第2章一元二次方程培优卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程培优卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版

 

一、单选题

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ）

A． B．

C． D．

2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．方程的两个根是（   ）

A． B． C． D．

4．有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ）

A． B． C． D．或

5．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ）

A．2025 B．2023 C．2021 D．2019

6．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ）

A．2024 B．2025 C．2026 D．2027

7．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人

A．9 B．10 C．45 D．46

8．股票每天的涨幅、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．现有一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．设这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ）

A． B．

C． D．

 

二、填空题

9．若方程中不含x的一次项，则        ．

10．已知关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的最大整数值a为    ．

11．一元二次方程的根是        ．

12．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值      ．

13．若是关于x的方程的一个解，则的值为        ．

14．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是        ．

15．如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为     m．

16．对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是       ．

 

三、解答题

17．解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

18．已知是方程的根，求代数式的值．

19．大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

(1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件；

(2)为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？

20．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值．

21．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．

(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；

(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；

22．小丽的思考：对于代数式，无论取何值，都大于等于，再加上，则代数式大于等于．根据小丽的思考解决下列问题：

(1)试说明：代数式的最小值为．

(2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值．

23．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．

(1)经过几秒钟，点、之间的距离为？

(2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

《第2章一元二次方程培优卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	D	C	A	B	D	A	B	A

 

1．D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．

根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项．

【详解】解：选项A：，

当时，方程为一元二次方程，但题目未明确，因此不能确定，不符合题意；

选项B：，

方程中含项，属于分式方程，不符合整式方程的要求，不符合题意；

选项C：，

方程中含两个未知数和，不是关于的一元方程，不符合题意；

选项D：，

整理为标准形式，满足整式方程、只含且的最高次数为2，符合题意；

故选：D．

2．C

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把移项，再配方，得，即可作答．

【详解】解：∵，

∴，

则，

即，

故选：C

3．A

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；先移项，然后直接开平方法即可求解.

【详解】解：，

即，

，

，．

故选：A．

4．B

【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可

【详解】解：依题意得：，

整理得：，

解得：（舍去）

故选：B

5．D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义可得，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此求解即