第二章 圆锥曲线（高效培优单元测试·强化卷）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 2．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（   ） A．3 B． C． D． 3．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 6．已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 7．已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 10．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的准线方程 ． 13．双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 ． 14．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程． 16．(15分) 已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 17.（15分） 已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，记的左顶点为，证明：. 18．（17分） 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 19．（17分） 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. (1)求抛物线E的方程； (2)设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 2．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为， 点到坐标原点的距离为. 故选：B. 3．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知点的横坐标为，代入得， 又， 所以的面积为. 故选：B 5．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 6．已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】设与轴的交点为，易知轴． 设点，．如图，由于四边形为菱形，，所以，所以．不妨设，则，解得． 在中，，所以菱形的周长为． 故选：D 7．已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线左焦点为，连接，因为，，所以三点共线，A、B分别在双曲线两支上，且，，根据双曲线的定义可知，，，在和中，由余弦定理可得， ， 又，整理化简可得，所以， 故选：D．    8．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 10．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 【答案】ABD 【详解】不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过两点，则由题意有，解得， 显然有满足题意的双曲线的标准方程为. 在双曲线中，，则，故A正确. 双曲线的渐近线方程为，故B正确.， 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧，且其斜率1大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线的右支有两个交点，故C错误. 画图可得，过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点，    其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 故选：ABD. 11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 【答案】ACD 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点，    设直线AB的方程为， 将直线AB的方程代入中，得， 所以由韦达定理得，，所以，故选项A正确； 若点关于x轴的对称点在直线上，则， 所以，即，不一定成立，故不合题意，选项B错误； 直线与相交于点，所以直线OD的斜率为， 又直线OA的斜率为，所以，所以A，O，D三点共线，故选项C正确； 直线与间的距离， 当时，d取最小值4，故选项D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的准线方程 ． 【答案】 【详解】由抛物线标准方程可得：准线方程为. 13．双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义及已知可得，即可得. 【详解】由题设，双曲线参数，又， 则，所以. 14．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，根据椭圆的对称性知点在直线上，可得， 因为焦点在正方形的内部，所以， 即， 即，可得， 又，所以， 所以， 又，解得．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程． 【详解】（1）因为长轴长等于，离心率等于， 所以，，， 又因为焦点在轴上， 所以椭圆标准方程.(6分) （2）设双曲线方程为， 代入点，得， 双曲线方程为．（13分） 16．(15分) 已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【详解】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为.(5分) （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则，（8分） 由于，又， 则，（12分） 整理得到，解得， 又时，，所以满足题意.（15分） 17.（15分） 已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，记的左顶点为，证明：. 【详解】（1）由，可得，即， 则， 所以的方程为.（5分） （2）如图： 由题意知，的斜率不为0， 可设的方程为，，. 由可得， 则，，.（10分） 由题意知，则，， ，(14分) 所以.（15分） 18．（17分） 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为.(4分) （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以，（7分） 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1.（11分） （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，.（13分） 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1.（17分） 19．（17分） 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. (1)求抛物线E的方程； (2)设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，， 又因为在抛物线上，所以，即， 消去，可得，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设，，直线AB方程为，联立，消得，则，， 直线AP：，令，得纵坐标；同理纵坐标， 因是MN中点，，即，化简得，将，代入，得，即， 直线AB方程为，当时，，故直线AB过定点. （ii）设直线AB：，联立，得， 由韦达定理，，， 弦长， 根据点到直线的距离公式可知，点到直线AB距离为， 由可得，，即，化简得， 因式分解得，因，得， 所以直线AB方程为. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $