第4章 4.1.2 第1课时 指数函数的概念、指数函数的性质与图象(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图象

第1课时　指数函数的概念、指数函数的性质与图象

　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y，则变量x与y间存在怎样的函数关系？

[提示]　y＝2x，x∈N＋.

◎结论形成

函数y＝ax(其中a是常数，a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．

　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝的图象及y＝3x与y＝的图象，并回答下列问题：

(1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？

[提示]　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数．

(2)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)

[提示]　定义域为R，值域为{y|y>0}，过(0，1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数．

◎结论形成

指数函数的图象和性质

点睛

指数函数f(x)＝ax中为什么要限定a＞0且a≠1?

(1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．

(2)如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，在实数范围内函数值不存在．

(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝x5是指数函数．(　　)

(2)y＝2ax(a＞0，且a≠1)是指数函数．(　　)

(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)

(4)y＝3－x在(－∞，＋∞)上是增函数．(　　)

解析　(1)y＝x5不是指数函数，指数函数的底数是常数．

(2)指数函数的系数为1.

(3)由指数函数的性质知正确．

(4)y＝3－x＝在(－∞，＋∞)上是减函数．

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．函数y＝2－x的图象是(　　)

解析　y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B．

答案　B

3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则函数的解析式为        ．

解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图象经过点(2，4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2.即函数的解析式为f(x)＝2x.

答案　f(x)＝2x

4．函数y＝4x＋2的值域是        ．

解析　∵当x∈R时，4x>0，∴y>2.

即值域为(2，＋∞).

答案　(2，＋∞)