精品解析：四川省眉山市东坡区苏洵初级中学2025年数学中考模拟检测9

苏洵初级中学数学中考模拟检测9 一．选择题（共12小题，共48分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的医生技能比赛活动，决赛中7名医生的成绩（单位：分）分别为：93，85，88，93，92，93，92，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 93，93 B. 92，93 C. 92，92 D. 93，92 5. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个角都相等 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 6. 关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A 3 B. C. 2 D. 7. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交、于点D和点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 电影《志愿军：雄兵出击》于年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达万元，设平均每天票房的增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 10. 小元设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则二次函数的最值为（　　） A. -1 B. 1 C. 4 D. 9 11. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题，共24分） 13. 因式分解：__________． 14. 如果、是一元二次方程的两个实数根，则______________． 15. 某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为___________米．（保留根号） 16. 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，连接EF交对角线AC于点M，连接BM．若∠BAD=120°，AE=2，则BM的长为______． 17. 已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示________． 18. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________． 三．解答题（共8小题，共78分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：并求所有整数解的和． 21. 为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）张老师调查的学生人数是_____，其中选择“泥塑”选修课在的扇形统计图中圆心角的度数为_____； （2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数； （3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑，张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表方法，求所选2人都是选修书画的概率． 22. 如图，在中，，D，O两点分别在边上，过C，D两点的与相交于点E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 第九届亚洲冬季运动会于年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜元，某商场用元购进“滨滨”的数量是用元购进“妮妮”数量的倍． （1）求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？ （2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共个，要求购进的总费用不超过元，出售时，“滨滨”单价为元，“妮妮”单价为元，当购进“妮妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 25. 已知正方形和正方形． （1）如图1，当正方形在正方形外部时，连接，．求证：； （2）如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，连接，若点O是的中点，连接，请直接写出的值． 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏洵初级中学数学中考模拟检测9 一．选择题（共12小题，共48分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的判断， 根据定义解答，即无限不循环小数是无理数． 【详解】解：是有理数，是无理数． 故选：D． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方和同底数幂乘法法则求解判断即可． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的医生技能比赛活动，决赛中7名医生的成绩（单位：分）分别为：93，85，88，93，92，93，92，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 93，93 B. 92，93 C. 92，92 D. 93，92 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义，即可求解． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为85，88，92，92，93， 93， 93， ∵最中间的数是92， ∴这组数据的中位数为92， ∵93出现3次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为93． 故选：B 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的定义，熟练掌握将一组数据按从大到小（或从小到大）的顺序排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数就是这组数据的平均数；一组数据中出现次数最多的数就是这组数据的众数是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个角都相等 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质与判定，解题的关键是准确掌握菱形和矩形的相关性质及判定定理． 依次分析每个选项，根据菱形和矩形的性质及判定定理判断其正确性． 【详解】A、菱形的性质是四条边相等，对角相等，而不是四个角都相等，不符合题意； B、矩形的对角线相等，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：B． 6. 关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出分式方程的根x=m-1，分式方程的增根为x=2，所以m-1=2，求得m的值． 【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得：m-3=x-2， 解得：x=m-1， ∵方程有增根， ∴x-2=0， ∴x=2， ∴m-1=2， ∴m=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意得到关于m的方程是解题的关键． 7. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交、于点D和点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等．由尺规作图痕迹可知，是线段的垂直平分线，进而得到，，再由得到，进而得到，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 电影《志愿军：雄兵出击》于年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达万元，设平均每天票房的增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一天为：万元， 第二天为：万元， 第三天为：万元， 三天累计为： 故选：C． 9. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 10. 小元设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则二次函数的最值为（　　） A. -1 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据放入实数对得到列式计算即可求出a值，从而求出二次函数的最值． 【详解】解：∵将实数对放入其中，得到实数， ∴， 解得：， ∴， ∴最值为， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，二次函数的最值，准确计算是解题的关键． 11. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算等知识，数形结合是解题的关键．根据勾股定理得到，根据内部小正方形面积为9得到，解得，再由最外围的大正方形的边长是即可求出答案． 【详解】解：小长方形的宽是a，长是b，， 由勾股定理可得，， 即， 解得， ∵内部小正方形面积为9， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴最外围的大正方形的边长是， 故选：D 12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像判断开口方向，对称轴，与y轴交点，即可判断的符号进而判断①，令结合对称轴x＝1，抛物线经过点（3，0），即可判断②，由①②即可判断③，根据对称性即可判断④ 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴c＞0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴＝1， ∴b＝﹣2a，b＞0． ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线经过点（3，0），对称轴直线x＝1， ∴抛物线经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，故②正确； ∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0． ∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0． 故③正确； ∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1， ∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n）， ∴当y＝n时，x＝﹣3或5． ∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5． 即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5． 故④正确； 综上，正确的结论有：①③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题，共24分） 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．先提取公因式，再根据平方差公式因式分解，即得答案． 【详解】． 故答案为：． 14. 如果、是一元二次方程的两个实数根，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了韦达定理，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据、是一元二次方程的两个实数根，可得，，，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， 、是一元二次方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 15. 某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为___________米．（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点作，在中，米，，可得米，在中，，可得（米），再求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得四边形是矩形，米，，， 米，， 在中，米，， 米， 在中，， （米）， （米． 乙楼高为米． 故答案为： 16. 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，连接EF交对角线AC于点M，连接BM．若∠BAD=120°，AE=2，则BM的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为四边形ABCD是菱形，可知AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，AB=AD，进而可知∠BAC=60°，又因为点E、F分别为AB、AD的中点，可得AB，利用两次勾股定理可求BM． 【详解】解：如图，连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，AB=AD， ∵∠BAD=120°， ∴∠BAC=DAC=∠BAD=60°， ∵点E、F分别为AB、AD的中点，四边形ABCD是菱形， ∴AE=EB，AF=FD，AM=MO，AC⊥BD， ∵AE=2， ∴AB=2AE=4， 在Rt△AOB中，∠ABO=30°， ∴AO=AB=2， ∴BO=， ∴MO=AM=AO=1， 在Rt△BOM中，BM=． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形30°特殊角的性质，勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形的相关性质和勾股定理是解决问题的关键． 17. 已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示________． 【答案】a+1## 1+a 【解析】 【分析】根据题意可得，，，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得的值． 【详解】解：∵（a不取0和-1）， ∴， ， ， …， ∴3个一循环， ∵2020÷3=673…1， ∴． 故答案为：a+1． 【点睛】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 18. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值， 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形， ∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共78分） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先分别计算负整数指数幂与零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、特殊角的余弦值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 20. 解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 21. 为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）张老师调查的学生人数是_____，其中选择“泥塑”选修课在的扇形统计图中圆心角的度数为_____； （2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数； （3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑，张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率． 【答案】（1）72， （2）200人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢B，C，D的人数及所占比例即可求出调查的学生总数，选择“泥塑”的人数与总人数之比乘以360度即为对应的圆心角的度数； （2）该校学生总数乘以选修“摄影”的学生人数所占比例即可求解； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：张老师调查的学生人数为：（人）， 选择“泥塑”选修课在的扇形统计图中圆心角的度数为：， 故答案为：72，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计全校选修“摄影”的学生人数为200人； 【小问3详解】 解：把选修书画的2人记为A，B，选修摄影的1人记为C，选修泥塑的1人记为D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种， 因此所选2人都是选修书画的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表或画树状图法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图中的信息进行关联． 22. 如图，在中，，D，O两点分别在边上，过C，D两点的与相交于点E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）如图：连接，则有，由圆周角定理得，故有，又，所以，即，从而证明结论； （2）如图：连接，由切线性质以及已知条件证明可得，再解直角三角形可得，再根据勾股定理可得，即；然后证明，再利用相似三角形的性质列比例式求得，进而求得即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴ ∴的半径为3． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 23. 第九届亚洲冬季运动会于年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜元，某商场用元购进“滨滨”的数量是用元购进“妮妮”数量的倍． （1）求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？ （2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共个，要求购进的总费用不超过元，出售时，“滨滨”单价为元，“妮妮”单价为元，当购进“妮妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元 （2）当购进个“妮妮”时，所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）设购买一个“滨滨”需要元，则购买一个“妮妮”需要元，根据题意，列方程求解即可； （2）设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”列式求解的取值范围，进而根据一次函数的性质，即可求解； 【小问1详解】 解：设购买一个“滨滨”需要x元，则购买一个“妮妮”需要元， 根据题意得：， ， ， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元； 【小问2详解】 解：设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”， 根据题意得：， 解得：， 设全部售出后获得的总利润为w元 ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：当购进个“妮妮”时，所获利润最大，最大利润是元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据的面积与的面积相等，得到D点的坐标． （1）直线经过点A，且A点的纵坐标是，可得，代入反比例函数解析式可得k的值； （2）依据直线与反比例函数的图象交于A，B两点，借助图象即可得到不等式的解集解题； （3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接，，依据，即可得出的面积与的面积相等，求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：∵直线经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设平移后的直线与x轴交于点D，连接，， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为10， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线l2的函数表达式为． 25. 已知正方形和正方形． （1）如图1，当正方形在正方形外部时，连接，．求证：； （2）如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，连接，若点O是的中点，连接，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，进而可得，然后利用即可证得； （2）①连接，设与交于点H，由（1）可知，，根据全等三角形的性质可得，，由，可得，由三角形的内角和定理可得，由正方形的性质可得，，，，由勾股定理可得，，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求得的长； ②连接，由正方形的性质可知，点O是的中点，由①可得，是直角三角形，则由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上．如图2，连接，设与交于点H， 由（1）可知：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，正方形中， ∴，，，， ∴， ， 设，则， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴； ②，理由如下： 如图3，连接， ∵四边形是正方形，点O是的中点， ∴点O是的中点， 由①可得：，是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】（1） （2）存在，或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $