第6章 平面向量初步 章末整合提升(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

(一)平面向量的线性运算 1．向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． 2．首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. 3．理解向量的有关概念，如平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，并进行恰当的应用． [题组训练] 1．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ ． 解析　因为λa＋b与a＋2b平行， 所以λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，又a，b不共线， 所以解得 答案　 2．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝ ；y＝ ． 解析　因为＝2，所以＝. 因为＝，所以＝(＋)， 所以＝－＝(＋)－ ＝－. 又＝x＋y， 又，不共线，所以x＝，y＝－. 答案　　－ 3．如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量. 解析　易得＝＝b，＝＝a， 由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a. 由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b. 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基底，所以解得m＝，n＝， 所以＝a＋b. (二)向量的坐标运算 角度1　向量的坐标运算 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 　已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为 ． [解析]　由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)， 得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 则解得故m－n＝－3. [答案]　－3 角度2　向量坐标表示的应用 向量坐标运算的应用可证明三点共线(如O是直线AB外一点，P，A，B三点共线⇔∃x，y∈R，使＝x＋y且x＋y＝1)，也可证明两直线平行等． 　(1)若向量a＝(1，2)，b＝(－3，1).则与2a＋b同向的单位向量e为 ． (2)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． ①求实数λ的值； ②若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； ③已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． [解析]　(1)因为2a＋b＝(2，4)＋(－3，1)＝ (－1，5)，所以|2a＋b|＝＝， 所以与2a＋b同向的单位向量 e＝(2a＋b)＝. (2)①＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2. ∵A，E，C三点共线， ∴存在实数k，使得＝k， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴解得k＝－，λ＝－. ②＝＋＝－3e1－e2 ＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2). ③∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴＝. 设A(x，y)，则＝(3－x，5－y). ∵＝(－7，－2)，∴ 解得即点A的坐标为(10，7). [答案]　(1)　(2)略 (三)向量线性运算的应用 向量在平面几何中的应用，主要有两种方法： (1)基底法：当选择了适当的基底向量后，平面图形中的相应的边就可用基底向量表示出来，这样就把平面几何问题转化为向量问题，利用向量的共线、模、线性运算等来达到解决平面几何问题的目的． (2)坐标法：平面向量用坐标表示可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现． 　(1)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且AM＝AB，AN＝AD，AC，MN交于点P，则的值为 ． (2)如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0，求证：l＝m＝n. [解析]　(1)∵＝，＝， ∴＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ. ∵点M，N，P三点共线． ∴λ＋λ＝1，则λ＝，即＝. (2)证明　设＝a，＝b，令{a，b}为一组基底． 根据已知有＝la，＝mb. ∵＝＋＝－a－b， 则有＝n＝－na－nb. ∴＝＋＝(l－1)a－b， ＝＋＝a＋mb， ＝＋＝－na＋(1－n)b， 又＋＋＝0，∴(l－n)a＋(m－n)b＝0. 根据平面向量基本定理，有l－n＝m－n＝0. 故l＝m＝n. [答案]　(1)　(2)略 向量在物理中的应用 [典例]　小船以大小为10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速大小为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为 km/h. [解析]　如图： 船在静水中的速度大小为|v1|＝10 km/h，河水的流速大小为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度大小为|v0|， 则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2， 得(10)2＋102＝|v0|2， 所以|v0|＝20 km/h， 即小船实际航行速度的大小为20 km/h. [答案]　20 纠错心得 实际问题中的合力、速度、加速度问题均是向量问题，解题时注意应用向量的运算法则与几何意义，避免错误． 平面向量基本定理的应用 [典例]　(13分)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN. [审题指导]　先选定基底{，}，利用已知条件和A，P，M和B，P，N分别共线，由平面向量基本定理，分别求出＝x，＝y，即求线段之比． [规范解答]　设＝e1，＝e2，…………(1分) 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. …………(3分) ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe，…………(4分) ＝μ＝2μe1＋μe. (5分) 故＝＋ ＝－ ＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. …………(6分) 而＝＋＝2e1＋3e2，…………(8分) 由平面向量基本定理， 得解得…………(11分) ∴＝，＝，…………(12分) ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. …………(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $