精品解析：广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年度高二上学期培优数学试题

深圳实验学校高中园2025-2026学年度高二数学培优试题 考试时间：120分钟；命题人：余坤；审题人：袁伟铭 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：B. 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得. 【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意； 对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意； 对于C，因，即，，共面，故C不合题意； 对于D，因，即，，共面，故D不合题意. 故选：B. 3. 已知平面向量，，，若，，则为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直求得，进而求得. 【详解】由于，， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：A 4. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【详解】解：， ， ， ， 所以， 故选：B 5. 已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故选：D 6. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（ ） （1） （2） （3） （4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】（1）且相交，则成立，不相交则不一定成立，故（1）错误； （2），故（2）正确； （3），则也有可能异面，故（3）错误； （4）或，故（4）错误； 综上可得，只有（2）正确． 故选：B 7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 8. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的中点，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果． 【详解】以为基底向量，则， ∵， 则， 又∵，即， ∴． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：AB 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B. 若，，不共线，且，则，，、四点共面 C. 对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得. D. 中，若，则一定是钝角三角形. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由与的数量积大于0且不共线计算判断；对于B，变形，由空间共面向量 定理判断；对于C，由平面向量基本定理判断；对于D，利用平面向量数量积运算判断作答. 【详解】对于A，依题意，，且与不同向共线，求得，解得：且，A错误； 对于B，由，则，即， 于是得共面，且公共起点C，而，，不共线，，，，四点共面，B正确； 对于C，同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，C错误； 对于D，在中，，则，于是得是锐角，不能确定是钝角三角形，D错误. 故选：ACD 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因为， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，则与的夹角余弦值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】由于, ， 故与的夹角余弦值为， 故答案为： 13. 如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】∵、是棱上两点，、分别在半平面、内， ，， 又∵二面角的平面角等于120°，且， ∴，，，∴， ． 故答案为：2． 14. 平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面 【答案】1 【解析】 【分析】设，，则，由平面，可得，所以，即，根据向量的数量积得，求解即可. 【详解】解：如图所示： 设，，则， 因为平面， 平面，所以， ，， 由，得， 即， 又因为， 则有，即， 解得或(舍去)， 因此当时，能使平面. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在空间平移到，连接对应顶点，设，，，M是的中点，N是的中点，用基底表示向量，. 【答案】；． 【解析】 【分析】利用空间向量的加法运算及数乘运算求解即可． 【详解】如图，由已知得是三棱柱，所以各侧面均为平行四边形， 因为M是的中点， 所以， 因为N是的中点， 所以． 16. 如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． （1）证明四点共面； （2）若，求的值． 【答案】（1） 在平行六面体中，，， ∵ ， 所以共面，且A为公共点， 所以四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，由此能够证明四点共面； （2）结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示列式求解. （2）由（1）的结论求出向量，再利用向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 向量，，，由，得，则； 由，得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因此，， ，而，则， 所以向量，的夹角的大小为. 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：，有，则， 直三棱柱中，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）勾股定理证得，线面垂直的性质证得，得平面，所以平面平面； （2）连接，与相交于点，可证平面，直线与平面所成角为，求出，由，代入求值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，与相交于点，连接， ，侧面为正方形，则有 平面，平面，， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为， ，则，，又，则， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 19. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明: AI 证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得： ，即，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，由，即可证明； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知 又与所成角的范围为，与所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园2025-2026学年度高二数学培优试题 考试时间：120分钟；命题人：余坤；审题人：袁伟铭 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知平面向量，，，若，，则为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 4. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（ ） （1） （2） （3） （4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的中点，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B. 若，，不共线，且，则，，、四点共面 C. 对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得. D. 中，若，则一定是钝角三角形. 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，则与的夹角余弦值等于__________． 13. 如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______． 14. 平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在空间平移到，连接对应顶点，设，，，M是的中点，N是的中点，用基底表示向量，. 16. 如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． （1）证明四点共面； （2）若，求的值． 17. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $