第4章 指数函数、对数函数与幂函数 阶段测评(2)(范围4.2～4.4)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

阶段测评(二)(范围4.2～4.4) (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x-1| 解析　对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝＝3＝>f＝＝30＝1，显然f(x)＝3在(0，＋∞)上不单调递增，D错误． 答案　C 2．函数f(x)＝log2(1－x)的图象为(　　) 解析　函数f(x)＝log2(1－x)为减函数，排除C、D，又当x＝0时，y＝0，排除B，故A正确． 答案　A 3．已知a，b＞0且a≠1，b≠1.若logab＞1，则(　　) A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0 C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0 解析　解法一　logab＞1＝logaa，当a＞1时，b＞a＞1； 当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确． 解法二　取a＝2，b＝3，排除A、B、C，故选D． 答案　D 4．将a＝，b＝1.2，c＝这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解析　因为a＝，b＝，c＝，y＝，y＝x在[0，＋∞)上都是增函数，＞，＞， 所以＞，＞， 所以＞＞，即c＜a＜b. 答案　A 5．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[0，2] C．[1，＋∞] D．[0，＋∞) 解析　当x≤1时，21-x≤2＝21，故1－x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1；当x＞1时，1－log2x≤2，即log2x≥－1＝log2，∴x≥，此时x＞1，故不等式f(x)≤2的解集为[0，＋∞). 答案　D 6．已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在[a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) 解析　函数y＝lg t为增函数，t＝x2－4x－5的对称轴为x＝2，开口向上， 若函数在区间[a，＋∞)上单调递增，则a≥2且a2－4a－5>0，解得a>5. 答案　C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则(　　) A．ac＞bc B．abc＞bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 解析　对于A，y＝xc(c＞0)为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，故A正确；对于B，abc＞bac⇔＞，又y＝是减函数，故B正确；对于C，alogbc－blogac＝－＝＜0，故C正确；对于D，由对数函数的性质可知D不正确，故选ABC． 答案　ABC 8．已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 解析　对A，当a＝0时，解x2－1＞0有x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)值域为R，故B错误，C正确；对D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1对称轴x＝－≤2.解得a≥－4.但当a＝－4时f(x)＝lg (x2－4x＋3)在x＝2处无意义，故D错误． 答案　AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则m＝ ，f＝ ． 解析　因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－5m＋4＜0⇒1＜m＜4，因为m∈Z⇒m＝2或3，当m＝2或3时，都有m2－5m＋4＝－2，所以f(x)＝x-2，所以f＝4. 答案　2或3　4 10．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)＝ ；若f(f(a))＝2，则实数a＝ ． 解析　因为f(0)＝21-0＝2，f(2)＝log22-1＝－1， 所以f(0)＋f(2)＝2－1＝1； 设f(a)＝t，则f(t)＝2， 若t＜1，则21-t＝2，解得t＝0；若t≥1， 则log2t-1＝2，解得t＝(舍)； 当t＝0，即f(a)＝0时，若a＜1，则21-a＝0，方程无解； 若a≥1，则log2a-1＝0，解得a＝1； 综上所述：a＝1. 答案　1　1 11．若loga＜1(a＞0且a≠1)，则a的取值范围是 ． 解析　loga＜1＝logaa，则 当a＞1时，可得a＞，此时a＞1； 当0＜a＜1时，可得a＜，此时0＜a＜. 综上可得，a＞1或0＜a＜. 答案　∪(1，＋∞) 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x. (1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式； (2)画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间． 解析　(1)设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)， 因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x， 所以f(－x)＝log2(－x)， 又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)). (2)作出函数图象如图所示． 由图象可知，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0). 13．(15分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若f(x)＞1，求x的取值范围． 解析　(1)要使函数f(x)有意义，则ax－1＞0， 即ax＞1. ①若a＞1，则x＞0； ②若0＜a＜1，则x＜0. ∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0). (2)当f(x)＞1时，则loga(ax－1)＞1. ①当a＞1时，则x＞0，且ax－1＞a， ∴x＞loga(a＋1)； ②当0＜a＜1时，则x＜0，且ax－1＜a， ∴loga(a＋1)＜x＜0. 综上，当a＞1时，x的取值范围是(loga(a＋1)，＋∞)； 当0＜a＜1时，x的取值范围是(loga(a＋1)，0). 14．(15分)设函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若f(1)＝2，求函数f(x)在区间上的最大值； (3)解不等式loga(1＋x)＞loga(3－x). 解析　(1)由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a＞0，且a≠1)，所以a＝2，则f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)·(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， 函数y＝－(x－1)2＋4在(－1，1]上单调递增，在(1，3)上单调递减， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. (3)当a＞1时，解得不等式的解集为{x|1＜x＜3}； 当0＜a＜1时，解得不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 综上所述， 当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜3}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 学科网（北京）股份有限公司 $