第4章 指数函数、对数函数与幂函数 阶段测评(1)(范围4.1)(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

该高中数学单元复习讲义围绕指数函数及其应用，通过题型分类系统梳理集合运算、函数性质等核心知识，用对比表格归纳指数函数与其他函数的图象性质联系，清晰呈现重难点分布和内在逻辑。 讲义亮点在于“问题情境-逻辑推理”的练习设计，如第5题结合分段函数单调性求参数范围培养数学思维，第13题通过函数解析式求解与恒成立问题发展模型观念。基础题巩固概念，综合题提升能力，助力不同层次学生自主复习，为教师精准教学提供有效支持。

阶段测评(一)(范围4.1) (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，则∁UA＝(　　) A．[0，＋∞)　　　　　　　　 B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0] 解析　∵2x－1≥0，∴2x≥1，∴x≥0，A＝{x|x≥0}．所以∁UA＝{x|x＜0}．故选B． 答案　B 2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝和y＝的图象(图略)，由图象可知＞，＜，即a＞c＞b.故选A． 答案　A 3．设f(x)＝，x∈R，则f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析　依题意，得f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)＝＝，该指数函数是单调递减函数．故选D． 答案　D 4．函数y＝(a＞1)的大致图象是(　　) 解析　y＝＝又a＞1，可知只有选项C中图象正确． 答案　C 5．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．[－4，0) B．[－4，－2) C．[－4，＋∞) D．(－∞，－2) 解析　因为f(x)＝ 且f(x)在R上单调递增， 所以 解得－4≤a＜－2， 即a∈[－4，－2). 答案　B 6．函数y＝22x－x2的值域为(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C． D．(0，2] 解析　令t＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， 所以y＝2t(t≤1)， 因为y＝2t在R上单调递增，所以0<2t≤2， 所以函数y＝22x－x2的值域为. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．若函数y＝f(x)对于定义域内同时满足f(x)·f(y)＝f(x＋y)，＝f(x－y)，则称f(x)有“同构性”，下列函数具有“同构性”的为(　　) A．y＝x2 B．y＝3x C．y＝3x D．y＝πx 解析　对于C，f(x)·f(y)＝3x·3y＝3x＋y＝f(x＋y).＝＝3x－y＝f(x－y)，同理，y＝πx也满足． 答案　CD 8．设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a，且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定不成立的是(　　) A．3c≤3b B．3c＞3b C．3c＋3a＞2 D．3c＋3a＜2 解析　f(x)＝|3x－1|的图象如图所示． 由c＜b＜a，得3c＜3b，故B错误；又由f(c)＞f(a)＞f(b)可知，c，b，a不在同一个单调区间上． ∴c＜0，a＞0.∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.∴f(c)＞f(a)，即1－3a＞3c－1，∴3c＋3a＜2，故D正确、C错误． 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．函数f(x)＝2x＋x，x∈[－1，1]的值域为 ． 解析　因为函数f(x)在[－1，1]上是增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－，f(x)max＝f(1)＝3. 答案　 10．已知函数f(x)＝2|x－a|，若f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，则a的值为 ，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ． 解析　由f(x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，f(x)为增函数，当x＜a时，f(x)为减函数．若f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，则a＝1；若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a≤1. 答案　1　(－∞，1] 11．下列说法中，正确的是 (填序号). ①任取x＞0，均有3x＞2x； ②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2； ③y＝()－x是增函数； ④y＝2|x|的最小值为1； ⑤在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称． 解析　任取x＞0，均有3x＞2x，①正确； 当a＞1时，a3＞a2，当0＜a＜1时，a3＜a2，②错误； y＝()－x是减函数，③错误； y＝2|x|的最小值为1，④正确； 在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝的图象关于y轴对称，⑤正确．故正确的是①④⑤. 答案　①④⑤ 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知函数f(x)＝a－(x∈R). (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 解析　(1)因为f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋ ＝. 因为x1<x2，所以2x1－2x2<0. 又(1＋2x1)(1＋2x2)＞0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以不论a为何实数， f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数． (2)因为f(x)在x∈R上为奇函数， 所以f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝. 所以f(x)＝－. 由(1)知，f(x)在x∈R上为增函数， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1). 因为f(1)＝－＝， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 13．(15分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1，6)，B(3，24). (1)求函数f(x)的解析式； (2)若不等式＋－m≥0在区间(－∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)由题意得f(1)＝ab，f(3)＝b·a3， ∴∴f(x)＝3×2x. (2)由(1)可得，不等式＋－m≥0，即＋－m≥0对x∈(－∞，0]恒成立， ∴m≤＋恒成立． 设g(x)＝＋，在(－∞，0]为减函数，∴g(x)min＝g(0)＝＋＝2. ∴m≤2. 14．(15分)已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－. (1)求函数f(x)在(0，1]上的值域； (2)若x∈(0，1]时，函数y＝f2(x)－f(x)＋1的最小值为－2，求实数λ的值． 解析　(1)设x∈(0，1]，则－x∈[－1，0)， 所以f(－x)＝－＝－2x. 又f(x)为奇函数， 所以有f(－x)＝－f(x)， 所以当x∈(0，1]时，f(x)＝－f(－x)＝2x，所以f(x)在(0，1]上的值域为(1，2]. (2)由(1)知当x∈(0，1]时，f(x)∈(1，2]， 所以f(x)∈. 令t＝f(x)，则＜t≤1，g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1＝＋1－， ①当≤，即λ≤1时g(t)＞g，无最小值， ②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g(t)min＝g＝1－＝－2，解得λ＝±2(舍去). ③当＞1，即λ＞2时，g(t)min＝g(1)＝－2，解得λ＝4， 综上所述，λ＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $