第1章三角形 重点题型练习2025-2026学年苏科版八年级数学上册

 

第1章三角形  重点题型

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1. 如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD =110°,∠B=∠D=90°,在 BC,CD 上分别找一点M，N，使△AMN 的周长最小，此时∠AMN+∠ANM 的度数和为(    )

A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°

2. 新素养 推理能力如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB.若 M,N 两点分别在 OA,OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有              (    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.无数个

3. 如图, 在 △ABC 中, AC = BC = 5,∠ACB =80°,O 为△ABC 内部一点,∠OAB=10°,∠OBA=30°,则 AO 的长是         .

4.(2025 ·江苏扬州模拟)如图，四边形ABCD 的对角互补,且∠BAC=∠DAC,AB=15,AD=12.过顶点 C 作CE⊥AB于点E，则 的值为          .

5. 如图,在△ABC 中,∠A=20°,AB=AC,D 是边AC 上一点,连接 BD,AD=BC,则∠DBA 的度数为          .

 

6. (2025·江苏泰州模拟)已知在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=n°.当n 变化时,斜边AB 上总存在 O,P 两点,使得 OC= P 两点不重合)，则n 的取值范围为                                .

7. 如图,在△ABC中,AB=8,AC=5,点 D在 △ABC 内部, 连 接 AD, BD, CD,∠ADB =150°,∠DBC=30°,∠ABC+∠ADC=180°,则 CD 的长为         .

8. 如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点 D 在边BC上,∠ADC=60°,且 将△ACD 以直线 AD 为轴做轴对称变换，得到△AC'D,连接 BC'.

(1) 求证:BC'⊥BC;

(2) 求∠C的度数.

综合与实践

 

光的传播与最短路径

 

【学习研究】

(1)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图①，诗中大意是将军从山脚下的点 A 出发，带着马走到河边点 P 处饮水后，再回到点 B 宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短?请你通过画图，在图中找出点 P，使PA+PB 的值最小，不说明理由.

【类比迁移】

(2) ① 如图②,P,Q是△ABC 的边AC,AB 上的两个定点,请同学们在 BC上找一点R,使得△PQR 的周长最小，

② 如图③,∠AOB 内部有两点P,Q,在OA,OB 上分别找M,N 两点,使四边形 PQMN的周长最小；

【实践应用】

(3)①如图④，一条笔直的河流l 的同侧有A，B两个村庄，要把A 村的产品运往B 村.按计划要先到河岸M 处接一批货物，然后一起运往 B 村，要使总路程最短，点M 应选在河流l的什么位置?

②在(1)的条件下，若在河岸M 处接货后，需沿河岸行a 千米至N 处，再将货物运送至B 村，要使总路程最短，则M，N两点应选在河流l 的什么位置?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

的对角互补,所以∠B+∠ADC=180°. 因为∠CDF+∠ADC=180°,所以∠B=∠CDF.在△CEB 和△CFD 中, 所以△CEB≌△CFD(AAS). 所以 BE = DF.设BE=DF=a.因为AB=15,AD=12,所以12+a=15-a,解得a=1.5.所以AE=13.5,BE=1.5,即

5.10° 解析:在 BC 上方以 BC 为边作等边三角形BCE,连接 AE,则 BC=BE= EC,∠EBC=∠ECB=60°.因为AD=BC,所以AD=BE.因为 AB=AC,∠BAC=20°,所以∠ABC=∠ACB,直线 AE 垂直平分 BC.所以 10°.又∠BAC+∠ABC+∠ACB =180°,所以 因为∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°,所以∠ABE=∠BAD.在△ABD 和 △BAE 中, 所 以△ABD ≌ △BAE (SAS). 所 以 ∠DBA =∠EAB=10°.

6. 30≤n≤60且 n≠45 解析:因为∠ACB=90°,所以当 (O,P两点不重合)时，点 O 和点 P 中必有一点为斜边AB 的中点.设P 为 AB 的中点,如图①,当点 O 与点 B 重合时，因为 所以△CPB 是等边三角形, 即∠B = 60°. 又∠ACB = 90°,∠A=n°,所以∠A=30°,即n=30,此时∠A 最小；如图②，当点 P 与点O 重合时，不符合题意，此时∠A=∠B=45°,即 n=45;如图③,当点O

 

 

△BDP 是等边三角形.所以 BP=BD=PD,∠PBD= ∠BPD = 60°. 又 所以 即PC'=PD=BP..所以∠BC'P=∠PBC'. 又 所以 ,即∠C'BD= .所以 BC'⊥BC.

(2) 如图,过点 A 分别作BC,C'D,BC'的垂线,垂足分别为 E,F,G.由(1),得. 90°.所以 DA 平分∠CDC',即 AE= AF.又∠C'BD=∠ABC+∠ABC',∠ABC=45°,所以 ,即∠ABC'=∠ABC.所以 AB平分∠C'BD,即 AE=AG.所以 AF=AG.在Rt△AC'F 和 Rt△AC'G 中, 所以Rt△AC'F≌Rt△AC'G(HL).所以∠AC'F=∠AC'G.又∠BC'P +∠AC'F +∠AC'G=180°,所以. 即∠C=75°.

综合与实践光的传播与最短路径

(1)如图①，作点 B 关于河边所在直线的对称点B',连接AB'交河边于点 P,则此时 PA+PB 的值最小.

(2)① 如图②，作点 P 关于边 BC 所在直线的对称点 P',连接 P'Q 交 BC 于点 R,连接 PQ,PR,此时△PQR 的周长最小.则点 R 即为所求.