第4章 4.1.1 实数指数幂及其运算(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 学业标准 素养目标 1.通过对有理数、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(难点) 2．掌握指数幂的运算法则，并能熟练应用．(重点) 1.通过实例归纳出分数指数幂的意义，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过实数指数幂及其运算法则的应用，提升学生数学运算等核心素养． 导学1 n次方根、算术根、根式 　我们在初中学习了平方根、立方根，有没有四次方根、五次方根……n次方根呢？ 如果x2＝3，这样的x有几个？它们称为3的什么？怎么表示？x3＝8呢？ [提示]　有．对于x2＝3，则x＝±，称为3的平方根；对于x3＝8，则x＝2，称为8的立方根． ◎结论形成 1．n次方根的定义及表示 (1)定义 给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． (2)表示 ①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0； ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，没有意义； ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 2．根式的定义和性质 (1)定义 当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． (2)性质 ①()n＝a； ②当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|． 导学2 有理数指数幂 　根据n次方根的定义和性质，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ① ＝ ＝a2＝a(a>0)； ②＝ ＝a4＝a(a>0)； ③ ＝ ＝a3＝a(a>0). [提示]　当a＞0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数． ◎结论形成 1．如果m，n∈N＋，n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：a＝，＝． 2．有理数指数幂的运算法则 asat＝as＋t，(as)t＝as t，(ab)s＝asbs． 导学3 实数指数幂 　无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)有何意义？有怎样的运算性质？有理数指数幂的运算性质是否还适用？ [提示]　无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小．一般来说，无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂． ◎结论形成 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). 点睛 1．若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s. 2．若a＞b＞0，n∈N＋且n＞1，则a＞b. 3．乘法公式仍适用于分数指数幂，如： (a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a＞0，b＞0). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝.(　　) (2)对于a∈R，(a2＋a＋1)0＝1成立．(　　) (3)a3·a＝a.(　　) (4)a÷＝a.(　　) 解析　(1)＝. (2)因为a2＋a＋1≠0，所以(a2＋a＋1)0＝1成立． (3)a3·a＝a. (4)a÷＝a. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．根式化为分数指数幂为(　　) A．　　　　　　　　　 B．m C． D．m 解析　＝＝.故选A． 答案　A 3．(多选题)下列各式中不正确的是(　　) A．＝n7m B．＝ C．＝(x＋y) D．＝ 解析　∵＝＝n7m-7，∴A错误； ∵＝＝，∴B错误； ∵＝(x3＋y3)，∴C错误； ∵＝ ＝＝3＝，∴D正确． 答案　ABC 4．－－的值为 ． 解析　原式＝－－(2-1)3 ＝－－＝. 答案　 题型一　根式的化简与求值 　(1)化简下列各式： ① ＝ ； ②()2＋ ＋ ＝ ． (2)设－3<x<3，求 －的值． [解析]　(1)① ＝x－π. ②由题意，首先a－1≥0，即a≥1. 从而()2＝a－1， ＝|1－a|＝a－1, ＝1－a， 所以原式＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. (2)原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|. 当－3<x<1时， 原式＝(1－x)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. 故原式＝ [答案]　(1)①x－π　②a－1　(2)略 在解决有关根式问题时，一定要仔细观察、分析根号下式子的特征，为使开偶次方后不出现符号错误，结果一定要先用绝对值符号表示，然后利用已知条件去绝对值符号，对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论.　 [触类旁通] 1．(1)(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－＝(－x)(x＞0) B．＝y(y＜0) C．＝ (x＞0) D．＝(x≠0) (2)已知 ＝－a－1，则实数a的取值范围是 ． 解析　(1)－＝－x(x＞0)； ＝(y2)＝－y(y＜0)； ＝(x-3)＝(x＞0)； ＝＝(x≠0). (2)∵＝|a＋1|， ∴|a＋1|＝－a－1＝－(a＋1). ∴a＋1≤0，即a≤－1. 答案　(1)CD　(2)(－∞，－1] 题型二　根式与分数指数幂的运算 　化简下列各式： (1)； (2)； (3)0.064－0＋＋16-0.75； (4)÷×. [解析]　(1)由题知a＞0， 原式＝＝＝a. (2)原式＝＝＝＝＝＝ (x≠0). (3)0.064－0＋＋16-0.75 ＝－1＋(π－2)＋－ ＝＋π－3＋2-3＝＋π－3＋＝π－. (4)÷× ＝÷×a ＝××a ＝＝＝a. (1)指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质． (2)根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.　 [触类旁通] 2．计算下列各式： (1)0.5＋0.1-2＋－3π0＋； (2)－＋＋－π0. 解析　(1)0.5＋0.1-2＋－3π0＋ ＝＋102＋－3×1＋ ＝＋100＋－3＋＝100. (2) －＋＋－π0 ＝－＋＋-1－1 ＝－＋＋-1－1＝3. 题型三　指数幂运算中的条件求值（一题多变） 　已知a＋＝(a＞0)，求下列各式的值： (1)a＋a-1；(2)a2＋a-2. [解析]　(1)将a＋a－＝的两边平方， 得a＋a-1＋2＝5，即a＋a-1＝3. (2)由a＋a-1＝3，两边平方，得a2＋a-2＋2＝9， 即a2＋a-2＝7. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求a2－a-2的值． 解析　设y＝a2－a-2，两边平方，得 y2＝a4＋a-4－2＝(a2＋a-2)2－4＝72－4＝45. 所以y＝±3，即a2－a-2＝±3. 2．(变条件)将本例中的条件“a＋＝(a>0)”改为“a2＋a-2＝3”，求a＋a-1的值． 解析　∵a2＋a-2＝3，∴(a＋a-1)2－2＝3， 即(a＋a-1)2＝5，故a＋a-1＝±. [素养聚焦]　通过整体代入，巧妙变形，提高运算求解能力，进而提升数学运算等核心素养． 条件等式求值的原则和技巧 (1)两个原则 ①把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值； ②先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值． (2)技巧：注意乘法公式在分数指数幂中的应用及“整体代换”的思想的运用.　 [触类旁通] 3．(1)已知3a＋2b＝1，则＝ ； (2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求的值． 解析　(1)∵3a＋2b＝1，∴原式＝＝＝3＝. (2)因为＝ ＝，① 又x＋y＝12，xy＝9，② 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 因为x＜y，所以x－y＝－6，③ 将②③式代入①式，得＝＝－. 答案　(1)　(2)略 [缜密思维提能区] 易错辨析 实数指数幂的运算 　化简：(1－a)[(a－1)-2(－a)]. [解析]　由(－a)有意义，可知－a≥0，故a≤0， 所以(1－a)[(a－1)-2·(－a)] ＝(1－a)[(a－1)-2]·[(－a)] ＝(1－a)(1－a)-1(－a) ＝(－a). 纠错心得 对式子化简时，要注意条件中有无隐含条件，有无偶次方根，被开方数是否符合要求． 知识落实 技法强化 1.根式的定义和性质． 2．分数指数幂的意义． 3．指数幂的运算法则． 1.正确区分()n与两式． 2．指数幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂． (2)化根式为分数指数幂． (3)化小数为分数进行运算． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列各式中一定成立的有(　　) A．7＝n7m　　　　 B．＝ C．＝ D．＝ 解析　7＝n7m-7，A错误； ＝3＝，B正确； ＝，C错误； ＝＝＝，D正确． 答案　BD 2．计算·(－3a-1b)÷的结果为(　　) A．－b2 B．b2 C．－b D．b 解析　原式＝ 答案　A 3．(多选题)下列各式不正确的是(　　) A． B．＝x C． D． 解析　，故A错误；＝x，故B错误； ，故C错误．经计算D正确． 答案　ABC 4．(多选题)下列各式运算错误的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18 解析　对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确，不符合题意； 对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6-3b9-6＝a3b3，故B正确，不符合题意； 对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，错误，符合题意； 对于D，[－(a3)2·(－b2)3]3＝(a6b6)3＝a18b18，错误，符合题意． 答案　CD 5．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝ ． 解析　因为81的平方根为±9，所以a＝±9. 又因为－8的立方根为b， 所以b＝－2. 所以a＋b＝－11或a＋b＝7. 答案　－11或7 6．计算：27－＋－(－2 024)0＝ ． 解析　原式＝－(－3)2＋－1＝9－9＋－1＝－. 答案　－ 7．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝ ，(2α)β＝ ． 解析　利用一元二次方程根与系数的关系， 得α＋β＝－2，αβ＝， 则2α·2β＝2α＋β＝2-2＝，(2α)β＝2αβ＝2. 答案　　2 8．(1)计算：－×； (2)化简：＋(m>0，n>0，且m≠n). 解析　(1)原式＝ ＝3-1×10－·＝3. (2)原式＝＝. [关键能力·综合提升] 9．计算(n∈N＋)的结果为(　　) A．　　　　　　　　　 B．22n+5 C．2n2－2n＋6 D． 解析　原式＝＝ ＝27-2n＝. 答案　D 10．若a2t＝－1，则＝(　　) A．2－2　　　　　　　　 B．＋1 C．2－1 D．2＋1 解析　∵a2t＝－1，∴a-2t＝＝＝＋1， 因此＝＝a2t－1＋a-2t＝－1－1＋＋1＝2－1.故选C． 答案　C 11．已知a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝ ． 解析　＝a2x·a＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9. 答案　9 12．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－(x－x)＝ ． 解析　原式＝(2x)2－(3)2－4x＋4 ＝4x－27－4x＋4＝－23. 答案　－23 13．求下列各式的值． (1)若3a＝2，3b＝5，求32a－b； (2)已知＋b＝1，求的值； (3)若a＝，b＝，求·b·()2； (4)若a＝2.5，b＝20，求·. 解析　(1)32a－b＝(3a)2·3－b＝22×＝. (2)＝＝， ∵＋b＝1，∴＝3. ∵a＝2.5，b＝20， ∴原式＝×20＝＝8＝4. [核心价值·探索创新] 14．若x＞0，y＞0，且x－－2y＝0，求的值． 解析　∵x－－2y＝0，x＞0，y＞0， ∴()2－－2()2＝0， ∴(＋)(－2)＝0， 由x＞0，y＞0得＋＞0， ∴－2＝0，∴x＝4y， ∴＝＝. 15．已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，与a是否相等？证明你的结论． 解析　与a相等，证明如下： 由ab＝ba，知b＝a， 则＝＝＝a-1＝a，即得证． 学科网（北京）股份有限公司 $