第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版】 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【解答过程】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解一元二次不等式得到答案. 【解答过程】由得，解得或， 故选：B. 【变式1.2】（2025高三下·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】由题有转化为求方程的根即可求解. 【解答过程】由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·新疆和田·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【解答过程】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【题型2 解含参的一元二次不等式】 【例2】（24-25高一上·海南海口·期中）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【解答过程】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式：. 【答案】答案见解析 【解题思路】分，，三种情况求解即可. 【解答过程】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式2.3】（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解答过程】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【解答过程】由题意得，，则，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C. 【变式3.1】（25-26高一上·全国·单元测试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】方法一：分、、讨论去绝对值可得答案；方法二：利用绝对值的几何意义求解数形结合可得答案. 【解答过程】方法一：零点分段法 当时，原不等式可以化为，解得； 当时，原不等式可以化为，即，无解； 当时，原不等式可以化为，解得， 综上所述，原不等式的解集为； 方法二：数形结合法 如图，设数轴上与，1对应的点分别为， 那么点之间的点到两点的距离和为2， 因此区间上的数都不是不等式的解． 设在点左侧有一点到两点的距离之和为3，则对应数轴上的． 由，得．设点右侧有一点到两点的距离之和为3， 则对应数轴上的，由，得． 从数轴上可看到，点之间（不包含）的点到的距离之和都小于3， 点的左侧或点的右侧的任何点到的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集为． 故选：D. 【变式3.2】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 【变式3.3】（25-26高一上·山东德州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）先对式子进行配方，然后可解； （2）根据符号法则转化为两组不等式组求解可得； （3）根据绝对值的意义求解即可. 【解答过程】（1）由得，即，解得， 所以不等式的解集为或. （2）因为，所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或. （3），解得， 所以不等式的解集为. 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【解答过程】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【解题思路】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【解答过程】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有 ，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式. 【解答过程】（1）由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； （2）由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式4.3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为，且， 所以恒成立，且的两根为1，2. 故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型5 二次函数的图象分析与判断】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】A 【解题思路】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【解答过程】由题图知抛物线开口向上，所以， 抛物线与轴交点纵坐标为正，所以， 因为，所以， 由韦达定理， 即，，对称轴， 则.所以A错误，B,C正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是.D正确. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一上·江苏苏州·开学考试）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果. 【解答过程】若，则一次函数为增函数， 二次函数的开口向上，故可排除A； 若，则一次函数为减函数， 二次函数的开口向下，故可排除D； 对于选项C，由直线可知，，从而， 而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除C. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据图象结合一元二次方程的性质和函数的平移变换逐项判断即可. 【解答过程】由二次函数图象可知， 开口向下，则，对称轴解得，当时，， 所以，①说法错误； 由函数图象可知当时，，即，②说法错误； 将的函数图象向下平移4个单位得到的图象， 所以有两个相等的实数根，③说法正确； 由函数的对称性可知的两个根为，， 将的函数图象向右平移1个单位得到的图象， 所以方程的两根是，，④说法正确； 综上③④正确， 故选：B. 【题型6 三个“二次”关系的应用】 【例6】（24-25高一上·北京昌平·期中）如图是函数的图象，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【解答过程】由二次函数图象可得：若，则或， 故不等式的解集为或. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一·全国·课后作业）利用函数与不等式的关系． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由题意知，求出，代入解不等式即可； （2）由题意知，代入化简，解不等式即可； 【解答过程】（1）由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，解得， 则不等式 即，解得：或 所以不等式的解集为： （2）由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，即， 则不等式，又， 则，解得：， 所以不等式的解集为：. 【变式6.3】（24-25高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【解答过程】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 模块三 一元二次不等式恒成立、有解问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7】（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【解答过程】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解题思路】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【解答过程】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 【变式7.3】（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【解答过程】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【解答过程】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得； （2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）对任意实数，恒成立， 即，恒成立， 即可得，所以 （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 【变式8.3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【解答过程】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解. 【解答过程】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【解答过程】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 故选：C. 3．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【解答过程】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 4．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【解答过程】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C. 5．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【解答过程】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 6．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【解答过程】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 7．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D. 8．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【解答过程】 如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【解答过程】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB. 10．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【解题思路】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【解答过程】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【解题思路】根据二次函数的图象性质对每个选项进行判断即可. 【解答过程】因为二次函数的图象与轴的一个交点为， 则. 由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将用表示,再化简所求的不等式并求解. 【解答过程】已知不等式的解集为,所以，且方程的两根为， 根据韦达定理，，所以，. 不等式可化为，两边同时除以， 得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为 ． 【答案】0或1 【解题思路】消去整理可得，分和两种情况讨论，分别求出的取值． 【解答过程】由消去整理可得． 当时，解得，此时方程组的解为符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为符合题意． 综上可得或． 故答案为：0或1. 14．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【解答过程】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【解题思路】（1）移项后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解； （2）因式分解后可求不等式的解； （3）先因式分解，再对分类讨论分别得到不等式的解即可． 【解答过程】（1）由得， 即，解得． 故原不等式的解集为． （2）因为， 解得或，所以原不等式的解集为或． （3）不等式可化为， 解方程的根， 得，， 当时，解不等式得或， 当时，解不等式得或， ∴当时，解集为， 当时，解集为． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式. (1)图象经过点，，； (2)当时，函数有最小值5，且经过点. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标先设解析式，代入点求二次函数解析式即可. 【解答过程】（1）设二次函数的解析式为， 把点，和代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵当时，函数有最小值5，∴二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为，则， ∵点在该二次函数图象上，则， 解得：. ∴二次函数的解析式为. 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数 (1)若的两根为 且 求实数m的值； (2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用根与系数关系可得，即可求解； （2）由题意分情况讨论有一个根和二个根，然后列出相应的不等式组，从而可求解. 【解答过程】（1）由题意可得：，， 由， 化简得，解得. 故. （2）当只有一个根，且此根位于区间， 则得，解得， 所以； 当有两个根时，有一个根在区间内，且另一个根位于之外， 则，解得，即； 当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得， 此时，解得另一个根，故此种情况不符题意； 当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得， 此时，解得另一个根，故此种情况符合题意； 综上所述：的取值范围为. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）求出方程的根后可得不等式的解； （2）就、、分类讨论后可得不等式的解； （3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围． 【解答过程】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 19．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数． (1)解关于x的不等式：； (2)当时，恒成立，试确定实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）由原不等式可得 ， 对分三种情况讨论 ，分别利用二次不等式的解法即可得解； （2） 恒成立等价于 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1），即为， 即可得， 令可得或， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为或； （2）因为当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数， 则在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值为， 所以， 故实数的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版】 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1.1】（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2025高三下·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1.3】（24-25高一上·新疆和田·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型2 解含参的一元二次不等式】 【例2】（24-25高一上·海南海口·期中）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式：. 【变式2.3】（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为（　　） A．或 B． C．或 D． 【变式3.1】（25-26高一上·全国·单元测试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【变式3.3】（25-26高一上·山东德州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式4.2】（24-25高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【变式4.3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型5 二次函数的图象分析与判断】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 【变式5.1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【变式5.2】（24-25高一上·江苏苏州·开学考试）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5.3】（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 三个“二次”关系的应用】 【例6】（24-25高一上·北京昌平·期中）如图是函数的图象，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6.1】（24-25高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式6.2】（24-25高一·全国·课后作业）利用函数与不等式的关系． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求不等式的解集． 【变式6.3】（24-25高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 模块三 一元二次不等式恒成立、有解问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7】（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【变式7.2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【变式7.3】（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【变式8.3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 8．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 三、填空题 12．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 13．（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为 ． 14．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 16．（25-26高一上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式. (1)图象经过点，，； (2)当时，函数有最小值5，且经过点. 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数 (1)若的两根为 且 求实数m的值； (2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数． (1)解关于x的不等式：； (2)当时，恒成立，试确定实数m的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $