精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一上学期开学测试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期开学测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次将集合A中的四个元素，代入不等式检验，若不等式成立，则说明该元素属于集合B，从而说明该元素是中的元素；否则，该元素就不是中的元素. 【详解】因为，所以不属于集合B； 因为，所以； 因为，所以； 因为，所以. 所以，. 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式进行化简计算. 【详解】由已知 ， 则， 解得或， 则或， 即， 故选：C. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子作因式分解，然后可得结果.. 【详解】由题可知：， 所以 故选:C. 4. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离.当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意讨论x的范围，比较即可求得答案. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 由此可知的最小值为3， 当取得最小值时，的取值范围是， 故选：C 5. ，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方之后化简为相同形式，则大小关系即可直接得到. 【详解】由题意可得均为正数， ，，； 因此可得，即， 故选：C. 6. 若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ） A. 2 B. －20 C. 2或－20 D. 2或20 【答案】B 【解析】 【分析】 利用韦达定理可求的值. 【详解】因为，，故为方程的两个根， 故. 又 ， 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的含义进行辨析即可. 【详解】因为，所以， 当时，无意义，所以“”时，“”不一定成立； 当时，，所以“”能推出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的子集个数,判断出集合A中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有2个子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下是的必要条件但不是充分条件的是（ ） A. ：“是有理数”，：“是实数” B. ：“”，：“” C. ：“”，： “” D. ：“”，：“” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 10. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是； B. 由2，3组成的集合可表示为或； C. 方程的所有解组成的集合是； D. 与不是同一个集合． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数，需找出10以内所有符合质数定义的数组成集合；对于选项B，集合中的元素具有无序性，即集合中的元素顺序不影响集合本身，结合集合元素的无序性判断即可；对于选项C，集合中的元素具有互异性，即集合中的元素不能重复，先求解方程，再根据元素的互异性判断即可；对于选项D，：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，由此即可判断正误. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 由集合元素的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D正确． 故选：ABD． 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的________条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的定义即可得结果. 【详解】由可得或， 即由不一定有成立，但由能推出成立． 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 13. 已知集合，定义集合，则中有_________个元素． 【答案】63 【解析】 【分析】根据题意，得到集合中有9个元素，集合中有35个元素，进而得到有9个值，有7个值，结合图形，进而求得集合中的元素个数，得到答案. 【详解】中有个元素（即9个点）， 即图中正方形内部及其正方形边上的整点， 集合中有个元素（即42个点）， 即图中长方形内部及其长方形边上的整点， 所以或或或或或或或或4，共有9个值， 或或或或或或，共有7个值， 所以中的元素可看作正方形中的整点，即个． 故答案为：63. 14. 若，关于x的方程有两个相等的正实数根，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用一元二次方程有两个相等的正实根，得到判别式等于0，及利用韦达定理得到不等式，进而求解即可. 【详解】关于x的方程有两个相等的正实数根，设这两个正根为， ，，都除以，得到，解得或，，，，. 故答案为：4. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用适当的方法表示下列集合： （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； （2）被3除余1的所有自然数组成的集合； （3）平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表述集合用列举法即可表示； （2）根据表述集合用描述法即可表示； （3）根据表述集合用描述法即可表示. 【小问1详解】 用列举法：. 【小问2详解】 用描述法：. 【小问3详解】 用描述法：. 16. 解下列不等式. （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式，移项通分转化，可得答案； （2）根据绝对值的定义，分情况去绝对值，化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 由， 即，且，解得或， ∴不等式的解集为或. 【小问2详解】 对于， 当时，， 由，解得； 当时，， ∴，解得 当时，， ∴，解得， 综上，不等式的解集为. 17. 已知集合及非空集合． （1）若，求a，b的值； （2）是否存在实数a，b，使得，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，，时满足题意；，时满足题意；，满足题意 【解析】 【分析】（1）由，且C为非空集合可得只有一个根为，列方程组即可求得答案； （2）由于，所以且，分和两种情况进行讨论即可求得答案. 【小问1详解】 因为，且C为非空集合，所以， 即，则只有一个根为， 所以，解得； 【小问2详解】 由题意得， 由于，所以且， 1）当时，，所以只需要满足集合C非空且即可， 则满足恒成立即，且即的值不等于0， ； 2）当时，，若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为-3， 将代入得，即满足题意； 若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为或一个根为，另一个根不为1， 将代入得， 令，解得或， 即满足题意； 综上：，时满足题意；，时满足题意；，满足题意. 18. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若时，存在集合，使，求出所有的集合； （3）集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2），，，，， （3）能， 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 所以，． 【小问2详解】 当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． 【小问3详解】 能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 19. 对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． （1）若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； （2）已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】（1） ,, ,,. （2） （i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而 下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【解析】 【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【小问1详解】 集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期开学测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离.当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 5. ，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ） A. 2 B. －20 C. 2或－20 D. 2或20 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下是的必要条件但不是充分条件的是（ ） A. ：“是有理数”，：“是实数” B. ：“”，：“” C. ：“”，： “” D. ：“”，：“” 10. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是； B. 由2，3组成的集合可表示为或； C. 方程的所有解组成的集合是； D. 与不是同一个集合． 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的________条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 13. 已知集合，定义集合，则中有_________个元素． 14. 若，关于x的方程有两个相等的正实数根，则_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用适当的方法表示下列集合： （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； （2）被3除余1的所有自然数组成的集合； （3）平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 16. 解下列不等式. （1）； （2）. 17. 已知集合及非空集合． （1）若，求a，b的值； （2）是否存在实数a，b，使得，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由． 18. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若时，存在集合，使，求出所有的集合； （3）集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 19. 对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． （1）若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； （2）已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $