5.3函数的单调性（第1课时）（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖概念理解、单调区间划分及定义证明。通过艾宾浩斯记忆规律图像和函数图像观察情境导入，以问题链引导学生从图像直观过渡到符号语言抽象，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数图像知识与单调性概念。 其特色在于以数学抽象和逻辑推理为核心，情境贴近生活激发兴趣，如从f(x)=x²图像观察到用“∀x1,x2∈(0,+∞)，x1<x2时f(x1)<f(x2)”符号描述实现概念抽象。含辨析题（如反比例函数单调性）和分层变式练习，小结用表格对比单调递增递减定义。助力学生培养抽象思维与推理能力，为教师提供清晰教学流程与实用练习资源。

5.3函数的单调性 （第一课时） 第五章 函数概念与性质 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：会用定义证明函数的单调性 教学难点： 函数的单调区间、单调性等概念的理解 了解函数的单调区间、单调性等概念； 会划分函数的单调区间，判断单调性； 会用定义证明函数单调性。 课程目标 学科素养 数学抽象：函数单调性概念； 逻辑推理：会划分函数的单调区间，判断单调性； 数学运算：用定义证明函数的单调性。 新知引入 情境1：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律． 它是函数图象吗？这个图象反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 新知引入 情境2：请看这两幅图象,思考下列问题： （1）它们是函数图象吗？ （2）通过下列图象，你能得到什么信息？ （3）你能说一说这些图象的变化特点吗？ 新知探究 思考1：我们如何去研究它的变化特点、性质呢？能否严格给出定义？ 从情境我们知道，先画出函数图象，通过观察分析图象的特征，可以得到函数的一些性质．观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ 图象从左到右保持递增 图象从左到右有增有减 图象关于轴对称 图象关于原点成中心对称 单调性 定性:图形语言 定量:符号语言 奇偶性 新知探究 问题1：你能画出下列函数图像，并描述函数有何变化趋势吗？ （1）； （2） 新知探究 问题2：我们以为例研究，要如何用“符号语言”描述函数在 上随的增大而增大？ 追问1：函数的表示方法有？ 追问2：我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？ 图象法，列表法，解析式法 新知探究 问题3：在下表中任取一些自变量的值，比较函数值大小，你能发现什么结论？ …           … …           … 追问1：列表法能把内的所有的数都比较完吗？ 追问2：如何才能把内的所有的数都比较完呢？ 列表法的局限性：只能实现“有限”个自变量和函数值大小的比较；不能把所有自变量和函数值大小的比较完。 数字表示 字母表示 新知探究   因为我们这里要研究图像的变化趋势，是函数值的比较的过程，所以需要借助两个字母. 从而得到 数字表示 字母表示 当时，有 追问3：这里对，有什么要求？只取上的某些，满足时，有，是否可以？你能举例说明吗？ 必须是区间上的任意的，。只有某些满足不可以。 新知探究 追问4：你能用符号语言描述上随的增大而增大这一规律了吗？ ,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递增 追问5：对任一函数而言，如果满足：在定义域的某个区间上任意取的两个数，当时，都有，能说明函数是上升的吗？ 新知探究 一般的,设函数的定义域为,区间 如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 如果函数在区间上单调递增，那么就说函数在这一区间 具有（严格的）单调性，区间叫做的单调递增区间。 问题4：你能类比函数单调递增的定义，描述函数单调递减的定义吗？ 新知探究 一般的,设函数的定义域为,区间 如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 如果函数在区间上单调递减，那么就说函数在这一区间 具有（严格的）单调性，区间叫做的单调递减区间。 练习巩固 辨析1：函数各有怎样的单调性？ 5 在区间上单调递减 在区间上单调递增 在区间上单调递增 在区间上单调递减 练习巩固 辨析2：若定义在区间的函数满足,则函数在该区间上是一定是增函数吗？ 辨析3：函数在区间 和都是增函数，则函数在区间 上一定也是增函数吗？ 辨析4：反比例函数在整个定义域上是减函数吗？ 在上单调递减，在上也单调递减， 但在整个定义域内不具备统一的单调性， 所以，反比例函数 不是减函数。 的单调区间： 和 新知探究   单调递增 单调递减 定义 图示 , 当时, 都有), 则称函数在区间上单调递减, 区间为的单调递减区间. 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称是增(减)函数. 单调性是局部性质 ②若在区间上单调递增(减)，则称在区间具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间， , 当时, 都有 则称函数在区间上单调递增, 区间为的单调递增区间. 典例精讲 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间： (1)； (2) (). 解：（1）函数图象如图，增区间为(－∞ ，0]，减区间为[0，＋∞). （2）函数图象如图，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间. 练习巩固 练习1：下图是定义在区间上的函数，根据函数图象说出函数的单调区间.并说明在该区间上的单调性.   【答案】：在和上单调递减， 在 和上单调递增 变式1-1：函数的图象如图所示，其增区间是________． 【答案】： 变式1-2：函数的单调递增区间是________． 【答案】： 练习巩固 练习2：画出函数 的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为： 函数的减区间为： 练习巩固 变式2：画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为： 函数的减区间为： 典例精讲 例2：证明函数在区间上是增函数. 证明：设为区间(－∞，0)上的任意两个值， 且＜，则 －＜0，＞0. 因为＝(－－1)－(－－1) ＝ － ＝. 所以，，即 故，在区间上是增函数 小技巧：求函数单调区间的2种方法: (1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； (2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． 典例精讲 用定义证明函数的单调性的步骤： 取值：设，是某个区间上任意两个值，且; 作差：作差; 变形：向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积或商的形式 ; 定号：确定 的符号； 结论：确定函数的增减性. 练习巩固 练习3：根据定义，研究函数的单调性. 解：函数的定义域是.且，则 由，得，所以 ①当时，. 于是，即. 这时，是增函数. ②当时，. 于是，即. 这时，是减函数. 练习巩固 变式3-1：根据定义证明函数在区间上单调递增. 证明：且，有 由，得，.所以，. 又由，得. 于是，即. 所以，函数在区间上单调递增. 练习巩固 变式3-2：根据定义证明函数在区间上单调递减. 证明：且，有 . 由，得，.所以，. 又由，得. 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 练习巩固 练习4：已知函数. (1)若上是增函数，求的范围. (2)若的单调区间是，求的范围. 解：(1)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 所以有，即 (2)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 若的单调区间是，则有，即 练习巩固 函数单调性的应用: (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围； (2)若一个函数在区间上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．　 练习巩固 变式4：若是上的减函数，则的取值范围为______________，的取值范围为________． 练习5：已知是定义在上增函数，且.求的取值范围。 解：∵ 是定义在上的增函数，且 ∴， 解得 ∴ 的取值范围为， 练习巩固 变式5-1：已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为_______________。 【答案】 变式5-2： 已知函数对任意 都有,且 ，则实数的取值范围是 _______________。 【答案】 小结 单调性 单调性 最大（小）值 单调递增 单调递减 增（减）函数 当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称是增(减)函数. 如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递增. 如果 ,当 时， 都有 感谢聆听 数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学。 ——恩格斯 函数概念是近代数学思想之花。 ——托马斯 $