4.5等腰三角形（第1课时等腰三角形的性质）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的概念及性质（等边对等角、三线合一），导入通过定义标注名称，以“中线时角和线段关系”问题驱动，用全等证明引导归纳性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于问题驱动探究，经历“观察-猜想-证明-归纳”培养推理意识，规范几何语言（如“∵AC=AB，∴∠B=∠C”）发展数学语言能力，分类讨论角的度数问题提升抽象能力。典例与分层练习结合，助学生深化理解，教师可直接用于高效备课。

湘教版2024·八年级上册 4.5 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 第4章 三角形 导入新课 A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 学 习 目 标 1 2 3 了解等腰三角形的有关概念. 掌握等腰三角形的性质.（重点） 能运用等腰三角形的性质进行有关的证明和计算..（难点） 在等腰△ABC中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，则∠B=∠C吗? ∠BAD=∠CAD吗?AD是△ABC的高线吗? 新知探究 思 考 解：如图，由于AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC, BD=CD， AD=AD, 所以△ABD≌△ACD(边边边). 因此∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°. 即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. · 新知探究 等腰三角形的性质： 总结归纳 1.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 在△ABC中， ∵ AC=AB（已知 ） ∴ ∠B=∠C（等边对等角） 几何语言： “等边对等角”是指“在同一个三角形中， 相等的边所对的角相等”. 新知探究 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”). 等腰三角形的性质： 总结归纳 A B C D 1 2 在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠___=∠___，____=____； （2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，____⊥____； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴____⊥____，____=____. 用符号语言表示为： 1 2 BD CD 1 2 AD BC AD BC BD CD “由一线知二线” 新知探究 想一想：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的对称轴吗？ 等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是____________所在的直线. 顶角平分线 底边上的高 底边上的中线 A B D C 典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，点E在AC上，且BE=BC=AE. (1)求证:ED⊥AB; (2) 求△ABC各角的度数. · ①边读题边做标记边想； ②从问题着手，倒着分析； ③读到的写成因为，想到的写成所以。 D为AB的中点 BE=BC 三线合一 典例分析 解 (1)因为BE=AE,D为AB的中点， 所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线，从而ED⊥AB(三线合一). (2)因为AB=AC，BE=BC=AE， 所以∠ABC=∠C,∠C=∠1，∠A=∠2(等边对等角). 于是∠1=∠A+∠2=2∠A,从而∠ABC=∠C=∠1=2∠A.又∠A+∠ABC+∠C=180°， 于是∠A+2∠A+2∠A=180°， 从而∠A=36°， 因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°. 新知探究 议一议 如图4.5-3所示的三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上. (1) AD与BC是否垂直?试说明理由. (2)这时BC处于水平位置，为什么? 等腰三角形的三线合一 新知应用 基础巩固题 1.如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，下列结论中不一定正确是(　D　) A. ∠ B ＝∠ C B. AD ⊥ BC C. AD 平分∠ BAC D. AB ＝2 BD D (第1题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 新知应用 基础巩固题 3.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为__________ 4.等腰三角形一个角为70°, 它的另外两个角为__________ 5.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为__________ 75° , 30° 70° , 40°或55° , 55° 35° , 35° 方法：当等腰三角形中角的位置不确定时，需要对角进行分类讨论. 是底角还是顶角 注意： 分类讨论 新知应用 基础巩固题 7.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A．80° B．20° C．20°或80° D．50°或80° C 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，外角 ∠ACD=100°，则∠B=______ A B C D 100° 80° 方法：当等腰三角形中角的位置不确定时，需要对角进行分类讨论. 是底角还是顶角的外角？ 注意： 分类讨论 新知应用 基础巩固题 8.下列说法中，正确的有 (　D　) ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形两底角相等；③等腰三角形是轴对称图形；④等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 9. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，BF ⊥ AC 于点 F ，交 AD 于点 E . 若 AF ＝ BF ， BD ＝2，则 AE ＝ ⁠. 4　 (第9题) 新知应用 基础巩固题 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长. 解：∵AB=AC, AD为BC边上的高， ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD. ∵∠BAC=49°，BC=4， ∴∠BAD=24.5°， DC=2. 新知应用 基础巩固题 11. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=30°.求∠B和∠C的度数. 解：因为AB=AD=DC， 所以∠ABC=∠ADB,∠C=∠1(等边对等角). 在△ABD中，∠B=(180°-∠BAD)=75°, 从而∠ADB=75°. 又∠ADB=∠C+∠1=75°， 所以2∠C=75°. 所以∠C=37.5° 1 新知应用 能力提升题 12. 如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3，则BF= 　 　 ． 解：∵△ABC中，AB=AC,AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC=2S△ADB=2×BA×DE=3AB， ∵S△ABC=AC×BF，∴AC×BF=3AB， ∵AB=AC， ∴BF=3，∴BF=6． 6 新知应用 能力提升题 13. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF． 1 2 证明：∵AB＝AC，D为BC中点， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2， ∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线， ∴∠ADE=∠ADB=45°，∠ADF=∠ADC=45°， ∴∠ADE＝∠ADF， 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF（ASA）， ∴DF＝DE． 新知应用 能力提升题 14. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE. 证明 ： 作AF⊥BC，垂足为点F， 则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF=CF， ∴ BF-DF=CF-EF， DF=EF， 即 BD=CE. F 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 课堂小结 等腰 三角形 从边看 两边相等 从三线看 两腰上的中线相等 思想 1. 分类讨论 2. 方程思想 两底角平分线相等 从角看 两底角相等 等边对等角 两腰上的高线相等 从对称性 是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线 三线合一 感谢聆听! $