平面向量与三角形的“四心”讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量与三角形的“四心”

　　在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.

 

一、平面向量与三角形的重心

设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：

①＋＋＝0；

②＝（＋＋）；

③动点P满足＝λ（＋）或＝＋λ（＋），λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的重心.

 

【例1】已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的              （　　）

A.外心　　　　　　　　B.内心

C.垂心 D.重心

解析　因为动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），所以＝λ（＋），取BC中点D（图略），则＝2λ，则动点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D.

答案　D

 

【变式】在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝　　　　. 

解析：设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝（＋）＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－.

答案：－

 

二、平面向量与三角形的垂心

设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：

①·＝·＝·；

②｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2；

③动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的垂心.

 

【例2】　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足＝＋λ（λ≥0），则动点P的轨迹一定通过△ABC的              （　　）

A.重心 B.外心

C.垂心 D.内心

解析　－＝λ，＝λ，·＝λ＝λ＝λ（－｜｜＋｜｜）＝0，所以⊥，动点P在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，故选C.

答案　C

 

【变式】P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的 （　　）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

解析：D　由·＝·，得·－·＝0，即·（－）＝0，即·＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.

 

三、平面向量与三角形的内心

设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：

①｜｜＋｜｜＋｜｜＝0（或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；

②动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的内心.