1.5等腰三角形的性质与判定同步练习2025-2026学年苏科版八年级数学上册
第1章|三角形
1.5等腰三角形的性质与判定
目标要求：①熟练掌握等边三角形的性质与判定 ② 掌握含 30°角的直角三角形性质③ 利用等边三角形的性质与判定解决相关问题 |
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基础过关提优
1.(2023·甘肃金昌)如图,BD 是等边三角形ABC 的边AC 上的高,以点 D 为圆心,DB 的长为半径作弧交 BC 的延长线于点E,则∠DEC 的度数为 ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
2.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为 ( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
3.(2024·甘肃兰州)如图,四边形 ABCD 为正方形,△ADE 为等边三角形,EF⊥AB于点 F.若AD=4,则EF= .
4. 如图,在△ABC 中,∠B=60°,∠EDC=∠BAC,且 D 为BC 的中点,DE=CE,则AE: AB 等于 .
5. 如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AD 平分∠BAC,DE∥AB,AD=3,CE=5,则AC 的长为 .
6.(教材 P48 练习 3 变式)如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是△ABC 内
部一点,F 是 BC 上一点,连接 BE,EF,BE=5,∠EBF =∠E =60°,AH 平分∠BAC,分别交 EF,BC 于D,H 两点,且DE=1,求 CF 的长.
能力拓展提优
7. (2025·江苏无锡模拟)如图,△ABC 是边长为2 的等边三角形，点P 在 AB 上，过点 P 作 PE⊥AC,垂足为 E,延长 BC到点Q,使 CQ=PA,连接 PQ,交 AC 于点D,则 DE 的长为 ( )
A. 0.5 B. 0.9 C. 1 D. 1.25
8.新素养 推理能力如图，在等边三角形 ABC中,AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,P是AB 上一动点,连接OP ,将线段 OP 绕点O 按逆时针方向旋转 60°得到线段OD.若要使点 D 恰好落在 BC 上，则线段AP 的长是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
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9.亮点原创·如图，△ABC 为等边三角形，∠BAD=105°,连接 BD,CD.若 AB=CD,则∠ADB 的度数为 .
10. (2024·新疆)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点 D 在直线 AB 上(不与 A,B两点重合),且∠BCD=30°,则AD 的长为 .
11.已知△ABC 为等边三角形，M 是直线BC 上任意一点，N是直线CA 上任意一点,且 BM=CN,直线 BN 与 AM 相交于点Q.
(1)如图①，若M，N两点分别在线段BC,CA 上,则∠BQM 等于多少度?
(2)如图②，若M，N两点分别在线段BC,CA 的延长线上,(1)中的结果是否仍然成立?请说明理由.
第2 课时 等边三角形的性质与判定
1. C 2. C 3. 2 4. 1: 2 5. 8
6. 因为∠EBF = ∠E = 60°,∠EBF +∠E +∠EFB=180°,所以∠EFB=180°-∠EBF-∠E=60°,即∠EBF=∠E=∠EFB=60°.所以△BEF 是等边三角形,所以 BF = EF =BE.又BE=5,所以 BF=EF=5.因为AB=AC,AH 平分∠BAC,所以 AH⊥BC,BH =CH,即∠DHF = 90°. 所 以∠HDF = 90°— 
即 
又 DE=1,所以DF=EF-DE =4,即 HF = 2.所以 CH =BH=BF-HF=3,即CF=CH-HF=1.
7. C 8. C 9. 30° 10. 6 或12
11. (1) 因为△ABC 为等边三角形,所以 AB =BC,∠ABM = ∠BCN = 60°. 在△ABM 和△BCN 中, 
所以△ABM≌△BCN(SAS).所以∠BAM=∠CBN.因为∠BQM=∠BAM+∠ABQ,所以∠BQM =∠CBN+∠ABQ=∠ABM=60°.
(2)成立.理由如下：因为△ABC 为等边三角形,所以 BA=BC,∠ABC=∠ACB=60°,即∠ABM=∠BCN. 在△ABM 和△BCN 中,
所以 △ABM ≌ △BCN
(SAS). 所以∠M = ∠N. 因为 ∠BQM =∠N+∠QAN,∠QAN=∠CAM,∠ACB=∠M+∠CAM,所以∠BQM=∠ACB=60°.
12. (1) BM+NC=MN 
解析:因为 DM=DN,∠MDN=60°,所以△MDN 是等边三角形.因为△ABC 是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC.因为 BD=CD,
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