精品解析：2025年云南省玉溪市红塔区中考数学模拟试卷（一）

2025年云南省玉溪市红塔区中考数学模拟试卷（一） 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（ ） A 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 2. 已知地球到空间站的距离约为3900000米．将3900000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，又，对应的函数值分别是，，若，则有（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A. B. C. D. 7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 8. 一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（ ） A. B. C. D. 9. 某校有2000名学生，随机抽取了200名学生进行身高调查，下列说法正确的是（　　） A. 总体该校2000名学生 B. 个体是每一个学生 C. 样本是抽取的200名学生 D. 样本容量是200 10. 一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( ) A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 11. 如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 13. 如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 14. 是一个平方差的形式，则“”里可以填（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（ ） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大再变小 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若代数式的值为0，则的值为________． 17. 抽样调查某班10名同学的身高（单位：厘米）如下：165，152，165，162，165，160，170，160，165，159.则这组数据的众数是________. 18. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点．若，则的长为____． 19. 一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是______（结果保留）． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，点D边上一点，交于点E，点F为延长线上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 某粮食种植基地为了提高小麦收割的效率，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1台甲种农机具比1台乙种农机具便宜1万元，用24万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1台甲种农机具和1台乙种农机具各需多少万元？ （2）该粮食种植基地计划购买甲、乙两种农机具共12台，且购买总费用不超过57.5万元，求至少需要购买多少台甲种农机具？ 23. “五一”小长假期间，小李一家想到以下四个5A级风景区旅游：A．石林风景区；B．香格里拉普达措国家公园；C．腾冲火山地质公园；D．玉龙雪山景区．但因为时间短，小李一家只能选择其中两个景区游玩 （1）若小李从四个景区中随机抽出两个景区，请用树状图或列表法求出所有可能的结果； （2）在随机抽出的两个景区中，求抽到玉龙雪山风景区的概率． 24. 如图，在四边形中，，对角线被另一条对角线垂直平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则的长为______． 25. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 26. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在该拋物线上且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 27. 如图，是的直径，点A是圆上任意一点，过点A作于点，交⊙于点，延长至点，连接，，延长和交于点． （1）若，求证：是⊙的切线； （2）在（1）的条件下，，，求的长； （3），，请计算的值（用含的字母表达）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年云南省玉溪市红塔区中考数学模拟试卷（一） 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若益实用“”表示，那么损实就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为斗， 故选：C． 2. 已知地球到空间站的距离约为3900000米．将3900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3900000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解题的关键是掌握“两直线平行，同旁内角互补”及其应用． 4. 已知函数，又，对应的函数值分别是，，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点坐标特点，根据反比例函数的增减性得出每个象限内y随x的增大而增大进而得出答案即可． 【详解】解：函数， 每个象限内随的增大而增大， ，， ， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，合并同类项，二次根式的性质，比例的计算，解答即可． 本题考查了完全平方公式，合并同类项，二次根式的性质，比例的计算，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. ，故错误，不符合题意； C. 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意， 故选Ｄ． 6. 2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是根据三视图，判断几何体的形状，根据三视图的形状和所标的长度即可判断，掌握常见几何体的三视图特征是解决此题的关键． 【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示： 故选：A． 8. 一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了寻找规律，观察单项式的符号、系数和指数的规律，得出第n个单项式的通式为，代入即可求解． 【详解】解：符号规律：单项式符号依次为正、负交替，第n项的符号为， 系数规律：系数绝对值为1, 3, 5, 7,…，即，结合符号得系数为， 指数规律：x的指数为项数n，即， ∴第n个单项式的通式为， 因此，第2025个单项式为， 故选：A． 9. 某校有2000名学生，随机抽取了200名学生进行身高调查，下列说法正确的是（　　） A. 总体是该校2000名学生 B. 个体是每一个学生 C. 样本是抽取的200名学生 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，根据总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答． 【详解】A、总体是该校2000名学生的身高，故A不符合题意； B、个体是每一个学生的身高，故B不符合题意； C、样本是抽取的200名学生的身高，故C不符合题意； D、样本容量是200，故D符合题意； 故选：D． 10. 一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( ) A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：， ∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A． 【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和． 11. 如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由判别式的意义可得，根据“阿凡达”方程的定义可得，即，把代入可得到，则，然后再逐项判断即可． 【详解】解：∵是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根， ∴，，即， ∴，即，即 ∴ ∴． 故选：A． 12. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点F是线段的中点，从而是中位线，则有，从而得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 即点F是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定，利用三角形中位线定理是解题的关键． 13. 如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（ ） A 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 14. 是一个平方差的形式，则“”里可以填（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是一个平方差的形式， ， “”里可以填， 故选：D． 15. 如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（ ） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大再变小 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形和平行四边形的面积公式得到． 【详解】解：，分别是和的中点， ，， ， ， ， ， 与的面积之和不变． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若代数式的值为0，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 17. 抽样调查某班10名同学的身高（单位：厘米）如下：165，152，165，162，165，160，170，160，165，159.则这组数据的众数是________. 【答案】165 【解析】 【分析】由题意直接根据众数的概念即出现次数最多的数据进行分析求解可得． 【详解】解：在这10个数据中，数据165出现次数4次，次数最多， 所以这组数据的众数为165． 故答案为：165． 【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的概念即一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 18. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点．若，则的长为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含的直角三角形的性质，勾股定理．先根据线段垂直平分线的性质得出，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于， ，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 19. 一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设， 根据题意可列方程为：， 解得：， 则， 大扇形的半径为，扇面的宽度为， ， 则 ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及分式的化简求值，掌握零指数幂的意义、二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数值、分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键． （1）根据零指数幂的意义、二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案． （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ， 当时，原式． 21. 如图，在中，点D为边上一点，交于点E，点F为延长线上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可证，可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 22. 某粮食种植基地为了提高小麦收割的效率，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1台甲种农机具比1台乙种农机具便宜1万元，用24万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1台甲种农机具和1台乙种农机具各需多少万元？ （2）该粮食种植基地计划购买甲、乙两种农机具共12台，且购买的总费用不超过57.5万元，求至少需要购买多少台甲种农机具？ 【答案】（1）购买1件甲台农机具需4万元，购买1件乙台农机具需5万元 （2）至少需要购买3台甲种农机具 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买1台甲种农机具需万元，则购买1台乙种农机具需万元，根据用24万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设需要购买台甲种农机具，则需要购买台甲种农机具，根据购买的总费用不超过57.5万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买1台甲种农机具需万元，则购买1台乙种农机具需万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：购买1件甲台农机具需4万元，购买1件乙台农机具需5万元； 【小问2详解】 设需要购买台甲种农机具，则需要购买台甲种农机具， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为3， 答：至少需要购买3台甲种农机具． 23. “五一”小长假期间，小李一家想到以下四个5A级风景区旅游：A．石林风景区；B．香格里拉普达措国家公园；C．腾冲火山地质公园；D．玉龙雪山景区．但因为时间短，小李一家只能选择其中两个景区游玩 （1）若小李从四个景区中随机抽出两个景区，请用树状图或列表法求出所有可能的结果； （2）在随机抽出的两个景区中，求抽到玉龙雪山风景区的概率． 【答案】（1）共有12种等可能结果；（2） 【解析】 【分析】(1)用A、B、C、D分别表示石林风景区；香格里拉普达措国家公园 ；腾冲火山地质公园；玉龙雪山景区四个景区，然后画树状图展示所有12种等可能的结果数； （2）在12种等可能的结果中找出玉龙风景区被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果； （2）∵抽到玉龙雪山风景区的结果数为6， ∴抽到玉龙雪山风景区的概率为. 【点睛】本题考查利用列举法求概率，学生们要熟练掌握画树状图法和列表法，是解本题的关键. 24. 如图，在四边形中，，对角线被另一条对角线垂直平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而得到，推出，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求出，进而得到，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵对角线被另一条对角线垂直平分， ∴，平分， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴在中， ∴， ∵，O为中点， ∴. 故答案为：4 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键． 25. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】（1）， （2） （3）该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【小问1详解】 解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； 【小问2详解】 解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 26. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在该拋物线上且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）设二次函数解析式为，把代入其中确定的值即可求解； （2）把代入（1）中解析式，得到关于、的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出、的值即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 图象与轴的交点为， 把代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：若在该抛物线上， 把代入中， ， ， ，为整数， 而2的因数有或， 或， 或0或3或， 或8或5或5， 或或或． 【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点，同时也利用了待定系数法求函数的解析式，解题的关键是需要求解出解析式． 27. 如图，是的直径，点A是圆上任意一点，过点A作于点，交⊙于点，延长至点，连接，，延长和交于点． （1）若，求证：是⊙的切线； （2）在（1）的条件下，，，求的长； （3），，请计算的值（用含的字母表达）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理的及其推论证明，即可由切线的判定定理得出结论； （2）证明，得到，从而求得，继而求得，设，，由勾股定理得，求解得，即，再由垂径定理得出，则由可求解； （3）过点作于点和，无证明，则设，，，，再证明，得到，从而求得．然后根据，求得，又因为，求得，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 为的直径， ； ； ， 又， ， 又， ， ， 于点A， 半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：，， ； ，即， ， ， ， 设，， 在中，， ， ， 即， 半径于， ， ． 【小问3详解】 解：过点作于点，如图， ， ， ∴， 设，，，， ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形等知识，此题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $