第六章 专题微课 平面向量的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面向量综合问题核心知识点，系统梳理线性运算（三角形法则、平行四边形法则转化向量）、共线定理应用（结合基本不等式求最值）、最值范围问题（利用重心性质等），构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料通过“思维建模”提炼解题策略，例题解析注重图形观察与逻辑推理，培养数学眼光和思维。针对训练分层设计，课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生巩固方法，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题微课　平面向量的综合问题 题型(一)　平面向量的线性运算 [例1]　在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则= (　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 解析：选B　因为BD=2DA，所以=3，所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. |思|维|建|模| 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. [针对训练] 1.如图，在△ABC中，E是BC边上一点，且BE=3EC，点F为AE的延长线上一点，写出使得=λ+μ成立的λ，μ的一组数据为　　　　.  解析：由题意知=-，而BE=3EC， 故=(-)，则=+=+(-)=+. 又点F为AE的延长线上一点， 故=t(t>1)，可取t=2， 则=2=+， 故使得=λ+μ成立的λ，μ的一组数据为. 答案：(答案不唯一) 题型(二)　共线定理及其应用 [例2]　已知△ABC，点D在线段BC上(不包括端点)，向量=x+y，则+的最小值为 (　　) A.2 B.2+2 C.2+3 D.2+2 解析：选C　在△ABC中，点D在线段BC上(不包括端点)，故存在λ，使得=λ(0<λ<1)，即-=λ-λ，即=λ+.因为向量=x+y，所以y=λ，x=1-λ，可得x+y=1，x>0，y>0.由基本不等式得+=(x+y)=1+2++≥3+2=2+3，当且仅当y=x，即y=2-，x=-1时等号成立.故选C. [针对训练] 2.已知a，b是两个不共线的向量，且向量b+ma，a-3b共线，则实数m的值为 (　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析：选D　由题意，设b+ma=k(a-3b)，即b+ma=ka-3kb， 则解得 3.设向量e1，e2是两个不共线的向量，已知=2e1-e2，=e1+3e2，=2e1-ke2，且B，C，D三点共线，则=　　　　　(用e1，e2表示)；实数k=　　　 　.  解析：因为向量e1，e2是两个不共线的向量，且=2e1-e2，=e1+3e2， 所以=-=-e1+4e2. 又=2e1-ke2， 且B，C，D三点共线， 所以-1×(-k)-4×2=0， 解得k=8. 答案：-e1+4e2　8 题型(三)　向量线性运算中的最值和范围问题 [例3]　若点G是△ABC所在平面内一点，且++=0，H是直线BG上一点，=x+y，则x2+4y2的最小值是 (　　) A.2 B.1 C. D. 解析：选C　设G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 因为++=0， 所以x=，y=. 所以点G是△ABC的重心. 设点D是AC的中点，则=2，B，G，D共线， 如图所示， 有=x+2y. 因为B，H，D三点共线，所以x+2y=1. 所以x2+4y2=x2+(2y)2 ≥=，当且仅当x=2y，即x=，y=时取等号，故x2+4y2的最小值是. |思|维|建|模| 　　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用均值不等式求最值. [针对训练] 4.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||+||=1，设=x+y，则2x+3y的最小值为 (　　) A.48 B.49 C.50 D.51 解析：选B　如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).设M(m，0)，N(0，n)，因为2||+||=1，所以2m+n=1. 因为=x+y=+， 所以x=，y=， 所以2x+3y=+=(2m+n)=25++≥25+24=49，当且仅当=， 即m=，n=时取等号，故选B. 5.在△ABO中，OA=OB=1，∠AOB=，若OC与线段AB交于点P，且满足=λ+μ，||=，则λ+μ的最大值为　　　　　.  解析：∵OC与线段AB交于点P， 设=x(x≥1)， 则x=λ+μ，即=+. 又P，A，B三点共线， ∴+=1，即λ+μ=x. ∵OA=OB=1， ∴当P为AB中点时，||最小，此时x最大. 又∠AOB=，故此时||=， ∴=2，即x=2，即λ+μ的最大值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $