第4章 4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第2课时　指数函数的性质与图象的应用 导学 指数函数图象间的关系 　当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对任意一个实数x0，什么时候ax0＞bx0？什么时候ax0＜bx0？什么时候ax0＝bx0? [提示]　由图象可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0； ②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0； x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. ◎结论形成 1．对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x＞0时，ax＞bx＞1. 2．对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： (1)当x＜0时，ax＞bx＞1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　) (2)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x.(　　) (3)y＝3·是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　) (4)若ax-1＞a2，则x＞3.(　　) 解析　(1)由指数函数的单调性可知正确． (2)由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x≤0时，3x≤2x. (3)y＝3·是刻画指数衰减变化规律的函数模型． (4)当a＞1时，x＞3；当0＜a＜1时，x＜3. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　) A．y1＞y2＞y3　　　　　 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 解析　∵y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5， ∴y1＞y3＞y2，故选B． 答案　B 3．若＜，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B． C．(－∞，1) D． 解析　函数y＝在R上为减函数， 所以2a＋1＞3－2a，所以a＞. 答案　B 4．函数y＝的单调增区间为 ． 解析　y＝＝2x-1， 故函数的增区间为(－∞，＋∞). 答案　(－∞，＋∞) 题型一　指数函数单调性的应用（题点多探　多维探究） 角度1　比较幂的大小 　比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8-0.1，1.250.2； (2)－π，1； (3)0.2-3，0.2. [解析]　(1)因为0.8-0.1＝-0.1＝0.1，1.250.2＝0.2， 又指数函数y＝x为增函数，且0.1<0.2， 所以0.1<0.2，即0.8-0.1<1.250.2. (2)－π＝ππ>π0＝1. (3)0.2-3>0.20＝1，0.2＝＝<0，所以0.2-3>0.2. 比较幂值大小的三种类型及处理方法 角度2　解简单指数不等式 　解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a＞0，且a≠1). [解析]　当0＜a＜1时，2x＋1≥x－5，解得x≥－6； 当a＞1时，2x＋1≤x－5，解得x≤－6， 所以当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＞1时，不等式的解集为. 解简单的指数不等式往往先化成af(x)＞ag(x)的形式，若a的取值不确定，需分类讨论.　 角度3　函数y＝af(x)的单调性 　判断f(x)＝的单调性，并求最值． [解析]　令u＝x2－2x， 则原函数变为y＝. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且y＝在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x＝1时，函数取得最大值，为＝3，无最小值． 研究y＝af(x)型函数的单调性时，要注意是a＞1，还是0＜a＜1： ①当a＞1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同； ②当0＜a＜1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相反.　 [触类旁通] 1．(1)(2024·河南郑州高一期中)设a＝0.70.7，b＝0.71.8，c＝1.80.7，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a (2)不等式>的解集为 ． (3)f(x)＝的单调递增区间为 ． 解析　(1)由y＝0.7x为减函数， 故a＝0.70.7>b＝0.71.8， 由y＝x0.7为增函数，故c＝1.80.7>a＝0.70.7， 所以b<a<c. (2)由>＝3-3，所以x2－4x>－3，即>0，解得x<1或x>3. (3)易知函数f(x)＝0.7x2－2x是由指数函数y＝0.7t和二次函数t＝x2－2x复合而成， 由复合函数单调性可知求出函数t＝x2－2x的单调递减区间即可， 利用二次函数性质可知，t＝x2－2x在上单调递减， 所以f(x)＝0.7x2－2x的单调递增区间为. 答案　(1)C　(2)∪　(3) 题型二　指数函数模型的应用 　某地区2014年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2025年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少为 万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7，1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7). [解析]　设平均每年新增住房面积为x万平方米， 则≥7， 解得x≥≈82.27， 即平均每年新增住房面积至少为83万平方米． [答案]　83 [素养聚焦]　　本题主要考查指数函数的实际应用，突出考查数学建模核心素养． 在实际问题中，经常遇到指数增长(衰减)模型：设原有量为N，每次的增长(衰减)率为P，经过x次增长(衰减)，该量增长(衰减)到y，则y＝N(1±p)x(x∈N).此类函数是刻画指数增长或(衰减)变化规律的非常有用的函数模型.　 [触类旁通] 2．某罐头厂2024年4月份平均日产量为20万罐，因销售量增大，工厂从5月份起扩大产能，6月份平均日产量达到45万罐，则该厂日产量的月平均增长率是 ． 解析　设罐头厂日产量的月平均增长率是x，依题意得20(1＋x)2＝45，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不符合题意，舍去)，则该厂日产量的月平均增长率是50%. 答案　50% 题型三　指数函数性质的综合应用（一题多变） 　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝. (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域． [解析]　(1)∵ ∴根据题意得 解得 故a，b的值分别为－1，0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)设任意x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)， 则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2x2＋2－x2) ＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)·. 因为x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，所以2x1－2x2＜0，2x1＋x2＞1，所以2x1＋x2－1＞0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞). [母题变式] (变结论)本例条件不变，若f(x)－2m≥0对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为 ． 解析　由本例解答知，f(x)的最小值为2，要使f(x)－2m≥0恒成立，即f(x)≥2m恒成立，只需2m≤2即可，解得m≤1. 答案　(－∞，1] 解决指数函数性质的综合问题应关注的两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.　 [触类旁通] 3．设a＞0，f(x)＝＋是定义在R上的偶函数． (1)求a的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 解析　(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋a·3x， ∴＝0对一切x∈R恒成立．由此可得a－＝0，即a2＝1.又a＞0，∴a＝1. (2)证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝3x1－3x2＋－＝(3x2－3x1)＝(3x2－3x1)·. 由x1＞0，x2＞0，x1＜x2， 得x1＋x2＞0，3x2－3x1＞0， 则1－3x1＋x2＜0，3x1＋x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 故f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 知识落实 技法强化 1.比较幂的大小． 2.探究函数y＝af(x)的单调性、值域． 3.解形如af(x)＞ag(x)的不等式． 1.探究y＝af(x)与y＝f(ax)的性质时，要注意换元法的应用． 2.在解决指数函数模型的应用问题的过程中，大多需要根据条件列出方程，进而求解． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)＞f(－1)　　　 B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－4)＞f(3) 解析　由f(2)＝a-2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)，f(2)＞f(1)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，所以A，D正确． 答案　AD 2．已知a＝0.3-0.2，b＝，c＝3-0.2，则(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析　∵y＝3x在R上单调递增，且b＝＝3-0.3，∴0＜3-0.3＜3-0.2＜30，∴0＜b＜c＜1，又y＝0.3x在R上单调递减，∴a＝0.3-0.2＞0.30＝1，∴0＜b＜c＜1＜a. 答案　D 3．，，的大小关系是(　　) A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 解析　由y＝在R上单调递减， 知＜， 而＜1＜， 所以＜＜. 答案　B 4．已知函数f(x)＝2x－，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 解析　因为f(x)的定义域为R且f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．又y＝2x是R上的增函数，y＝是R上的减函数，所以函数f(x)＝2x－是R上的增函数． 答案　A 5．(2023·新课标Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝2x在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是 ． 解析　当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)， 则f(x)＝2x－1. 当x＝0时，f(0)＝0，易知f(x)是R上的增函数． 由f(x)＜－，解得x＜－1. 答案　(－∞，－1) 7．若函数f＝的定义域为R，则a的取值范围为 ． 解析　函数f＝的定义域为R， 所以－1≥0恒成立，等价于x2－2ax＋9≥0恒成立， 即Δ＝4a2－36≤0，解得－3≤a≤3. 答案　 8．已知f(x)＝ax－(其中a＞1，x∈R). (1)判断并证明f(x)的奇偶性与单调性； (2)解不等式f(2x)＞f(x＋1). 解析　(1)f(x)为奇函数且单调递增．证明如下： 函数f(x)的定义域为R且关于原点对称， 又因为f(－x)＝a－x－＝－ax＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 设x1，x2∈R且x1＜x2， 因为a＞1，x1＜x2，所以ax1＜ax2且＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)单调递增． (2)由(1)可知f(x)在R上为增函数， 由f(2x)＞f(x＋1)得2x＞x＋1，∴x＞1. ∴原不等式的解集为(1，＋∞). [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知实数a，b满足等式＝，下列关系式不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 解析　作y＝与y＝的图象．当a<b<0时，可以使＝；当a>b>0时，也可以使＝.故A、B都可能成立，不可能成立的关系式是C、D． 答案　CD 10．(多选题)已知函数f(x)＝2x＋，则(　　) A．f(－1)＝ B．f(x)的最小值为2 C．f(x)为偶函数 D．f(x)在R上单调递增 解析　f(－1)＝2-1＋＝＋＝＋2＝，A错误；令t＝2x＞0，则有g(t)＝t＋≥2＝2，当且仅当t＝1，即x＝0时取等号，此时f(x)有最小值2，B正确；易知g(t)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，D错误；f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，且x∈R，故f(x)为偶函数，C正确．故选BC． 答案　BC 11．设函数f(x)＝若f(a＋1)≤f(2a－1)，则实数a的取值范围是 ． 解析　当x＜2时，f(x)＝2x为增函数， 且f(x)＜f(2)＝4； 当x≥2时，f(x)＝x2为增函数，且f(x)≥f(2)＝4，∴f(x)在R上为增函数， ∵f(a＋1)≤f(2a－1)， ∴a＋1≤2a－1，解得a≥2， ∴实数a的取值范围为[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 12．已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈(0，1]时，f(x)＝2x，则当x∈[－1，0)时，f(x)＝ ；函数f(x)在定义域内的值域为 ． 解析　设x∈[－1，0)，则－x∈(0，1]，f(－x)＝2－x， 因为f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－2－x， 又f(x)是定义域为[－1，1]上的奇函数， 所以f(0)＝0 所以f(x)＝函数图象如图所示： 所以f(x)∈[－2，－1)∪{0}∪(1，2]. 答案　－2－x　[－2，－1)∪{0}∪(1，2] 13．已知函数f(x)＝. (1)若a＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值为3，求实数a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求实数a的值． 解析　(1)当a＝1时，f(x)＝， 令g(x)＝x2－4x＋3，易知g(x)在(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 又y＝在R上为减函数， 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)，单调递增区间是(－∞，2). (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝， 因为f(x)的最大值为3，所以h(x)的最小值为－1，当a＝0时，f(x)＝，无最大值； 当a≠0时，有解得a＝1. 综上，当f(x)的最大值为3时，实数a的值为1. (3)若要使f(x)＝的值域为(0，＋∞)，则需h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R. 当a＝0时，h(x)＝－4x＋3，值域为R，符合题意； 当a≠0时，h(x)为二次函数，其值域不为R，不符合题意． 综上，当f(x)的值域是(0，＋∞)时，实数a的值为0. [核心价值·探索创新] 14．若函数f(x)＝3|x|＋x2，则不等式f(x＋1)≥f(2x－4)的解集为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，2] C．[2，3] D．[1，5] 解析　因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝3|－x|＋(－x)2＝3|x|＋x2＝f(x)， 所以f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称； 当x≥0时，f(x)＝3x＋x2， 又y＝3x，y＝x2在[0，＋∞)上均为增函数， 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 则f(x)在[－∞，0]上为减函数； 由f(x＋1)≥f(2x－4)可得|x＋1|≥|2x－4|， 即(x＋1)2≥(2x－4)2，解得1≤x≤5， 即不等式f(x＋1)≥f(2x－4)的解集为[1，5]. 答案　D 15．已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于∀x1∈[－2，2]，总∃x2∈[－2，2]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数m的取值范围是 ． 解析　因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数， 所以f(0)＝0， 当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1∈(0，3]， 则当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－3，3]， 若对于∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]， 使得g(x2)≥f(x1)，则等价为g(x)max≥3， 因为g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1， x∈[－2，2]， 所以g(x)max＝g(－2)＝8＋m， 则满足8＋m≥3，解得m≥－5. 答案　[－5，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $