第6章 平面向量初步 章末达标检测(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

[满分：150分，时间：120分钟] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列等式正确的是(　　) A．－＝ B．＋＝0 C．＋－＝ D．＋＋＝ 解析　起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0，＋－＝－＝才对，故选D． 答案　D 2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12)　　　　　　　　B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析　∵a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12). 答案　A 3．已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式错误的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．＋＝ D．＋DA＝ 解析　由题意，根据向量的加法运算法则，可得＋＝，故A正确； 由＋＋＝＋＝0，故B正确； 根据平行四边形法则，可得＋＝＝，故C正确，D错误． 答案　D 4．设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a－2b，＝3a＋kb(k∈R)，若A，B，C三点共线，则k＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．－2 C．6 D．－6 解析　若A，B，C三点共线，则∥，即满足系数成比例，是＝，解得k＝－6. 答案　D 5．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值为(　　) A．＋1 B．－1 C．3 D．4 解析　设D(x，y)， 则由||＝1，C(3，0)得(x－3)2＋y2＝1. 又∵＋＋＝(x－1，y＋)， ∴|＋＋|＝ . ∴|＋＋|的几何意义是点P(1，－)与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离．由|PC|＝知，|＋＋|的最大值是1＋.故选A． 答案　A 6．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．1 解析　因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，所以BD＝AB cos 60°＝1，所以＝，又O是AD中点，所以＝＝(＋)＝＋×＝＋，而＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 答案　A 7．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1，2)，则(　　) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线 解析　由题意可知－＝λ(－)， 即＝λ，∴A，M，B三点共线．又λ∈(1，2)， ∴||＞||，∴点B在线段AM上． 答案　B 8．在∠A＝90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 解析　以A为原点建立平面直角坐标系， 设B(2，0)，C(0，2)，则F(1，1)，E(1，0)， 所以＝(－2，2)，λ＋μ＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)， 所以所以λ＝－.故选A． 答案　A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列叙述不正确的是(　　) A．若a＝b，则3a＞2b B．若a∥b，则a与b的方向相同或相反 C．若a∥b(b≠0)，b∥c，则a∥c D．与a同方向的单位向量是 解析　对于A，若a＝b＝0时，3a＝2b，若a＝b≠0，3a＞2b也不正确，因为向量只有相等，不能比较大小，正确的表示为若a＝b≠0，则|3a|＞|2b|； 对于B，忽略了零向量，不正确； 对于C，易知是真命题； 对于D，若a＝0时，没有相应的单位向量． 答案　ABD 10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与相等的向量只有一个(不含) B．与的模相等的向量有4个(不含) C．的模为模的倍 D．与不共线 解析　A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确； B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，故B错误； C项 ，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C项正确； D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D项错误． 答案　AC 11．已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析　对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，要使非零向量a，b是共线向量，由共线向量基本定理知成立，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0则不能使a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，＝a，＝b，若AB，CD是梯形的上、下底，则正确；否则错误． 答案　AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若a＝(k，1)，b＝(3，2)，则a∥b，则|2a＋b|＝ ． 解析　因为a＝(k，1)，b＝(3，2)，a∥b，所以2k－3＝0，解得k＝，所以2a＋b＝(6，4)，所以|2a＋b|＝＝2. 答案　2 13．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝，则|a－b|＝ ． 解析　由|a|＝|b|＝4，可知||＝||，从而△OAB是正三角形，故|a－b|＝||＝||＝4. 答案　4 14．已知点P是△ABC所在平面内的一点，设F为AB的中点，若＝＋，且＝λ，则λ＝ ，＝ ． 解析　如图，F为AB的中点，设D为AF的中点，E为AC的中点，因为＝＋， 所以可得＝(＋)＋(＋)， 整理得＋＋2＝0.又＋＝2， 所以＝－，所以λ＝－1，S△APC＝SAPF， 又S△APF＝S△APB，所以＝. 答案　－1　 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，回答下列问题： (1)求3a＋b－2c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. 解析　(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2) ＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6). (2)∵a＝mb＋nc，∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)， ∴解之得 (3)∵(a＋kc)∥(2b－a)， 又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， ∴k＝－. 16．(15分)如图，平行四边形ABCD中，已知＝3，BF＝4，设＝a，＝b. (1)用向量a和b表示向量，； (2)若＝x，＝y，求实数x和y的值． 解析　(1)＝－＝－＝a－b，＝＋＝＋＝a＋b； (2)因为＝＋＝－ ＝y－x＝y－x ＝a＋b＝b， 所以a＋b＝0， 因为a与b不共线， 从而解得 17．(15分)如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，设＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设＝p，＝q，求＋的值． 解析　(1)设＝xa＋yb，则＝－＝(x－1)＋y＝(x－1)a＋yb，＝－＝－a＋b，因为A，M，D三点共线，所以，共线，从而(x－1)＝－y　①， 又C，M，B三点共线，所以，共线， 同理可得(y－1)＝－x　②， 联立①②，解得故＝a＋b. (2)因为＝－＝a＋b－pa＝a＋b. ＝－＝qb－pa.因为，共线， 所以q＝－p，整理得＋＝5. 18．(17分)如图所示，点M是AB边上的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于点F，MH∥AF，且MH交BC于点H.求证：HF＝BH＝FC． 证明　设＝a，＝b， 则＝a＋b， ＝＋＋ ＝－＋2＋2 ＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b， ＝＋＝＋ ＝－＋＋ ＝－b＋＋－ ＝－b＋a＋2－ ＝－b＋a＋2b－b＝a＋b. 综上，＝＝. 故HF＝BH＝FC． 19．(17分)平面内一组基底{，}及任一向量，＝x＋y，若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”，此时x＋y为定值，请证明该结论． 证明　如图，D为直线AB上的点，若＝λ， 那么＝x＋y＝λ＝λ， 从而有＋＝1，即x＋y＝λ， 另一方面，过C点作直线l∥AB，在l上任作一点C′， 连接OC′∩AB＝D′，则＝λ， 以{，}为基底时， ＝x＋y＝λ＝λ， 所以＋＝1，即x＋y＝λ， 综上x＋y＝λ，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $