，且k≠1)，∴x＝log2 k，y＝log3k，z＝log5k， ∴＝logk2，＝logk3，＝logk5， 由＋＋＝1， 得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56. 题型三　对数运算的综合应用 　(1)通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍． (2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. ①求p的值； ②证明：－＝. [解析]　(1)由M＝lg A－lg A0可得，M＝lg ，即＝10M，A＝A0·10M， 当M＝8时，地震的最大振幅为A8＝A0·108； 当M＝5时，地震的最大振幅为A5＝A0·105； 所以两次地震的最大振幅之比是： ＝＝108-5＝1 000. 所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍． (2)①设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·， 因为log3k≠0，所以p＝2log34＝4log32. ②证明　－＝－ ＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝. [答案]　(1)1 000　(2)略 [素养聚焦]　　本题考查指数与对数运算的综合应用，突出考查数学运算素养． 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数t，用t表示其他变量.　 [触类旁通] 3．设3x＝4y＝36，求＋的值． 解析　解法一　∵3x＝36，4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436. ∴＝＝＝log363， ＝＝＝log364. ∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1. 解法二　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2.∴＝log63，＝log62. ∴＋＝log63＋log62＝log66＝1，即＋＝1. 知识落实 技法强化 1.对数的运算法则． 2.对数换底公式及常见变形． 1.运用对数的运算法则应注意成立的条件，如当x＞0时，才有logax2＝2logax. 2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式． [必备知识·基础巩固] 1．化简log612－2log6的结果为(　　) A．6　 　　　　　　　 B．12 C．log6 D． 解析　原式＝log6－log62＝log6＝log6. 答案　C 2．已知a＝lg x，则a＋3＝(　　) A．lg (3x) B．lg (x＋3) C．lg x3 D．lg (1 000x) 解析　a＋3＝lg x＋3＝lg x＋lg 1 000＝lg (1 000x). 答案　D 3．(多选题)下列等式不成立的是(　　) A．ln e＝1 B．＝ C．lg (MN)＝lg M＋lg N D．log2(－5)2＝2log2(－5) 解析　根据对数式的运算，可得ln e＝1，故A成立； 由根式与分数指数幂的互化可得＝，故B成立； 取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立．故选CD． 答案　CD 4．(多选题)已知x，y为正实数，则(　　) A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y 解析　对于A，当x＝y＝1时，不成立，故A错误；对于B，当x＝y＝1时，不成立，故B错误； ∵(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，∴C正确， ∵2ln x·2ln y＝2ln x＋ln y＝2ln (xy)，∴D正确． 答案　CD 5．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝ ． 解析　∵4a＝2， ∴a＝log42＝log44＝. 又∵lg x＝a，∴lg x＝， ∴x＝10＝. 答案　 6．已知2x＝3y，则＝ ． 解析　令2x＝3y＝t＞0，则x＝log2t，y＝log3t，故＝＝log23. 答案　log23 7．设a＝lg 2，b＝lg 5，则10a＝ ；2a·2b＝ ． 解析　由a＝lg 2可得10a＝2，2a·2b＝2a＋b＝2lg 2+lg 5＝2lg 10＝2. 答案　2　2 8．(1)若2a＝5b＝10，求＋的值； (2)求(log32＋log92)·(log43＋log83)的值； (3)求的值． 解析　(1)∵2a＝5b＝10， ∴a＝log210，b＝log510， ∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)原式＝· ＝· ＝·＝. (3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3， 分母＝(lg 6＋2)－lg ＝lg 6＋2－lg ＝4，∴原式＝. [关键能力·综合提升] 9．已知x，y，z都是大于1的正数，m＞0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　) A． B．60 C． D． 解析　由已知得 logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝， 而logmx＝，logmy＝， 故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝， 即logzm＝60. 答案　B 10．(多选题)设a＝log36，b＝log2，则下列结论正确的有(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．a＋b＜0 D．－＜0 解析　因为－＝log63＋log62＝1，所以A正确； 因为＋＝log63－log62＝log6≠1，所以B错误； 因为＋＝log6＞0，所以＞0，又ab＜0，所以a＋b＜0，所以C正确； 因为－＝＝＋＞0，所以D错误．故选AC． 答案　AC 11．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则的值为 ． 解析　令t＝logab，则t＋＝， ∴2t2－5t＋2＝0，即(2t－1)(t－2)＝0， 解得t＝或t＝2， ∴logab＝或logab＝2， ∴a＝b2或a2＝b， ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4， ∴＝2或＝. 答案　2或 12．已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示log125＝ ，lg ＝ ． 解析　因为lg 2＝a，lg 3＝b， 所以log125＝＝＝. lg ＝lg 54＝lg 6＋lg 9＝lg 6＋lg 3 ＝(lg 2＋lg 3)＋lg 3＝(a＋b)＋b ＝a＋b. 答案　　a＋b 13．(1)求(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值； (2)若a，b，c∈N＋，且满足a2＋b2＝c2， 求log2＋log2的值． 解析　(1)原式＝＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5 ＝log23·log32＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5 ＝＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5 ＝＋lg 2＋lg 5＝＋1＝. (2)因为a2＋b2＝c2， 所以log2＋log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2 ＝1. [核心价值·探索创新] 14．学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1＋1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.783 4 ：而把(1－1%)365看作是每天“落后”率都是1%，一年后是0.99365≈0.025 5.若想“进步”的值是“落后”的值的10倍，大约要经过 天．(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6)(　　) A．110 B．115 C．120 D．125 解析　设经过x天“进步”的值是“落后”的值的10倍，则10×0.99x＝1.01x，即x＝10， 则x＝log10＝＝ ＝≈ ＝≈115， 所以大约经过115天“进步”的值是“落后”的值的10倍． 答案　B 15．设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy. 证明　当x＝y＝z＝1时，满足z＝xy； 当x≠1，y≠1，z≠1时， 令xa＝yb＝zc＝t(t＞0，且t≠1)， 则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt. 因为＋＝， 所以logtx＋logty＝logtz. 所以logt(xy)＝logtz， 所以z＝xy. 学科网（北京）股份有限公司 $