5.3.2 事件之间的关系与运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

5．3.2　事件之间的关系与运算 课程标准 素养解读 1.理解事件之间的关系，并能用符号和运算正确地表示 2.能正确区分互斥事件与对立事件 在理解事件关系及运算过程中，发展学生的运算素养和数据分析素养 [情境引入] 　如果我校全校学生为全集，那么高一年级二班的学生和高一年级的所有学生什么关系； 高一年级甲班的所有男生与高一年级乙班的所有女生构成的事件又是什么关系？ [知识梳理] [知识点一]事件的关系　 1．包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B)，如图．例如，在掷骰子的试验中，{出现2点}⊆{出现的点数为偶数}． 1.事件间的关系与集合间的关系一致吗？ 提示：(1)事件间的关系可类比集合与集合之间的关系，可用维恩图直观地表示． (2)不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件． (3)事件A包含于事件A，即A⊆A. 2．相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B，如图． 2.相等事件的含义是什么？ 提示：(1)两个相等的事件总是同时发生，或同时不发生． (2)所谓A＝B，就是指A，B是同一事件． (3)在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义． [知识点二]　事件的运算　 1．并(和)事件 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)，如图．例如，在掷骰子试验中，事件C2＝{出现2点}，C4＝{出现4点}，则C2∪C4＝(出现2点或4点}． 3.并(和)事件的含义是什么？ 提示：(1)事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件，即A∪B＝B∪A. (2)并事件发生有三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生．即A∪B表示事件A，B中至少有一个发生． (3)类似地，可以定义多个事件的和事件．如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生相当于A，B，C中至少有一个发生． 2．交(积)事件 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)． [知识点三]　互斥事件和对立事件　 互斥事件 若A∩B为　不可能事件　，则称事件A与事件B互斥 若　A∩B＝∅　，则A与B互斥 对立事件 若A∩B为　不可能事件　，A∪B为　必然事件　，那么称事件A发生与事件B互为对立事件 若A∩B＝∅，且A∪B＝U，则A与B对立 4.互斥事件与对立事件有什么区别？ 提示：互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定互斥． [知识点四]　互斥事件的概率　 1．互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A＋B)＝　P(A)＋P(B)　. 2．一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)　. 3．P(A)＋P()＝　1　. [预习自测] 1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E＝“向上的点数为1”，事件F＝“向上的点数为5”，事件G＝“向上的点数为1或5”，则有(　　) A．E⊆F　　　　　 B．G⊆F C．E∪F＝G D．E∩F＝G 解析：C　[根据事件之间的关系，知事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F＝G，故选C.] 2．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是(　　) A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 解析：D　[由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．] 3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　) A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 解析：D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间为Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有一件正品为必然事件．] 4．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为　________　；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　________　. 解析：本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，甲、乙两球落入盒子的概率分别为，，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 答案：　 事件的关系及运算 [例1]　如图的电路中，用A表示“信号灯亮”这一事件，用B，C，D分别表示开关Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ闭合，试写出事件A，B，C，D之间的关系． [思路点拨]　根据事件之间的关系的定义进行判断． [解]　事件A表示信号灯亮，根据电路知识，当开关Ⅰ，Ⅱ或者Ⅰ，Ⅲ同时闭合时，A一定发生，即事件BC发生，A一定发生，事件BD发生，A一定发生，因此有BC⊆A，BD⊆A.若事件A发生，则BC，BD至少有一个发生，因此有A⊆(BC∪BD)．又事件BC，BD至少有一个发生必然导致A的发生，因此有(BC∪BD)⊆A，根据相等关系的定义，有A＝BC∪BD. 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件． [变式训练] 1．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的积事件是什么事件？ 解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA＝A. 互斥事件、对立事件的判定 [例2]　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. [思路点拨]　→→→ [解]　(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． (3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． (4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件． 判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析． [变式训练] 2．判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明道理． 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是男生； (4)至少有1名男生和全是女生． 解析：(1)是互斥事件，不是对立事件． 道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件． (2)不可能是互斥事件，从而也不是对立事件． 道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生． (3)不可能是互斥事件，从而也不是对立事件． 道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生． (4)是互斥事件，也是对立事件． 道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．但其并事件是必然事件，所以是对立事件． 　　　利用互斥事件与对立事件的概率 　公式判断互斥事件与对立事件 [例3]　在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法中正确的是(　　) A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件 [思路点拨]　此题考查互斥事件的概率加法公式的应用，解题关键是判断该组事件是不是互斥事件． 解析：D　[由于事件A，B，C，D彼此互斥，且P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以事件A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可用图表示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．] 若两个事件互为对立事件，则这两个事件互为互斥事件，反过来不一定成立．判断两个事件A与B是互斥事件还是对立事件，应首先判断事件A与事件B是否能够同时发生，若不能，则事件A与事件B是互斥事件，再进一步判断事件A与事件B的和事件是否等于全体事件的和，若等于，则事件A与事件B为对立事件，否则不是． [变式训练] 3．从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到次品(一等品、二等品、三等品都属于合格品)”的概率为(　　) A．0.7　 B．0.65　　C．0.3　　D．0.05 解析：D　[设“抽到次品”为事件D，由题意知事件A，B，C，D彼此互斥，且每次试验必有A，B，C，D中的一个事件发生，则P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以P(D)＝1－(0.65＋0.2＋0.1)＝0.05.] 互斥事件的概率 [例4]　如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方片(事件B)的概率是.问： (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？ (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？ [思路点拨]　两互斥事件并的概率等于这两个事件的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；两对立事件的概率的和为1，即P(A)＋P()＝1，故P(A)＝1－P()． [解析]　(1)因为取到红心(事件A)与取到方片(事件B)不能同时发生，所以A与B是互斥事件，且有C＝A∪B.故由互斥事件的概率的加法公式得 P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)因为当取一张牌时，取到红色牌(事件C)与取到黑色牌(事件D)不可能同时发生，所以C与D也是互斥事件．又由于事件C与事件D必有一者发生，即C∪D为必然事件，所以C与D互为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝. 1．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏． 2．常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②先求各事件分别发生的概率，再求其和． 3．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情境中判断各事件之间是否互斥，只有互斥事件才能应用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．如果事件不互斥，那么上述公式就不能使用．另外“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应理解掌握．如直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化． [变式训练] 4．(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，求出现1点或2点的概率； (2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球，设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求这3只球中既有红球又有白球的概率． 解析：(1)抛掷一枚骰子，“出现1点”和“出现2点”不能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故出现1点或2点的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)“3只球中有1只红球，2只白球”和“3只球中有2只红球，1只白球”不能同时发生，故两个事件A与B互斥．又3只球中既有红球又有白球的情形为：1红2白，2红1白，即A或B，故所求的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 对立事件的概率 [例5]　一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为. (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． [思路点拨]　互斥事件，对立事件的概率关系求解． [解析]　记事件A＝{任取1球为红球}，事件B＝{任取1球为黑球}，事件C＝{任取1球是绿球}，显然A、B、C彼此互斥． (1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝. (2)取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件， ∴P＝P()＝1－P(C)＝1－＝. 1．明确对立事件的概率公式适用的条件，即事件A，B互斥，且A，B中必有一个发生，其中一个易求，另一个不易求时，用P(A)＋P(B)＝1即可得解． 2．直接计算符合条件的事件个数较繁琐时，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再由公式求出符合条件的事件的概率． 3．应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复和遗漏．该公式常用于“至多”“至少”型问题的探求． [变式训练] 5．甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为　________　；乙射击一次，不中靶概率为　________　. 解析：由P1满足x2－x＋＝0，得P1＝，又，是方程x2－5x＋6＝0的两根，∴＋＝5，∴＝3，∴P2＝. ∴甲射击一次，不中靶的概率P＝1－P1＝1－＝，乙射击一次，不中靶的概率为1－P2＝1－＝. 答案：　 1．袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个白球与都是白球 B．至少有一个白球与至少有一个红球 C．恰有一个红球与一个白球一个黑球 D．至少有一个红球与红、黑球各一个 答案：C 2．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A＋B)＝0.5，则P(B)等于(　　) A．0.3　　B．0.7　　　C．0.1　　　D．1 解析：A　[∵A，B是互斥事件， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.5， ∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.] 3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7 解析：C　[∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件， ∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.] 4．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是　________　. 解析：记“同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点”的事件为A， 则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B. 则A与B是对立事件， 所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝. 故至少有一个5点或6点的概率为. 答案： 5．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示： 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该射击队员在一次射击中： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 解：记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)， 则事件Ak之间彼此互斥． (1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6. (2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22. 学科网（北京）股份有限公司 $$