第6章 教考衔接4 巧建系妙解题 向量问题坐标化(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

一、真题展示 (2023·全国乙卷改编)在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F.若＝x＋3y，则x＋y＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 二、真题溯源 [人教B版必修二P179复习题第4题] 在正方形ABCD中，设E为边AB的中点，且＝a，＝b.试用基底{a，b}表示，. 三、类法探究 平面向量是近几年来高考的必考内容，题型以主观题为主，难度以中档题为主，向量具有代数和几何的双重特征，引入向量的坐标，就可以使向量运算代数化，使很多的几何问题转化为代数问题求解． 　(1)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　) A．　　　B．　　　C．3　　　D．2 [解析]　如图，以A为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)， 因为∠DAB＝60°， 所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0). ＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m， 所以＝. [答案]　A (2)如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且＝e1，＝e2，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成λe1＋μe2(λ，μ∈R)的形式，则λ＋μ的最大值和最小值分别为 ． [解析]　以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，连接OM，OP，OH.设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于点N，则△OMN为等腰直角三角形，所以||＝||＝，所以＝＋，此时λ＋μ＝1＋，同理，＝＋，此时λ＋μ＝1＋；＝－－，此时λ＋μ＝－1－；＝－－，此时λ＋μ＝－1－.易知＝e1，此时λ＋μ＝1；＝e2，此时λ＋μ＝1；＝－＝－e1，此时λ＋μ＝－1；＝－＝－e2，此时λ＋μ＝－1.所以λ＋μ的最大值为1＋，最小值为－1－. [答案]　1＋，－1－ 1．巧建系妙解题，常见的建系方法 (1)利用图形中现有的垂直关系 若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系． (2)利用图形中的对称关系 图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限． 2．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．　 [跟踪训练] 1．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则|c－2(2a－3b)|＝ ． 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，易知a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则2a－3b＝(－2，5)，所以c－2(2a－3b)＝(4，－9)，故|c－2(2a－3b)|＝. 答案　 2．在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为 ． 解析　因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， 所以点C，同理点D. 设M的坐标为(x，y)， 则＝(x，y－5)，而＝， 因为A，M，D三点共线，所以与共线， 所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20， 而＝，＝＝， 因为C，M，B三点共线，所以与共线， 所以x－4＝0，即7x－16y＝－20， 由得 所以点M的坐标为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $