第23讲 三角恒等变换（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学三角恒等变换核心知识点，模块一从两角差的余弦公式切入，系统构建两角和与差的正弦、余弦、正切公式体系，结合逆用变形及辅助角公式形成知识支架，模块二基于和角公式推导二倍角公式及多种变形，搭建从基础公式到综合应用的递进脉络。 该资料以8大题型为主线，涵盖公式应用、化简求值等，例题与变式题选自各地期末月考真题，助力学生在解题中发展数学思维，提升运算推理能力，课中便于教师分层教学，课后帮助学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用。

第23讲 三角恒等变换 【人教A版】 模块一 两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】 【例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可. 【解答过程】因为都是锐角， 所以， 又， 所以， ， 又， 所以. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解． 【解答过程】 ， 故选：D． 【变式1.2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两角差的正切公式可求得的值. 【解答过程】因为，则. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】根据同角关系以及余弦的和角公式即可求解. 【解答过程】由于，，故， ， 故选：C. 【题型2 利用和（差）角公式化简、求值】 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·期末）计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解题思路】先将换成，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可. 【解答过程】原式 . 故选：A. 【变式2.1】（24-25高三上·北京·开学考试）（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】将转化为，然后利用三角函数的两角和公式展开进行化简计算. 【解答过程】根据三角函数两角和公式，则. 代入原式化简, 将代入原式可得： . 因为，，所以. 则原式变为. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·广东中山·月考）已知，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用同角公式及和角的正弦求解即得. （2）利用差角的正切求解即得. 【解答过程】（1）由，，得，， 所以. （2）由（1）得， 所以. 【变式2.3】（24-25高一上·广西柳州·期末）已知. (1)求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据已知可得，再由商数关系得，最后应用和角正切公式、诱导公式求的值； （2）根据已知得，再由及差角正弦公式求的值. 【解答过程】（1）， ， ； . （2），， ， 由（1）知：，则. 【题型3 两角和与差的三角函数公式的逆用】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解. 【解答过程】 ． 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一下·北京顺义·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逆用差角余弦公式化简求值即可. 【解答过程】由. 故选：D. 【变式3.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逆用两角和的正弦公式得解. 【解答过程】因为， 所以，所以. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【解答过程】 . 故选：B. 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（24-25高一下·辽宁·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由辅助角公式结合正弦函数单调性可判断选项正误； 【解答过程】，因在上单调递减，则 ， 则. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用辅助角公式及和角的正弦公式求解即得. 【解答过程】函数，由，得， 由，得，则，， 所以 . 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【解题思路】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【解答过程】（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 【变式4.3】（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数，其相邻两个对称中心之间的距离为 (1)求实数的值及函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最大值和最小值； (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间是； (2)，； (3) 【解题思路】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）函数的零点问题转化为直线与函数图象的交点个数问题，再结合几何图形求出范围. 【解答过程】（1）依题意，， 显然函数的周期，解得，因此， 由，得， 故单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，， 当，即时，. （3）由（1）知，函数在上单调递增，函数值从0增大到， 在上单调递减，函数值从减小到1， 函数在的图象，如图，    由，得，函数在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个公共点，此时， 所以实数m的取值范围是. 模块二 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型5 利用二倍角公式化简】 【例5】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据同角三角函数的平方关系，商数关系及二倍角公式即可求解． 【解答过程】原式 ， 故选：B． 【变式5.1】（24-25高一下·河南商丘·期中）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二倍角公式及和（差）角公式计算可得. 【解答过程】 ． 故选：B． 【变式5.2】（24-25高一下·四川·期中）化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由二倍角公式可得答案. 【解答过程】由二倍角公式：. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可. 【解答过程】. 故选：B. 【题型6 利用二倍角公式求值】 【例6】（2025·山西·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由二倍角公式可得，据此可得答案. 【解答过程】由，故，. 故选：A． 【变式6.1】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二倍角公式和诱导公式求值. 【解答过程】由二倍角公式得 由诱导公式得 故选：C. 【变式6.2】（2025·云南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将已知条件同时平方，再根据，化简得，再根据正弦二倍角公式即可求得. 【解答过程】已知，两边同时平方得，即， 又，得，即，所以. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【解答过程】由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确. 故选：B. 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式7.1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 【变式7.2】（24-25高一上·广东湛江·期末）证明下列等式： (1) (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证. 【解答过程】（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 【变式7.3】（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例8】（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【解答过程】由 , 所以： . 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【解答过程】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【解答过程】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 【变式8.3】（24-25高一下·浙江金华·月考）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答. 【解答过程】依题意，， 则有，在中，，即， 因此，又，于是得，即， 所以是直角三角形. 故选：A. 一、单选题 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【解答过程】因为， 所以，故． 故选：B. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简求解即可. 【解答过程】由，则 . 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数定义求出和，再由诱导公式结合两角差的正弦公式计算即可. 【解答过程】由题意得，， 则. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倍角公式计算即可. 【解答过程】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据已知求得、，结合差角正弦公式求，注意的范围，即可得. 【解答过程】因为且，则，所以， 又，所以，又， 所以，而 当时，， 因为，则，所以不符合，舍去； 当时，符合， 综上所述，. 故选：B. 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解题思路】利用三角公式得到，求出，即可判断. 【解答过程】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，逆用差角的正切公式求出，再利用二倍角的余弦公式求值. 【解答过程】依题意，， 则，即， 所以当时， . 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏南京·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用二倍角的余弦公式化简判断A，利用两角差的正切公式化简判断B，结合诱导公式，利用两角差的余弦公式求解判断C，通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断D. 【解答过程】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确， 对于B，由两角差的正切公式得，故B正确， 对于C，由题意结合两角差的余弦公式得 ，故C错误， 对于D，由诱导公式得， 可得，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】A将题干中的式子平方即可；B结合的范围和可得为锐角，再利用计算即可；C利用AB选项的结果可计算；D利用两角和差的余弦公式即可. 【解答过程】由题意可得，，则，故A正确； 因，则， 因，则，即，则， 又， 则，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，是的一条对称轴，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．当时，的值域为，则的取值范围为 D．设，在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AC 【解题思路】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出，进而求出，再逐项分析判断即可. 【解答过程】函数，是的一条对称轴，则 ，整理得，解得，A选项正确； 因此， 对于B，当时，，而正弦函数在上递增， 因此在区间上单调递增，B错误； 对于C，当时，的值域为，则当时， ，因此，解得， C正确. 对于D，，在区间上恰有两个零点 ，所以，即得， 当时，，在上单调递减， 则，即得，综上则的取值范围是，D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高一上·重庆长寿·期末） ． 【答案】 【解题思路】利用余弦的和差公式计算. 【解答过程】原式=. 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，，，则 ． 【答案】 【解题思路】由和角正弦公式得，结合已知及平方关系求相关函数值，进而求. 【解答过程】， 因为，所以，， 由，，所以，， 综上，． 故答案为：. 14．（2025高一上·全国·专题练习）已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 【答案】 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正切公式求得正确答案. 【解答过程】∵β为锐角，且，∴，， 故， ∴，， 又， ∴. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【解答过程】（1）因，则. 从而； （2）因，则. 从而. 16．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 【答案】(1) (2),, 【解题思路】（1）由平方关系、商数关系求解即可； （2）由三角恒等变换逐一求解即可. 【解答过程】（1）已知是第二象限角，，则； （2）由题意， , . 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据两角和的正切公式化简，求出； （2）利用和差角公式先化简目标式，再利用两角差的正切公式求解目标式的值. 【解答过程】（1）， ，解得． （2）原式 ． 18．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是． (1)求点的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件求出的正弦、余弦值，即得点的坐标； （2）求出的正弦、余弦值，结合（1）利用两角差的余弦公式计算即可； （3）利用（1）（2）中信息求出，再讨论的范围即可求解． 【解答过程】（1）由题意知，，点，则有，解得， 又为锐角，则． 所以； （2）因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是， 所以， 所以 ； （3）由（1）（2）知， 则， 从而 ， 因为为锐角，，所以，即， 又，因此，所以． 19．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若，，求的值. 【答案】(1)， (2)最大值是2，最小值是 (3) 【解题思路】（1）利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的性质，可得函数在区间上的最大值和最小值； （3）若，可求，进而得出，再由两角差的余弦公式求解. 【解答过程】（1） ， 令，， 解得：，. 所以函数的单调递增区间为，. （2）∵，∴，∴， ∴当，即时，取最大值2； ∴当，即时，取最小值； ∴函数在区间上的最大值是2，最小值是； （3）∵，∴，即， ∵，， ∴， ∴ . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 三角恒等变换 【人教A版】 模块一 两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】 【例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（      ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【题型2 利用和（差）角公式化简、求值】 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·期末）计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 【变式2.1】（24-25高三上·北京·开学考试）（   ） A． B． C． D．2 【变式2.2】（24-25高一下·广东中山·月考）已知，，． (1)求； (2)求的值． 【变式2.3】（24-25高一上·广西柳州·期末）已知. (1)求的值； (2)若且，求的值. 【题型3 两角和与差的三角函数公式的逆用】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·北京顺义·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（24-25高一下·辽宁·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【变式4.3】（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数，其相邻两个对称中心之间的距离为 (1)求实数的值及函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最大值和最小值； (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围. 模块二 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型5 利用二倍角公式化简】 【例5】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·河南商丘·期中）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·四川·期中）化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用二倍角公式求值】 【例6】（2025·山西·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 【变式6.1】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2025·云南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【变式7.1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【变式7.2】（24-25高一上·广东湛江·期末）证明下列等式： (1) (2). 【变式7.3】（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例8】（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式8.1】（24-25高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式8.2】（24-25高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【变式8.3】（24-25高一下·浙江金华·月考）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 一、单选题 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，则（    ） A． B． C． D．或 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏南京·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，是的一条对称轴，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．当时，的值域为，则的取值范围为 D．设，在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高一上·重庆长寿·期末） ． 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，，，则 ． 14．（2025高一上·全国·专题练习）已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 16．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 18．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是． (1)求点的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 19．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若，，求的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $