精品解析：2021年广东省梅州市兴宁市九年级中考数学模拟试卷

2021年九年级中考数学模拟试卷 （考试时长90分钟，满分120，请把答案写在答题卷上） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 5，4 D. 5，5 3. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若正多边形的内角和是720°，则该正多边形的一个外角为（ ） A. 20° B. 30° C. 45 D. 60° 5. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ） A. 11 B. 17 C. 18 D. 16 7. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线（）过点，，则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板最长的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④当x＜1时，y＜0．其中正确的命题是（　　） A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①③④ 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 分解因式：_________． 12. 若与是同类项，则______ 13. 已知，则的值为__________． 14. 如图，经过点B（﹣4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx相交于点A（﹣2，﹣4），则关于x不等式mx＜kx+b＜0的解集为______． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：在上分别截取使分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点③作射线交于点，则_______． 16. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=．现以点D为圆心，DA长为半径的弧，与以AB为直径的半圆相交于点E，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AD＝，AB＝8，点E，F分别在边AB，AD上，△AEF与△GEF关于直线EF对称，点A的对称点G落在边DC上，则BE长的最大值为_________ ． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 20. 某校开展了“创建文明校园”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图． （1）本次随机调查的学生人数是_____人； （2）请你补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“A”所在扇形的圆心角等于_____度； （4）小明和小华两名同学准备从中各自随机参加一个主题活动，请用画树状图或列表的方式，求他们恰好同时选中“文明礼仪”或“生态环境”主题的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，已知菱形ABCD的周长是48cm， AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C． （1）求∠C的度数； （2）已知DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根，求该方程的另一个根． 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB＝∠BAE＝45°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AB＝AD，AC＝，tan∠ADC＝3，求CD的长． 23. 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． （1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； （2）医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数（x＞0）的图像经过点F，交AB于点G． （1）填空：k的值等于______； （2）连接FG，图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由； （3）在线段OA上是否存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出OP的长． 25. 如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标； （3）若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年九年级中考数学模拟试卷 （考试时长90分钟，满分120，请把答案写在答题卷上） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】相反数的定义：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数为符号相反且绝对值相同是解题关键． 2. 某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 5，4 D. 5，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 【详解】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5， 这组数据的中位数为4；众数为5． 故选：B． 3. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限. 根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围. 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得：． 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选B． 4. 若正多边形的内角和是720°，则该正多边形的一个外角为（ ） A. 20° B. 30° C. 45 D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出正多边形的边数，再根据正多边形内外角互为邻补角即可求出一个外角的度数． 【详解】解：设这个正多边形有n条边， 由题意得， 解得n=6， ∴每个内角的度数是． 故选：D 【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，熟知正多边形的内角和公式并据此求出边数是解题关键． 5. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可． 【详解】解:若使函数y＝有意义， ∴3−x≥0，即x≤3． 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 6. 如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ） A. 11 B. 17 C. 18 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴， ∵点E为AC的中点， ∴， ∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 7. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选：C． 8. 如图，直线（）过点，，则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】所求不等式的解集，即为函数y=ax+b图象在x轴上方部分的横坐标即可． 【详解】解：∵直线经过点A（0，5）和B（-3，0）， ∴当x＞-3时，直线在x轴上方， ∴ax+b＞0， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．注意掌握从函数的角度看，就是求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9. 如图，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板最长的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边． 【详解】过点C作CD⊥AD， ∴CD=3， 在直角三角形ADC中， ∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×2=4， 又∵三角板是有45°角的三角板， ∴AB=AC=4， ∴BC2=AB2+AC2=42+42=32， ∴BC=， 故选D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30度角的直角三角形. 10. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④当x＜1时，y＜0．其中正确的命题是（　　） A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用x=1时，y=0可对①进行判断；利用对称轴方程可对②进行判断；利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；利用抛物线在x轴下方对应的自变量的范围可对④进行判断． 【详解】∵x＝1时，y＝0， ∴a+b+c＝0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确； 当﹣3＜x＜1时，y＜0，所以④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质及对称性，掌握二次函数的性质及其与一元二次方程的关系是关键． 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 分解因式：_________． 【答案】4(2x+1)(2x-1)． 【解析】 【分析】 首先提取公因式，再根据平方差公式分解． 【详解】解：原式=4（4x2-1） =4（2x+1）（2x-1）， 故答案为4（2x+1）（2x-1）． 【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握各种因式分解的方法并灵活运用是解题关键． 12. 若与是同类项，则______ 【答案】-1 【解析】 【分析】首先根据同类项的概念求出的值，然后代入计算即可得出答案． 【详解】∵与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握同类项的概念是关键． 13. 已知，则的值为__________． 【答案】-5． 【解析】 【分析】把已知等式变形，整体代入即可． 【详解】解：由，得， ， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了求代数式的值，解题关键是利用等式的性质把已知变形，整体代入求值． 14. 如图，经过点B（﹣4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx相交于点A（﹣2，﹣4），则关于x不等式mx＜kx+b＜0的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由mx＜kx+b，可得函数图像上的点在函数的图像上的点的上方，由 kx+b＜0，函数图像上的点在轴的下方，再结合与函数图像可得答案． 【详解】解： mx＜kx+b， 函数图像上的点在函数的图像上的点的上方， 结合图像可得：＜ kx+b＜0， 函数图像上的点在轴的下方， 结合函数图像可得：＞ 从而可得关于x不等式mx＜kx+b＜0的解集为 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的图像与不等式组的联系，掌握利用图像法求不等式组的解集是解题的关键． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：在上分别截取使分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点③作射线交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求BC=6，作，由作图知平分，依据知，再证得可知BE=2，设，则，在中得，解之可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 由作图知平分， ， ， ，， ， ， ∴， ∵在中，， ， 设，则 在中 ∴，解得：， 即， 故选：． 【点睛】本题综合考查了角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理构建方程求解是解题关键． 16. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=．现以点D为圆心，DA长为半径的弧，与以AB为直径的半圆相交于点E，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】取AB的中点O，连接OE、DE、AE、OD，利用勾股定理求得DO，利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ADO=，根据即可求解． 【详解】取AB的中点O，连接OE、DE、AE、OD， 则OE=OA=，DE=DA=， DO=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=， 在Rt△ODA中，OA，DO， ∴∠ADO=，∠AOD=， 则∠ADE=2∠ADO =，∠AOE=2∠AOD =， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AD＝，AB＝8，点E，F分别在边AB，AD上，△AEF与△GEF关于直线EF对称，点A的对称点G落在边DC上，则BE长的最大值为_________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作DM⊥AB于M，求BE长的最大值，就是求AE长的最小值，而AE长的最小值，就是求GE长的最小值，GE长的最小值就是DC与AB的距离，即可求解． 【详解】过点D作DM⊥AB于M，则∠AMD= 90°，如图： ∵平行四边形ABCD中，∠ABC= 120° ， AD//BC， ∠DAB= 180°-∠ABC= 180°- 120°= 60° 在Rt△ADM中，AD= 4， ∴AM=2, ∴DM =6 ∵AB= 8， ∴当AE最短时，BE的长有最大值， ∵△AEF与△GEF关于直线EF对称， ∴GE= AE，. ∴当GE最短时，BE的长有最大值， ． ∵DC//AB， ∴当GE= DM = 6时，GE最短，BE的长有最大值， 最大值为：AB- AE= AB- GE=8-6= 2． ∴BE长的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、特殊角的三角函数数值、翻折变换、勾股定理，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号内的代数式，然后化除法为乘法进行化简，然后代入求值． 【详解】 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值．注意先把代数式化简，然后再代入求值． 19. 如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 20. 某校开展了“创建文明校园”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图． （1）本次随机调查的学生人数是_____人； （2）请你补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“A”所在扇形的圆心角等于_____度； （4）小明和小华两名同学准备从中各自随机参加一个主题活动，请用画树状图或列表的方式，求他们恰好同时选中“文明礼仪”或“生态环境”主题的概率． 【答案】（1）50 （2）补图见解析 （3）72 （4） 【解析】 【分析】（1）用“B”的频数除以所占比例即可得出答案； （2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可； （3）用360°乘以“A”所占的比例即可； （4）画出树状图，由概率公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：总人数（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：C组人数（人）， 补充条形图如图所示： ； 【小问3详解】 解：A组的圆心角． 故答案为：72； 【小问4详解】 解：画树状图如图所示：共有16个等可能的结果 小明和小华恰好选中A或B的结果有2个， ∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，已知菱形ABCD的周长是48cm， AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C． （1）求∠C的度数； （2）已知DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根，求该方程的另一个根． 【答案】（1）∠C＝600；（2）该方程的另一个根为－1. 【解析】 【分析】（1）根据∠EAF＝2∠C和四边形的内角和即可求解； （2）根据含30°的直角三角形求出DF的长，设方程的另外一个根为x1，根据根与系数的关系即可求解. 【详解】（1）解：∵AE⊥BC，AF⊥CD ∴∠F＝∠E＝900 在四边形AECF中， ∠C＋∠FAE＝180° ∵∠EAF＝2∠C ∴∠C＝60° （2）∵菱形ABCD的周长是48cm ∴AD＝12 cm ∠ADC＝1200 ∴∠ADF＝600 在Rt△ADF中，∠DAF＝300 ∴DF＝AD＝6cm DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根 设方程的另外一个根为x1 根据根与系数的关系得：x1＋6＝5 ∴x1＝－1 该方程的另一个根为－1 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知四边形的内角和、一元二次方程根与系数的关系. 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB＝∠BAE＝45°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AB＝AD，AC＝，tan∠ADC＝3，求CD的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB＝90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA＝45°，求出∠OAE＝∠OAB＋∠BAE＝90°，即可得出结论； （2）作AF⊥CD于F，证出，由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD＝45°，由三角函数求出AF＝CF＝AC•sin∠ACF＝2，DF＝，即可得出CD的长． 【详解】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示： ∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∵∠BAE＝45°， ∴∠OAE＝∠OAB＋∠BAE＝90°， ∴AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：作AF⊥CD于F，如图2所示： ∵AB＝AD， ∴， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝∠AFD＝90°， ∵AC＝2， ∴在Rt△AFC中，AF＝CF＝AC•sin∠ACF＝2×＝2， ∵在Rt△AFD中，tan∠ADC＝＝3， ∴DF＝， ∴CD＝CF＋DF＝2＋＝． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定，由三角函数求出AF和DF是解决问题（2）的关键． 23. 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． （1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； （2）医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 【答案】（1）购买一台A器材需要15万元，购买一台B器材需要5万元 （2）最多购买A器材65台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元，再结合花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先设购买A器材y台，则购买B器材台，结合购买A、B器材的总费用不高于1050万元，进行列不等式，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元， 依题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元． 【小问2详解】 解：设购买A器材y台，则购买B器材台， 依题意，得：． 解得． ∴y的最大值为65． 答：最多购买A器材65台． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数（x＞0）的图像经过点F，交AB于点G． （1）填空：k的值等于______； （2）连接FG，图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由； （3）在线段OA上是否存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出OP的长． 【答案】（1）2 （2）△OAB∽△BFG，理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）证明△COF∽△AOB，则，求得点F的坐标为（1，2），即可求解； （2）△COF∽△BFG． 证△OAB∽△BFG，，，即可求解； （3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2）， ∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°， OC＝AB＝2，OA＝BC＝4， ∵△ODE是△OAB旋转得到的， 即：△ODE≌△OAB， ∴∠COF＝∠AOB， ∴△COF∽△AOB， ， ∴， ∴CF＝1， ∴点F的坐标为（1，2）， ∵y＝（x＞0）的图象经过点F， ∴2＝，得k＝2， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：△OAB∽△BFG； 证明：∵点G在AB上， ∴点G的横坐标为4， 对于y＝，当x＝4，得y＝， ∴点G的坐标为（4，）， ∴AG＝， ∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2， ∴BF＝BC﹣CF＝3， BG＝AB﹣AG＝， ∴， ， ∴， ∵∠OAB＝∠FBG＝90°， ∴△OAB∽△FBG； 【小问3详解】 解：设点P（m，0），而点F（1，2），点G（4，）， 则FG2＝9+＝，PF2＝+4， ＝， 当GF＝PF时， ＝+4， 解得，m＝ 或（舍去负值）， 当PF＝PG时，+4＝， 解得：m＝； 当GF＝PG时， ＝， 解得：m＝4﹣或4+（舍去）； 综上，OP的长为或或． 【点睛】本题考查的是反函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 25. 如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标； （3）若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）当， 有最大值，且最大值为，点； （3）以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式、二次函数与线段及特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． （1）将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可求解； （3）由题意得，；若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则；设，则，根据即可求解； 【小问1详解】 解：将代入得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则， ∴ ； ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； 此时，即点； 【小问3详解】 解：∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与直线相交于点B， ∴， ∵， 若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， 解得：（舍）， ∴或或， ∴点E的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $