重难点16 坐标法与极化恒等式、等和（高）线定理在平面向量中的应用（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点16 坐标法与极化恒等式、等和（高）线定理在平面向量中的应用 【全国通用】 【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】 4 【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】 6 【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】 7 【题型4 利用极化恒等式求值】 9 【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】 11 【题型6 等和线解决系数和问题】 15 【题型7 等和线解决其他系数问题】 18 1、坐标法、极化恒等式与等和（高）线定理 坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. 极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用. 知识点1 坐标法解决平面向量问题 1．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=()，=()等价于=，=，所以+=()+()= ，即+=().同理可得-=(). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=，则==，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=()，=()等价于=，=，所以·=()·()= .又=1，=1，==0，所以·=. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=()，=()，其中≠0.向量， (≠0)共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=()，=()，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设=()，=()，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 知识点2 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点3 等和(高)线定理 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】 【例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果. 【解答过程】由，， 则. 故选：A. 【变式1-1】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【解答过程】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A. 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则等于（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】根据向量平行的坐标条件列出关于的方程，结合求解即可. 【解答过程】因为，所以，即， 因为，解得． 故选：D. 【变式1-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可； 【解答过程】    由图可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设每个小正方形的边长为1， ， 所以， 因为，即， 所以， 所以. 故选：A. 【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】 【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的数量积坐标公式计算得出，最后应用模长公式计算求解. 【解答过程】因为，所以，所以.   故选：C. 【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）已知为单位向量，，若，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解. 【解答过程】依题意，，由，得，解得， 则，而，解得， 所以与的夹角为. 故选：B. 【变式2-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知向量，，若向量满足且，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设向量的坐标为，运用向量坐标运算，联立即可求解. 【解答过程】设，根据题意有： ， 解方程组得： ， 因此. 故选：A. 【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·三模）在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建系，设，标相关点，根据向量的坐标运算求解即可. 【解答过程】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】 【例3】（2025·湖北武汉·三模）在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】由已知，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【解答过程】由题设知，且，则， 所以，即 . 故选：C. 【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 【变式3-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 【变式3-3】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【解答过程】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 【题型4 利用极化恒等式求值】 【例4】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【解答过程】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得 ． 故选：A． 【变式4-1】（2024·四川绵阳·三模）如图，在△中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可. 【解答过程】因为， 故 . 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（    ）    A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件转化向量，再结合向量的运算律，即可求解. 【解答过程】由题可知，，， .    故选：D. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （2）设，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于 的方程组，解出 ，再根据“极化恒等式”计算出的值. 【解答过程】（1）； （2）由题意，， ，由（1）知，即 ①， ，同理可得，即 ②， 由①②解得：， . 【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】 【例5】（24-25高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解. 【解答过程】由题， 所以由点P在斜边BC的中线AD上得， 故 ， 故选：A. 【变式5-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答. 【解答过程】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且， 所以. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可得解． 【解答过程】解：设为外接圆的圆心， 因为，所以， 当弦的长度最短时，， 在中，由正弦定理知，外接圆半径，即， 所以， 因为，即， 所以， 因为点为线段上的动点， 所以当点与点重合时，； 当点与点重合时，， 在中，由余弦定理知， ， 所以， 综上，， 所以．    故选：D． 【变式5-3】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【解答过程】（1）. 由极化恒等式可得：. （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 【题型6 等和线解决系数和问题】 【例6】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得 ，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【解答过程】设且，则 ， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】由题意可得，从而可得，再由三点共线，即可得答案. 【解答过程】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·山东济南·阶段练习）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【解答过程】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，分别得到和，联立方程组，求得，进而求得的值，即可求解. 【解答过程】设， 由 ， 又由， 所以，解得，可得， 因为，所以，所以. 故选：D. 【题型7 等和线解决其他系数问题】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【解题思路】由得，进而，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】由四边形为平行四边形，为的中点，知，且， 所以，则． 因为， 所以，，所以． 故选：C． 【变式7-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案. 【解答过程】因为在正方形中，为的中点，为的中点， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式7-2】（2025·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】， 由三点共线可得，且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 【变式7-3】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，利用向量的线性运算用表示，再代入求出范围即得. 【解答过程】由点在射线（不含点）上，设，又，    则，于是， 因此， 所以的取值范围是.   故选：B. 一、单选题 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量垂直的坐标关系求出，再结合向量的坐标运算和模长公式求解. 【解答过程】由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）在中，，为中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案. 【解答过程】由题意可作图如下： 则，，由为的中点，则， . 故选：A. 3．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解. 【解答过程】， . . . . . . 故选：C. 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算可得，计算即可求解. 【解答过程】由题意可得，， 因为为的中点， 所以， 则，所以. 故选：A. 5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】C 【解题思路】根据向量减法的坐标运算求出，再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标运算求出，再根据数量积是否为0判断B；根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向量的计算公式判断D. 【解答过程】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，， 在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：C. 6．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【解答过程】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【解题思路】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【解答过程】由题设，，， . 故选：D. 8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求的值即可. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，， 则， 设，由得，， 所以 所以，所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解题思路】利用平面向量模长公式、两向量垂直条件、两向量夹角计算公式、投影向量计算公式逐项分析. 【解答过程】对于A，，则，A错误； 对于B，因， 则，，B正确； 对于C，因，， 则与夹角的余弦值为，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，，为所在平面上一点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解题思路】对A，B，对变形可得，结合已知条件即可求解；对C，D，结合已知条件，首先利用数量积公式求出和的值，再利用得到关于和的两个关系式，进而即可求解； 【解答过程】对于A，B，因为，则， 所以， 若，则， 由题易知点不在上，即不共线， ，解得，故A错误，B正确； 对于C，D，若，则是的外心， 故， 同理，可得， 由，知， ，即， 又，可得， 联立，解得，， 所以，，故C正确，D错误. 故选：BC. 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形中，，，，，其中，，，则（   ） A．是定值 B．若，则 C． D． 【答案】BCD 【解题思路】举例可说明不是定值，当时，由可确定的值，再利用向量的线性运算可求，设线段的中点，则，再利用基本不等式可确定C，由即可确定D. 【解答过程】当时，与重合，，当时，，与重合， ，故A错误； 当时，，而，故， 则 ，故正确； 取线段的中点，因为，故点在以为圆心、为半径的圆上,与分别交于，且在矩形内（含边上位置）， ，， 当点在处时，取得最大值， ，故正确； ，故正确. 故选：. 三、填空题 12．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知平面向量，，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用向量坐标运算求出，再利用坐标求出向量的模. 【解答过程】由向量，，得， 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在中，为中线，，则等于 . 【答案】8 【解题思路】根据题意结合数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】因为为中线，，则， 可得. 故答案为：8. 14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 【答案】 【解题思路】首先用将向量表述出来，然后化简原等式，从而可求出的值，从而得到答案. 【解答过程】， 而，所以，解得. 所以. 故答案为：1. 四、解答题 15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量，，且． (1)求x的值； (2)求向量与的夹角； (3)求向量在方向上的投影向量的模． 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案. （2）根据向量的夹角公式求解即可. （3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案. 【解答过程】（1）已知非零向量，，故， 而，故，解得或， 由于为非零向量，故，故； （2）结合（1）可知，，则， 故， 故向量与的夹角为； （3）向量在方向上的投影向量为，， 故向量在方向上的投影向量的模为. 16．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知向量，. (1)若，求x的值； (2)若向量，，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求，再由关系结合向量垂直的坐标表示列方程可求， （2）先求，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求，根据向量夹角公式求结论. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以x的值为， （2）因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以，又， 所以，，， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 17．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给的条件列式即可； （2）先设出点坐标，利用和条件列式并联立即可求解. 【解答过程】（1）由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则， ，、，又D为AC边上的中点，， 当时，E为BC边上的中点，，即、、， 又，，即，解得， . （2）设，则，又，，， 、，又，，即，解得， ，解得. 18．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【解题思路】（1）根据图形用表示出，即可得参数值； （2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围. 【解答过程】（1）由 ， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以 ， 所以. 19．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由极化恒等式即可求解； （2）由极化恒等式即可求解； （3）连接，根据三角形模式可得，即可求解. 【解答过程】（1）如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. （2）如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. （3）如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点16 坐标法与极化恒等式、等和（高）线定理在平面向量中的应用 【全国通用】 【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】 4 【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】 5 【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】 5 【题型4 利用极化恒等式求值】 5 【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】 7 【题型6 等和线解决系数和问题】 8 【题型7 等和线解决其他系数问题】 9 1、坐标法、极化恒等式与等和（高）线定理 坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. 极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用. 知识点1 坐标法解决平面向量问题 1．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=()，=()等价于=，=，所以+=()+()= ，即+=().同理可得-=(). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=，则==，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=()，=()等价于=，=，所以·=()·()= .又=1，=1，==0，所以·=. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=()，=()，其中≠0.向量， (≠0)共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=()，=()，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设=()，=()，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 知识点2 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点3 等和(高)线定理 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】 【例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则等于（    ） A． B． C．1 D．3 【变式1-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】 【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）已知为单位向量，，若，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式2-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知向量，，若向量满足且，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·三模）在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】 【例3】（2025·湖北武汉·三模）在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【题型4 利用极化恒等式求值】 【例4】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【变式4-1】（2024·四川绵阳·三模）如图，在△中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（    ）    A．1 B．3 C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】 【例5】（24-25高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【题型6 等和线解决系数和问题】 【例6】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-1】（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【变式6-2】（24-25高一下·山东济南·阶段练习）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 【题型7 等和线解决其他系数问题】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【变式7-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）在中，，为中点，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 6．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，，为所在平面上一点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形中，，，，，其中，，，则（   ） A．是定值 B．若，则 C． D． 三、填空题 12．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知平面向量，，若，则 ． 13．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在中，为中线，，则等于 . 14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 四、解答题 15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量，，且． (1)求x的值； (2)求向量与的夹角； (3)求向量在方向上的投影向量的模． 16．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知向量，. (1)若，求x的值； (2)若向量，，求与的夹角的余弦值. 17．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 18．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 19．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $