5.6实数（题型专练）数学新教材青岛版八年级上册

5.6实数 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 求实数的相反数与绝对值 题型二 实数的分类 题型三 实数的混合运算 题型四 实数的大小比较 题型五 实数与数轴 题型一 求实数的相反数与绝对值 1.的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 3．的绝对值为（    ） A． B．2 C． D． 4．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 5．的相反数是 ；的绝对值是 ．  题型二 实数的分类 1．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 2．下列说法错误的是（   ） A．是有理数 B．是无理数 C．是正实数 D．是分数 3．在实数，，，，，中，中无理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 5．把下列各数分别填入相应的集合里． ，21.3，，，0，，，，，，，1.2121121112…（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）． (1)无理数集合：{            …}； (2)负分数集合：{            …}； (3)整数集合：{            …}； (4)非负数集合：{            …}． 题型三 实数的运算 1．定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 2．计算：= 3．如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算：． 题型四 实数的比较 1．，，5三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 3．在，，0，这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 4．下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 5．若，则的大小关系为 （用“<”连接）． 题型五 实数与数轴 1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在数轴上，点，表示的数分别为和1，，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则数轴上点表示的实数是 ． 5．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 1．已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 2．定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 3．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 4．（1）计算：； （2）解方程：； （3）已知，且与互为相反数，求的平方根． 1．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 2．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.6实数 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 求实数的相反数与绝对值 题型二 实数的分类 题型三 实数的混合运算 题型四 实数的大小比较 题型五 实数与数轴 题型一 求实数的相反数与绝对值 1.的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的数是相反数．根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 3．的绝对值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的概念判断即可． 【详解】 故选：A． 4．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值、相反数等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．先根据立方根、算术平方根、绝对值求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：A、5与相等，不互为相反数，不符合题意； B、与相等，不互为相反数，不符合题意； C、与互为相反数，符合题意； D、与相等，不互为相反数，不符合题意； 故选：C． 5．的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，．  题型二 实数的分类 1．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数、实数、有理数的分类，无理数的定义．根据有理数和无理数以及实数的分类，无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、实数可分为正实数和负实数以及0，原说法错误，本选项不符合题意； B、实数可分为正实数，零和负实数，原说法错误，本选项不符合题意； C、实数可分为有理数和无理数，说法正确，符合题意； D、带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列说法错误的是（   ） A．是有理数 B．是无理数 C．是正实数 D．是分数 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，开平方与开立方运算，解题的关键在于正确掌握实数的分类．根据开平方与开立方运算化简各项，再根据数的相关定义判断，即可解题． 【详解】解：A、是有理数，说法正确，不符合题意； B、是无理数，说法正确，不符合题意； C、是正实数，说法正确，不符合题意； D、是无理数，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3．在实数，，，，，中，中无理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有三种：开不尽方的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每相邻两个之间依次增加个). 【详解】解：是分数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 是有限小数，可以化为分数的形式，是有理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是整数，是有理数， 是整数，是有理数， 共有个无理数． 故选：B． 4．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 5．把下列各数分别填入相应的集合里． ，21.3，，，0，，，，，，，1.2121121112…（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）． (1)无理数集合：{            …}； (2)负分数集合：{            …}； (3)整数集合：{            …}； (4)非负数集合：{            …}． 【答案】(1)，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1） (2)， (3)，，， (4)，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1） 【分析】此题考查了实数，熟练掌握无理数，负分数，整数，非负数的定义是解本题的关键． 根据无理数，负分数，整数，非负数的定义求解即可． 【详解】（1）解：无理数集合：{，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）， …} 故答案为：，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1） （2）解：负分数集合：{，，…}； 故答案为：， （3）解：整数集合：{，，，，…}； 故答案为：，，， （4）解：非负数集合：{，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1，…） …}． 故答案为：，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1） 题型三 实数的运算 1．定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得： ． 故选：D． 2．计算：= 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义、绝对值的性质和零指数幂分别运算，再相加减即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、零指数幂与负整数指数幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、立方根，再计算加减法即可得； （2）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根与算术平方根等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 题型四 实数的比较 1．，，5三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的大小比较，由可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 3．在，，0，这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可． 【详解】解：， ， ， 最小的数是， 故选：D． 4．下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数大小的比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．根据实数的大小做出判断即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：A． 5．若，则的大小关系为 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，本题需先分别求出的值，再进行比较，即可求出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 题型五 实数与数轴 1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 2．如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的应用．根据点在和之间，再对各选项进行估算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知点在和之间， ∵，是有理数， ∴数轴上点P表示的无理数可能是． 故选：B． 3．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键． 先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 4．如图，在数轴上，点，表示的数分别为和1，，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则数轴上点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】解：∵，点，表示的数分别为和1， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 5．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 1．已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了实数的性质，根据题意确定出与的值，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且、为有理数， 得到； ； 故选：A． 2．定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据新定义运算计算即可． 【详解】解： ， 故选：A ． 3．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，正确计算是解题的关键 由数轴得出，，，进一步得出，，再根据立方根、绝对值、二次根式的性质化简计算即可； 先确定a、b、c的值，再代入中的结果计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，，， ，， ； （2）解：，，， ，，， ，， ，，， 4．（1）计算：； （2）解方程：； （3）已知，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了非负数的性质，实数的运算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可； （2）根据平方根的定义解方程即可； （3）根据非负数的性质可求出x、y的值，根据相反数的定义和立方根的性质可求z的值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴， ∴， ∴ （3）∵， ∴，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∵9的平方根是， 1．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】(1)， (2)①，画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数． （2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：， （2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 2．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出，的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出，的方程，解方程求得，的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）， ， 即， ， ， 的算术平方根为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $