海南省文昌中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高三第一次月考试题 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（ ） A．1 B．2 C． D． 3．已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数(a＞0且a≠1) ，若，则（ ） A．3 B．2 C．4 D．1 5．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．若，设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数,在处取得最小值，则 （ ） A． B．1 C．3 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（ ） A．函数是奇函数且在单调递增 B．函数的定义域为 C．若且，则 D．若，则 10．已知实数，且满足，则（ ） A． B． C． D． 11．若函数图象的一条对称轴方程为，则（ ） A． B． C．图象的一条对称轴为直线 D．在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12．小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，∠AOB=，OA=10 cm，则扇形AOB的面积为 cm2. 13．已知函数 ，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是 ． 14．设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为 ；方程有且仅有 个实数解 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知数列的前项和，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 16.（本小题满分15分） 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）把的图象向左平移个单位长度，得到的图象. 若的图象关于直线对称，求的最小值. 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC . （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若AC=5，BC=12，三棱锥P-ABC的体积为 100， 求二面角A-PB-C的余弦值. 18.（本小题满分17分） 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 19.（本小题满分17分） 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为，F1, F2分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点. （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P, Q两点. ① 若P, Q中点的横坐标为，求m的值； ② 已知点D(2,1)，直线DP, DQ与直线分别交于点 M , N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN为平行四边形. 若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由. 高三数学 第3页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三第一次月考答案 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C A B D A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12． 13． 14．8；6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．解： （1）当时，， ………………3分 则， ………………5分 当时，，满足上式，所以 ………………6分 （2）由 ………………8分 ………………10分 ………12分 所以，即的最小值为 ………………13分 16．解： （1） ……………1分 ……………3分 由 ……………5分 得 ……………6分 所以的单调递增区间为 ……………7分 （2）由 (1) 知 ……………9分 若的图象关于直线对称, 则 ……………11分 所以 ……………13分 解得 ……………14分 因为，所以取，得的最小值为. ……………15分 17．解： （1）证明：由题意得PA⊥平面ABC，因为平面ABC，所以PA⊥BC …3分 又因为AC⊥BC，平面PAC,所以BC⊥平面 PAC, ……5分 又因为平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC. ……6分 （2）因为 AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以 又因为三棱锥P-ABC的体积为100，即得 ……8分 由题意可得以A为原点，分别以平行于BC，及AC, AP 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图, 则 令，得，则 ……11分 设平面PBC的一个法向量为，则 令，得，则 ……………13分 设二面角A-PB-C为，则14分 所以锐二面角A-PB-C的余弦值为 ……………15分 18．解： （1）若，则，，x>0 ……………1分 所以， ……………3分 因此曲线在点处的切线方程为 ……………4分 （2），x>0 令，得 ……………5分 当0<a<1时，单调递减，单调递增 …………7分 当a=1时，，单调递增 ……………8分 当a>1时，，单调递增 ……………10分 （3），x>0 令，得 ……………11分 所以当时，，单调递减; 当时, ，单调递增， 因此 ……………13分 当时, , 且 ……………14分 由 (2) 可知，存在，满足, 又当且时, ……………16分 故有两个零点. ……………17分 19．解： （1）因为离心率为，所以, 故 ……………2分 所以，所以 ……………3分 故椭圆C的方程为 ……………5分 （2）①设， , 由 ，得 由，得 ， ……………7分 设PQ中点坐标为，则 ……………9分 因为在直线PQ上，所以，即 ……10分 所以，解得 ……………11分 ②存在点使得四边形DMHN为平行四边形， 因为D(2,1)在椭圆上，所以易知， 设直线DM的方程为 ……………12分 令，得 同理得 ……………14分 又由①知 所以 ………16分 所以线段MN的中点坐标为(3,0) 连接DH，则线段DH的中点坐标也为(3,0)， 由D(2,1)，可得 ， 所以点H的坐标为 ……………17分 高三数学第一次月考题参考答案 第1页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $