第4章 4.1.2 第1课时 指数函数的概念、指数函数的性质与图象(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图象 学业标准 素养目标 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(难点) 1.通过学习指数函数的概念，发展学生数学抽象等核心素养． 2．通过指数函数图象与性质的探究，提升学生直观想象、数学运算等核心素养． 第1课时　指数函数的概念、指数函数的性质与图象 导学1 指数函数的概念 　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y，则变量x与y间存在怎样的函数关系？ [提示]　y＝2x，x∈N＋. ◎结论形成 函数y＝ax(其中a是常数，a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 导学2 指数函数的图象与性质 　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝的图象及y＝3x与y＝的图象，并回答下列问题： (1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ [提示]　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数． (2)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) [提示]　定义域为R，值域为{y|y>0}，过(0，1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数． ◎结论形成 指数函数的图象和性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域R，值域(0，＋∞) 图象都过点(0，1) 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝a－x的图象在同一坐标系中关于y轴对称 设x1，x2∈R，则f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) 点睛 指数函数f(x)＝ax中为什么要限定a＞0且a≠1? (1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，在实数范围内函数值不存在． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x5是指数函数．(　　) (2)y＝2ax(a＞0，且a≠1)是指数函数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　) (4)y＝3－x在(－∞，＋∞)上是增函数．(　　) 解析　(1)y＝x5不是指数函数，指数函数的底数是常数． (2)指数函数的系数为1. (3)由指数函数的性质知正确． (4)y＝3－x＝在(－∞，＋∞)上是减函数． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 解析　y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B． 答案　B 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则函数的解析式为 ． 解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图象经过点(2，4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2.即函数的解析式为f(x)＝2x. 答案　f(x)＝2x 4．函数y＝4x＋2的值域是 ． 解析　∵当x∈R时，4x>0，∴y>2. 即值域为(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 题型一　指数函数的概念 　(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)＝ ． (2)已知函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则实数a的值为 ，f(－2)＝ ． [解析]　(1)设f(x)＝ax(a＞0，a≠1)， ∴a-2＝.∴a＝2.∴f(4)f(2)＝24·22＝64. (2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， 可得解得故a＝2. ∴f(－2)＝2-2＝. [答案]　(1)64　(2)2　 指数函数是一个形式定义，其特征如下： [触类旁通] 1．(1)若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C．2 D．－2 (2)(多选题)若函数f(x)＝·ax(a＞0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　) A．a＝8 B．f(0)＝－3 C．f＝2 D．a＝4 解析　(1)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 因为f(x)的图象经过点(2，9)， 所以a2＝9，解得a＝3，即f(x)＝3x， 因此f(－1)＝3-1＝. (2)因为函数f是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f＝8x，所以f＝1，f＝8＝2，故B、D错误，A、C正确． 答案　(1)A　(2) AC 题型二　指数函数的图象问题（一题多解　一题多变） 　(1)如图是指数函数： ①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c (2)函数y＝的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？ [解析]　(1)解法一　①②中函数的底数小于1且大于0，在y轴右边，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b<a，③④中函数的底数大于1，在y轴右边，底数越大，图象向上越靠近y轴，故有d<c.故选B． 解法二　作直线x＝1，与函数①②③④的图象分别交于A，B，C，D四点，将x＝1代入各个函数可得函数值等于底数值，所以交点的纵坐标越大，则对应函数的底数越大．由图可知b<a<1<d<c.故选B． (2)∵y＝＝ ∴其图象由y＝(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成． 而y＝(x>0)和y＝2x(x<0)的图象关于y轴对称，所以原函数的图象关于y轴对称． 由图象可知值域是(0，1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞). [答案]　(1)B　(2)略 [母题变式] 1．(变条件)若将例2(2)中的函数改为y＝2|x|，如何解？ 解析　y＝2|x|＝其图象是由y＝2x(x≥0)与y＝(x＜0)两部分合并而成，则原函数的图象关于y轴对称，如图． 由图象可知，函数的值域为[1，＋∞)，单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0). 2．(变条件、变结论)若把本例2(2)中的函数改为y＝2|x+1|，请画出它的图象． 解析　当x≥－1时，y＝2|x+1|＝2x+1； 当x＜－1时，y＝2|x+1|＝2－(x+1)＝. 所以函数y＝2|x+1|的图象如图所示． [素养聚焦]　　作图、识图的过程中体现了直观想象等核心素养． 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．　 [触类旁通] 2．(1)(2024·四川绵阳高一期中)函数f(x)＝·3x的图象的大致形状是(　　) (2)(2024·河南开封高一月考)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析　(1)当x>0时，f(x)＝3x，其在(0，＋∞)上单调递增，C，D错误； 当x<0时，f(x)＝－3x，在(－∞，0)上单调递减，B错误，A正确． (2)由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1. 解法一　由f(x)＝ax－b图象，函数与y轴的交点纵坐标y∈(0，1)，令x＝0，得y＝a－b，由0<a－b<1，即0<a－b<a0，解得b<0. 解法二　函数f(x)图象可看作是由y＝ax(0<a<1)向左平移得到的，则－b>0，即b<0. 答案　(1)A　(2)D 题型三　与指数函数有关的定义域、值域问题 　(1)函数y＝ 的定义域是(　　) A．[－2，＋∞)　　　　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] (2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　) A．[9，81] B．[3，9] C．[1，9] D．[1，＋∞) (3)函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值是 ． [解析]　(1)由题意得－27≥0， 所以≥27， 即≥， 又指数函数y＝为R上的单调减函数， 所以2x－1≤－3，解得x≤－1. (2)由f(x)的图象过点(2，1)可知b＝2， 由f(x)＝3x-2在[2，4]上是增函数， 可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，故C正确． (3)①若a＞1，则f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去). ②若0＜a＜1，则f(x)在[1，2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去). 综上所述，a的值为或. [答案]　(1)C　(2)C　(3)或 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域 函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域 ①换元，t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域即x∈D； ③求t＝f(x)的值域即t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.　 [触类旁通] 3．(1)函数y＝ 的定义域是 ； (2)函数y＝的定义域为 ，值域为 ． 解析　(1)由1－3x≥0，得3x≤1＝30， 因为函数y＝3x在实数集上是增函数， 所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]. (2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 因为＞0，又0＜＜1， 所以0＜＜＝1，即值域为(0，1). 答案　(1)(－∞，0]　(2)(－∞，0)∪(0，＋∞)　(0，1) [缜密思维提能区] 易错案例 因忽略换元后新变量的取值范围而致错 [典例]　已知a＞0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在区间[－1，1]上的最大值为14，求a的值． [错解]　∵y＝(ax＋1)2－2，又函数在区间[－1，1]上单调递增，∴当x＝1时，y取得最大值． ∴a2＋2a－1＝14，即a2＋2a－15＝0， ∴a＝3或a＝－5(舍去).∴a＝3. [正解]　设t＝ax，则t＞0，当a＞1，且x∈[－1，1]时，t∈；当0＜a＜1，且x∈[－1，1]时，t∈. ∵y＝(t＋1)2－2在(0，＋∞)上单调递增， ∴当a＞1时，y在t＝a处取得最大值， ∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3. 当0＜a＜1时，y在t＝处取得最大值， ∴＋－1＝14，∴a＝.故a＝3或a＝. 纠错心得 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t＞0，一定要注意换元后新变量的取值范围． 知识落实 技法强化 1.指数函数的概念． 2.指数函数的图象与性质． 1.探究指数函数的性质时，若底数不确定，则需要对底数分类讨论． 2.底数对函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象的影响如图所示(a1＞a2＞a3＞a4).在第一象限中具有“底大图高”的特征． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)若函数f(x)＝·ax(a＞0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　) A．a＝8　　　　　　　　 B．f(0)＝－3 C．f＝2 D．a＝4 解析　因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1， f＝8＝2，故B、D错误，A、C正确． 答案　AC 2．当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是(　　) A．　　　　　　　　 B．[－1，1] C． D．[0，1] 解析　易知函数f(x)＝3x－2在[－1，1]上单调递增，所以函数f(x)＝3x－2的值域是.故选C． 答案　C 3．函数f(x)＝21-x的大致图象为(　　) 解析　f(x)＝21-x＝，故由y＝的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，又f(0)＝2，故选A． 答案　A 4．(多选题)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项正确的是(　　) A．a＞1 B．0＜a＜1 C．b＜0 D．b＜1 解析　因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a＞1.当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0.故选AC． 答案　AC 5．已知f(x)＝(a＞0，a≠1)，则f(e2)＋f(－e2)＝ ． 解析　由f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝1，知f(e2)＋f(－e2)＝1. 答案　1 6．函数y＝ax+1＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点 ． 解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，y＝a0＋2＝3，所以函数图象恒过定点(－1，3). 答案　(－1，3) 7．函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 解析　∵≠0，∴≠1. 而＞0，故f(x)∈(0，1)∪(1，＋∞). 答案　(－∞，0)∪(0，＋∞)　(0，1)∪(1，＋∞) 8．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2－1.(2)y＝. 解析　(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2>0且2≠1，故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞). (2)函数y＝的定义域为实数集R， 由于2x2≥0，则2x2－2≥－2， 故0<≤9， 所以函数y＝的值域为(0，9]. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在同一直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－3与y＝ax的图象可能是(　　) 解析　若a＞1，则函数y＝ax是R上的增函数， 函数y＝x2＋ax＋a－3的图象的对称轴方程为x＝－＜0，故A可能，B不可能； 若0＜a＜1，则函数y＝ax是R上的减函数， a－3＜0，函数y＝x2＋ax＋a－3的图象与y轴的负半轴相交，对称轴为x＝－＜0， 故C不可能，D可能． 答案　AD 10．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确． 答案　ABD 11．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是 ． 解析　由x<0，得0<2x<1；由x>0， ∴－x<0，0<2－x<1，∴－1<－2－x<0. ∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1). 答案　(－1，0)∪(0，1) 12．已知函数f(x)＝则f(f(0))＝ ；f(x)的最小值为 ． 解析　因为函数f(x)＝ 所以f(0)＝1，f(f(0))＝f(1)＝； 当－1≤x≤0时，f(x)＝x2＋x＋1＝＋∈；当0＜x≤1时，f(x)＝∈，f(x)的最小值为. 答案　　 13．已知函数f(x)＝，求f＋f＋f＋…＋f＋f＋f. 解析　因为f(1－x)＝＝＝， 所以f(x)＋f(1－x)＝1. 原式＝＋＋…＋＝50. [核心价值·探索创新] 14．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图1所示，求a，b的取值范围； (2)若f(x)的图象如图2所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围． 解析　(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为 (0，1)，又f(0)＝1＋b＜0，所以b的取值范围为(－∞，－1). (2)y＝|f(x)|的图象如图所示． 由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一解的m值为m＝0或m≥3. 15．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围． 解析　设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0，2]，则原函数在(－∞，1]上有意义等价于1＋t＋at2≥0在t∈(0，2]上恒成立，∴a≥－. 设f(t)＝－(t∈(0，2])， 则f(t)＝－＝－＋， ∵t∈(0，2]，∴∈， ∴f(t)≤f(2)＝－， ∴a≥－，即a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $