第4章 4.2.1 对数运算(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 学业标准 素养目标 1.理解对数、常用对数和自然对数的概念． 2.掌握对数的基本性质和对数恒等式．(难点) 3.掌握指数式与对数式的互化并会进行简单求值．(重点) 1.通过对数概念的学习，发展学生数学抽象等核心素养． 2.通过对数性质、对数恒等式的应用，提升学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1 对数的概念 　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是多少？ 上述问题中，如果已知细胞分裂后的个数N，能求出分裂次数x吗？ [提示]　N＝2x；能，x＝log2N. ◎结论形成 1．指数式与对数式的互化及有关概念 2．常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数log10N简写为lg N． 3．自然对数：以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，自然对数logeN简写为ln N． 导学2 对数的性质及对数恒等式 　是不是所有的实数都有对数？为什么？ [提示]　零和负数没有对数，因为ax＝N(a>0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数． 　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？ [提示]　设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1. ◎结论形成 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－3)2＝9，所以log(－3)9＝2.(　　) (2)存在实数x，使得x＝log(－2)8.(　　) (3)ln (ln e)＝0.(　　) (4)若10＝lg x，则x＝100.(　　) 解析　(1)对数的底数不能为负值． (2)错误，因为对数的底数范围是大于零且不等于1. (3)∵ln e＝1，∴ln 1＝0，故(3)正确． (4)∵10＝lg x，∴x＝1010，故(4)错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．将＝化为对数式正确的是(　　) A．log3＝　　　　　 B．log＝3 C．log＝3 D．log3＝ 解析　＝化为对数式为log＝3，选B． 答案　B 3．求下列各式的值： (1)log636＝ ； (2)ln e3＝ ； (3)log50.2＝ ； (4)lg 0.01＝ ． 解析　(1)log636＝2. (2)ln e3＝3. (3)log50.2＝log55-1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10-2＝－2. 答案　(1)2　(2)3　(3)－1　(4)－2 4．41＋log42的值为 ． 解析　41＋log42＝4×4log42＝4×2＝8. 答案　8 题型一　对数的概念 　(1)若N＝a5(a＞0，a≠1)，则有(　　) A．loga5＝N　　　　　　　 B．logaN＝5 C．logN5＝a D．logNa＝5 (2)若对数式log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是(　　) A． B． C．∪(2，＋∞) D．[2，3] [解析]　(1)由N＝a5化为对数式为logaN＝5. (2)x应满足 所以x＞且x≠2， 即＜x＜2或x＞2. 所以x的取值范围是∪(2，＋∞). [答案]　(1)B　(2)C 对数的定义在求参数范围中的应用 根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中参数的取值范围.　 [触类旁通] 1．使式子log(2x－1)有意义的x的取值范围是 ． 解析　解得＜x＜1或1＜x＜2. 答案　∪(1，2) 题型二　利用指数式与对数式的关系求值 　(1)将下列指数式与对数式互化： ①log216＝4；②＝6；③43＝64；④3-2＝；⑤lg 1 000＝3. (2)求下列各式中x的值： ①4x＝5·3x；②log7(x＋2)＝2； ③log＝x；④logx27＝； ⑤lg 0.01＝x. [解析]　(1)①因为log216＝4，所以24＝16. ②因为＝6，所以()6＝x. ③因为43＝64，所以log464＝3. ④因为3-2＝，所以log3＝－2. ⑤因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. (2)①∵4x＝5·3x，∴＝5， ∴＝5，∴x＝log5. ②∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47. ③∵log＝x，∴＝， ∴＝，∴x＝－2. ④∵logx27＝，∴x＝27，∴x＝27＝32＝9. ⑤∵lg 0.01＝x，∴10x＝0.01＝10-2，∴x＝－2. 利用指数与对数的互化求变量值的策略 (1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值.　 [触类旁通] 2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式． ①10-3＝； ②ln 2＝x. (2)已知a＞0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． 解析　(1)①因为10-3＝， 所以lg ＝－3； ②因为ln 2＝x，所以ex＝2. (2)根据条件loga3＝n及对数的定义可得an＝3， 由loga2＝m及对数的定义可得am＝2， 所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12. 题型三　利用对数性质和对数恒等式求值（一题多变） 　(1)求下列各式中x的值． ①log3(log2x)＝0；②＝9. (2)已知log5(log3(log2a))＝0，计算的值． [解析]　(1)①∵log3(log2x)＝0， ∴log2x＝1，∴x＝21＝2. ②由＝9得＝9，解得x＝81. (2)因为log5(log3(log2a))＝0， 所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3.所以a＝23＝8. 所以原式＝6×＝6×a＝6×8＝48. [母题变式] 1．(变结论)本例(2)条件不变，试求的值． 解析　由条件知a＝8， 原式＝＝8×36＝288. 2．(变结论)本例(2)条件不变，试求的值． 解析　由条件可知a＝8， 所以原式＝＝a＝8. [素养聚焦]　通过利用对数性质和对数恒等式求值，把逻辑推理、数学运算核心素养体现在解题过程中. 1．在对数的运算中，常用对数的基本性质：①负数和零没有对数；②loga1＝0(a>0，a≠1)；③logaa＝1(a>0，a≠1)进行对数的化简与求值． 2．对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时，应充分考虑对数恒等式的应用．对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)的结构形式：①指数中含有对数式；②它们是同底的；③其值为对数的真数.　 [触类旁通] 3．求下列各式中x的值． (1)ln (lg x)＝1；(2)log2(log5x)＝0； (3) ＝x. 解析　(1)∵ln (lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e. (2)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5. (3)x＝32×＝9×5＝45. 知识落实 技法强化 1.对数的概念． 2.对数的性质． 3.对数的恒等式． 1.已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2.运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误： ①logaNn＝(logaN)n； ②loga(MN)＝logaM·logaN； ③logaM±logaN＝loga(M±N). [必备知识·基础巩固] 1．使log0.5＝0成立的x值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析　由log0.5＝0得＝1， ∴1－4x＝9，∴4x＝－8，∴x＝－2. 答案　D 2．若xlog23＝1，求3x＋3－x＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为xlog23＝1，所以x＝log32，所以3x＋3－x＝＝2＋＝. 答案　A 3．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3 C．＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7 解析　log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A、C、D正确． 答案　ACD 4．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．log24＝2 B．2.10.5＞2.1-1.8 C．＝2 D．－ln e＝1 解析　log24＝2，A正确；根据函数y＝2.1x是单调增函数可知2.10.5＞2.1-1.8，故B正确；根据对数恒等式可知＝2，故C正确；－ln e＝－1，故D不正确．故选ABC． 答案　ABC 5．若a＝log3，则4a＋2－a＝ ． 解析　由a＝log3，可得＝3⇒2a＝，所以4a＋2－a＝(2a)2＋(2a)-1＝＋＝. 答案　 6．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m－n的值为 ． 解析　由loga2＝m得am＝2，由loga3＝n得an＝3，∴a2m－n＝＝. 答案　 7．若a>0，a＝，则loga的值等于 ． 解析　∵a＝，a>0，∴a＝＝. ∴loga＝log＝3. 答案　3 8．计算下列各式． 解析　(1)原式＝log2 ＋lg 102＋2＝＋2＋2 ＝－＋4＝. ＝22×3＋＝12＋1＝13. [关键能力·综合提升] 9．设alog34＝2，则4－a＝(　　) A． B． C． D． 解析　由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9， 所以有4－a＝，故选B． 答案　B 10．(多选题)以下四个结论正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．ln (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若e＝ln x，则x＝e2 解析　lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确； ln(ln e)＝ln 1＝0，故B正确； 若10＝lg x，则x＝1010，故C错误； 若e＝ln x，则x＝ee，故D错误． 答案　AB 11．计算：0.25×＋ln ＋＝ . 解析　0.25×＋ln ＋ ＝0.25×16＋＋2-1× ＝4＋＋＝6. 答案　6 12．若a＝log92，则9a＝ ，3a＋3－a＝ ． 解析　a＝log92，则9a＝＝2， 所以3a＝，3a＋3－a＝＋＝. 答案　2　 13．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值． 解析　∵logx＝m，∴＝x，x2＝. ∵logy＝m＋2， ∴＝y，y＝. ∴＝＝＝＝16. [核心价值·探索创新] 14．已知log2[log(log2x)]＝log3[log(log3y)]＝log5[log(log5z)]＝0，试比较x，y，z的大小． 解析　由log2[log(log2x)]＝0得 log(log2x)＝1，log2x＝，即x＝2； 由log3[log(log3y)]＝0得 log(log3y)＝1，log3y＝，即y＝3； 由log5[log(log5z)]＝0得 log(log5z)＝1，log5z＝，即z＝5. ∵y＝3＝3＝9，x＝2＝2＝8，∴y＞x. 又x＝2＝2＝32，z＝5＝5＝25， ∴x＞z，故y＞x＞z. 15．已知logax＝4，logay＝5(a＞0，且a≠1)，A＝的值是否为定值？并说明理由． 解析　由logax＝4，得x＝a4， 由logay＝5，得y＝a5， 所以A＝ ＝x·[(x－·y-2)] ＝x·(x－·y-2)＝x· ＝(a4)· ＝＝a0＝1. 故A的值为定值1. 学科网（北京）股份有限公司 $