第三章 二次函数（复习讲义）数学鲁教版五四制九年级上册

第三章 二次函数（复习讲义） 1.了解对应观点下的函数意义，会求简单的函数值，会根据实际问题求出函数的关系式. 2.理解掌握二次函数的定义和一般形式. 3. 掌握二次函数的基本性质，学会如何画出二次函数的图象，并能够找出它的对称轴和顶点坐标，通过图象研究和理解二次函数的性质，包括开口方向、增减性等. 4.理解二次函数与一元二次方程的关系，能够结合图象，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，并能够利用这种联系解决实际问题. 5.应用二次函数解决实际问题能够运用二次函数的对称性解决一些复杂的数学问题，如分析函数值的大小以及求线段和差最值的问题. ●一、函数的再认识 1、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 2、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. ●二、二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． ●三、二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ ●四、 二次函数图象的平移 ●五、二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ●六、二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 ●七、二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 函数的识别 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可解答． 【详解】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意； C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级下·浙江台州·期末）下列各图象中，不能表示是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据其定义：在变化过程中，若两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即存在一一对应关系，则称是的函数，为自变量，为因变量，结合图形即可求解． 【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； D、对于的每一个确定的值，的值不唯一，不符合函数的定义，即不是的函数，符合题意； 故选：D ． 【变式1-2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列关系式：（1），（2），（3），（4），（5），y不是x的函数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数的定义，对于每个自变量x的值，因变量y有且只有一个值与之对应．依次对每个关系式进行分析，判断其是否满足函数的定义．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义（对于每个自变量的值，因变量有且只有一个值与之对应）是解题的关键． 【详解】解：对于 ∵对于任意非零的，有唯一确定的值 ∴是函数． 对于 ∵每个对应唯一的值 ∴是函数． 对于 ∵当时，可取，即一个对应两个值 ∴不是函数． 对于 ∵变形为，每个对应唯一的值 ∴是函数． 对于 ∵当时，可取，即一个对应两个值 ∴不是函数． 综上，不是的函数的关系式有个， 故选：B． 题型二 求函数的自变量取值范围 【例2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求自变量取值范围，涉及分式意义的条件，明确分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键； 求分式函数自变量的取值范围时，分母不能为零，据此求解即可． 【详解】函数中，需满足， 解得， 故选C． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 【变式2-2】（2025·黑龙江绥化·一模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零，被开方数非负列出不等式组，即可求解． 【详解】解：由题意知：， 解得：且 故答案为：且． 题型三 求函数的值 【例3】（2024春•舞阳县期末）当x＝﹣1时，函数y的值是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】D． 【分析】把x＝﹣1代入函数解析式求得相应的y值即可． 【详解】解：当x＝﹣1时， y． 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）若函数，则当自变量时，函数值 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解． 【详解】解：当自变量时， 函数值． 故答案为：3 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断与的大小，然后把代入，求出即可． 【解答】解：， ， 输出的的值为：， 故答案为：． 题型四 二次函数的概念 【例4】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：，， 题型五 由二次函数的定义求字母的值 【例5】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 【变式5-1】（2025九年级下·贵州广西·专题练习）若是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如是常数，）的函数，叫做二次函数；根据二次函数的定义分析即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 二次函数的性质 【例6】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型七 二次函数的图象共存问题 【例7】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 【变式7-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 题型八 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例8】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大， ∴． 故选：B． 【变式8-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：A． 【变式8-2】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 题型九 待定系数法求二次函数的解析式 【例9】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得， a＝﹣1， 函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1， 展开得y＝﹣x2+4x﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键． 【变式9-1】（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 【变式9-2】某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），求出抛物线与直线的交点为（3，5），将（3，5）代入抛物线解析式可得a的值． 【详解】解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2）， 抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5， ∴5＝2x﹣1， 解得：x＝3， ∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5）， 将（3，5）代入抛物线解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1）（x+2），即． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 题型十 二次函数与一元二次方程 【例10】已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断△即可． 【详解】解：由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根 ∴△=4+4k＞0即k＞-1， 因为二次项的系数不能为0 ∴k＞-1且， 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系． 【变式10-1】（2024•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（）+c（）2＝0， 设t，可得ct2+bt+a＝0， ∴t1＝1，t2， 由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 【变式10-2】（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【点睛】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断． 题型十一 二次函数与不等式 【例11】（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【分析】先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得0＝﹣3+a和0＝（﹣3）2﹣3b， 解得a＝3和b＝3， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为y＝x+3和y＝x2+3x， 联立得x2+3x＝x+3，解得x＝﹣3或x＝1， 当x＝1时，y＝4， ∴B（1，4）， 观察图象可得，当﹣3＜x＜1时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式x+a＞x2+bx的解集为﹣3＜x＜1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式11-1】（2024春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【变式11-2】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 【分析】根据抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，可得直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点A1（3，y1），B1（﹣1，y2）两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 图象如图所示， 当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m， ∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3， 故选：D． 【点睛】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点． 题型十二 二次函数的多结论问题 【例12】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 【变式12-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 【变式12-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 题型十三 二次函数的性质求最值 【例13】 （2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式13-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 【变式13-1】 （2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 题型十四 二次函数的平移 【例14】（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 【变式14-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与平移变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简单易懂．根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线不动，而把x轴、轴分别向上、向右平移2个单位长度， 在新坐标系中抛物线的顶点坐标为， 在新坐标系下抛物线的解析式为， 故选：B． 【变式14-2】（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】解：∵， ∴图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，变为，则函数变为 ． 再向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 ． 展开得 ． ∴平移后图象的关系式为； 故答案为：． 题型十五 由实际问题列二次函数的解析式 【例15】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 【变式15-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 【变式15-2】（2024春·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 题型十六 二次函数的实际应用 【例16】（2024秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【分析】（1）设AB为x米，则BC为（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，即可求出x即AB的长． （2）根据题意得y＝x（24﹣3x），再配方变为顶点式，根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积． 【详解】解（1）设AB＝x米， 根据题意得：x（24﹣3x）＝36， 解得：x1＝2，x2＝6， 又∵24﹣3x≤9， ∴x≥5， ∴x1＝2舍去， ∴x＝6， 答：AB的长为6米； （2）根据题意得：y＝x（24﹣3x）， ∴y＝﹣3x2+24＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵a＝﹣3＜0，且x≥5在对称轴直线x＝4右侧， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝5时，y有最大值，y最大值＝﹣3×（5﹣4）+48＝45， 答：当AB的长为5米时，长方形花圃ABCD的面积最大，最大面积为45平方米． 【点睛】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆． 【变式16-1】（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法，把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9，求出a、b的值，即可得到该抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为1.8米，据此即可得到答案； （3）令y＝1.7，求出x的值，即为m的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可知，B（6，0.9）、OF＝1、EF＝1.4、E（1，1.4）， 把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9得， ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9； （2）能，理由如下： ∵y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8， ∴抛物线的顶点坐标为（3，1.8），即绳子甩到最高处时的高度为1.8米， ∵1.75＜1.8， ∴绳子能顺利从他头顶越过； （3）令y＝1.7，则﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7， 解得：x1＝2，x2＝4， ∴2＜m＜4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式16-2】（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)70元 (3)当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】(1)设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，即可求得x的取值范围； (2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； (3)设每天获得的利润为元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得： ∴， 销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍， 自变量的取值范围是：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值， ， 答：当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 【点睛】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． 题型十七 二次函数与新定义问题 【例17】（2024春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 【变式17-1】（2024春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可； 【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为， ∴，解得：， ∴此函数的二次项系数为； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 【变式17-2】（2024春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 题型十八 二次函数与一次函数的综合 【例18】如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据△AOP的面积为4求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标； （2）把点P的坐标代入y＝ax2，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线y＝ax2上下平移后的解析式为y＝ax2+m，把点A坐标代入，求出m的值即可． 【详解】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点， ∴4k+b＝0，b＝4， ∴k＝﹣1，b＝4， ∴y＝﹣x+4， ∵△AOP的面积为4， ∴4×yp＝4， ∴yp＝2， ∴2＝﹣x+4， 解得x＝2， ∴点P的坐标为（2，2）； （2）把点P（2，2）代入y＝ax2， 得2＝a×（2）2， 解得a， 故二次函数的解析式为yx2； （3）能， 设将抛物线yx2上下平移后的解析式为yx2+m， 把点A（4，0）代入，得y42+m， 解得m＝﹣8， 故能将抛物线y＝ax2向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A， 平移后的解析式为：yx2﹣8． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，同时也考查了学生的计算能力． 【变式18-1】（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【分析】（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4求得n，抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）求出b即可； （2）设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，可得S△AMN＝S△AMT+S△ANT，运用二次函数性质即可求出最值． 【详解】解：（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4得：1＝﹣n+4， 解得n＝3， ∴N（3，1）， ∵抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）， ∴1＝9+3b+4，解得b＝﹣4． （2）由（1）可得抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4， ∴M（0，4）， 设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，如图示： 则T（m，﹣m+4）， ∴AT＝﹣m+4﹣（m2﹣4m+4）＝﹣m2+3m， ∴S△AMN＝S△AMT+S△ANT， ∵0， ∴当m时，S△AMN取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握最值求法是解答本题的关键． 【变式18-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1＝4a，解得：a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得： ，解得：，， ∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）． 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）． ∵点B（4，1），直线l为y＝﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直线AB′的解析式为yx， 当y＝﹣1时，有x1， 解得：x， ∴点P的坐标为（，﹣1）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴 对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数 题型十九 二次函数的综合题 【例18】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【变式19-1】（2024春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【分析】（1）先由直线的解析式为，求出它与轴的交点，与轴的交点的坐标，再将，两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点的坐标，再设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出点的坐标； （3）设点坐标为，先由，两点坐标运用勾股定理求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于的方程，求出值，得出点坐标；②若，同①可求出对应的点坐标，进而得出结果． 【详解】（1） 与轴的交点，与轴的交点的坐标， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 将，代入， 得， 抛物线的解析式为 （2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，    则，. ， 对称轴为直线，顶点的坐标为， 设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，. 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为. ， 以、、为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， 点的坐标为； （3）设点坐标为， ， 分两种情况 ①如图2，    若， 则，即， ， 点的坐标为； ②如图3，    若， 则，即 点的坐标为； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像上的点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键． 【变式19-2】（2024春·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或 【分析】（1）根据题意将，两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标； （3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； （3）解：存在， 由（2）得：， ， 对称轴为直线， 当四边形为平行四边形时， 则，， ，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ， 存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用平移规律进行分类讨论求出存在的点的坐标． 基础巩固通关测 1．（23-24八年级上·江苏·周测）下列式子中，能表示y是x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量，据此解答即可． 【详解】解：根据函数的定义可知： 只有函数，当取值时，有唯一的值与之对应； 故选：B． 2．（2024秋•温江区校级月考）在函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x≤1且x≠5 D．x≥1且x≠5 【答案】D 【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x﹣1≥0且x﹣5≠0， 解得x≥1且x≠5， 故选：D． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴，， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（    ） A．或 B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】该题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．将已知抛物线化为顶点式，确定顶点坐标，根据对称性得到另一条抛物线的顶点坐标，利用顶点间距离建立方程求解． 【详解】解：将抛物线化为顶点式：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴关于轴对称的另一条抛物线的顶点坐标为． ∵它们的顶点相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或． ∴的值为或， 故选：D． 7．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线经过点， ， 同理可得：， ， 若，则，， ，即，故①正确； 若，则，， ，即，故②不正确； 若，则，， ，即，故③正确； 若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确； 综上所述，其中正确的是①③，有2个． 故选：B． 8．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出函数y的值为 　 　 ． 【答案】42． 【分析】把x＝6代入x（x+1），如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当x＝6时， x（x+1）＝6×（6+1）＝6×7＝42＞15， ∴输出因变量y＝42． 故答案为：42． 9．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 10．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 12．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 能力提升进阶练 13．（2024•泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； （3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围． 【分析】（1）先把一般式化为顶点式得到y＝a（x+1）2+2a2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）由（1）得到顶点坐标为（﹣1，2a2﹣a﹣4），则2a2﹣a﹣4＝0，然后解关于a的方程即可； （3）当a＞0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）；当a＜0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），然后分别解不等式即可． 【详解】解：（1）∵y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝y＝ax2+2ax+a2+2a2﹣4＝a（x+1）2+2a2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； （2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，3a2﹣a﹣4）， ∵该抛物线的顶点在x轴上， ∴3a2﹣a﹣4＝0， 解得a1，x2＝﹣， 即a的值为或﹣1， ∴抛物线解析式为yx2x或y＝﹣x2﹣2x﹣1； （3）当a＞0时，抛物线开口向上， ∵y1＜y2， ∴|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）， 解得﹣5＜m＜3； 当a＜0时，抛物线开口向下， ∵y1＜y2， ∴|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1）， 解得m＜﹣5或m＞3， 综上所述，当a＞0时，﹣5＜m＜3；当a＜0时，抛物线开口向下，m＜﹣5或m＞3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 14．（2024春·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象； (3)该抛物线沿x轴向左或向右平移m（）个单位长度后经过原点，求m的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或3 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）画出二次函数的图象； （3）求出函数与x轴的交点，根据平移规律进行求解． 【详解】（1） 对称轴为：； （2）当时，； 当时，或， 所以该图象经过点； （3）∵经过点， ∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点， ∴或3． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是根据掌握二次函数平移的规律． 15．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 16．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 【分析】（1）根据OA＝3m，OB＝6m．将c＝3，B（6，0）代入y＝ax2+x+3中，从而求出函数解析式； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3），从而表示出CD＝a，ACa2+a，再根据CD＝4AC，列出关于a的方程解答即可． 【详解】解：（1）由题意知：OA＝3m，OB＝6m． ∴c＝3，B（6，0）， 将B点坐标代入y＝ax2+x+3中， 得：36a+6+3＝0， 解得：a， ∴函数关系式为：yx2+x+3； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3）， ∴CD＝a，AC＝3﹣（a2+a+3）a2﹣a， ∵CD＝4AC， ∴a＝4（a2﹣a）， 解得：a＝5， ∴52+5+3＝1.75，﹣ ∵1.75＞1.65， ∴拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解答本题的关键． 17．（2024春·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 18．（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用角平分线的性质和平行线的性质作轴，交于点Q，交x轴于点E，可证得，求的解析式为，设点P的横坐标为t，则有，，，求出，，由求得t值即可解答； （3）将绕点O顺时针方向旋转，至，可得，，则，求出过点的直线的解析式为，与抛物线联立方程组求得交点；再过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形，作关于的对称点G，点G在上，作直线，则直线与抛物线的交点也满足条件，则，与点D重合，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：作轴，交于点Q，交x轴于点E，如图1所示： ∵轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将代入，， ∴的解析式为， 设点P的横坐标为t，则有，，，， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在，或． 当时，，则， ∴，则， 将绕点O顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ∴ 由题意知，直线过点， 设直线的解析式为， 将，，代入，得：， 解得：， ∴直线BP的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 此时使； 如图2所示，过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形， 作关于的对称点G，则点G在上且， ∴，与点D重合， 作直线，则， ∴直线与抛物线的交点也满足条件， ∵点在抛物线上， ∴． 综上，抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、二次函数与几何变换（旋转和轴对称）、正方形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解答的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数（复习讲义） 1.了解对应观点下的函数意义，会求简单的函数值，会根据实际问题求出函数的关系式. 2.理解掌握二次函数的定义和一般形式. 3. 掌握二次函数的基本性质，学会如何画出二次函数的图象，并能够找出它的对称轴和顶点坐标，通过图象研究和理解二次函数的性质，包括开口方向、增减性等. 4.理解二次函数与一元二次方程的关系，能够结合图象，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，并能够利用这种联系解决实际问题. 5.应用二次函数解决实际问题能够运用二次函数的对称性解决一些复杂的数学问题. ●一、函数的再认识 1、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 2、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. ●二、二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． ●三、二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ ●四、 二次函数图象的平移 ●五、二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ●六、二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 ●七、二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 函数的识别 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级下·浙江台州·期末）下列各图象中，不能表示是函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列关系式：（1），（2），（3），（4），（5），y不是x的函数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 求函数的自变量取值范围 【例2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·黑龙江绥化·一模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 题型三 求函数的值 【例3】（2024春•舞阳县期末）当x＝﹣1时，函数y的值是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）若函数，则当自变量时，函数值 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ． 题型四 二次函数的概念 【例4】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 题型五 由二次函数的定义求字母的值 【例5】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025九年级下·贵州广西·专题练习）若是二次函数，则的值是 ． 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 题型六 二次函数的性质 【例6】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【变式6-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【变式6-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 题型七 二次函数的图象共存问题 【例7】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【变式7-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 题型八 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例8】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 题型九 待定系数法求二次函数的解析式 【例9】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【变式9-1】（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【变式9-2】某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 题型十 二次函数与一元二次方程 【例10】已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【变式10-1】（2024•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【变式10-2】（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A． k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 题型十一 二次函数与不等式 【例11】（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【变式11-1】（2024春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【变式11-2】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A． x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 题型十二 二次函数的多结论问题 【例12】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【变式12-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式12-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三 二次函数的性质求最值 【例13】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【变式13-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【变式13-1】（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A． 最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 题型十四 二次函数的平移 【例14】（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 题型十五 由实际问题列二次函数的解析式 【例15】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2024春·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 题型十六 二次函数的实际应用 【例16】（2024秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【变式16-1】（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出m的取值范围． 【变式16-2】（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型十七 二次函数与新定义问题 【例17】（2024春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（2024春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 【变式17-2】（2024春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 题型十八 二次函数与一次函数的综合 【例18】如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【变式18-1】（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【变式18-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十九 二次函数的综合题 【例18】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式19-1】（2024春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【变式19-2】（2024春·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 1．（23-24八年级上·江苏·周测）下列式子中，能表示y是x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024秋•温江区校级月考）在函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x≤1且x≠5 D．x≥1且x≠5 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（    ） A．或 B．1 C． D．或 7．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出函数y的值为 　 　 ． 9．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ． 10．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是 ． 12．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 能力提升进阶练 13．（2024•泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； （3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围． 14．（2024春·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象； (3)该抛物线沿x轴向左或向右平移m（）个单位长度后经过原点，求m的值． 15．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 16．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 17．（2024春·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $