专题03 抛物线（3大题型）（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题03 抛物线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抛物线的定义（常考点） 3 题型二、抛物线的性质 8 题型三、直线与抛物线的位置关系（重点） 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、抛物线的定义（常考点） 1．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【详解】因为为抛物线的焦点，所以， 设，因为，则，故到轴的距离为3. 故选：A． 2.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】对于抛物线，其焦点的坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点的坐标为，则， 设点的坐标为，由抛物线的定义可知， 已知，则，解得. 因为点为抛物线上一点，将代入抛物线方程可得，解得. 在中，，点到轴的距离即为中边上的高，即高， 因此的面积. 故选：C. 3.（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值， 【详解】（1）依题意由焦点到准线的距离为2可知， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，设, 易知直线的方程为， 联立，整理可得， 所以， 因此可得， 即以线段为直径的圆直径为16，可得圆面积 （3）设，重心． 令，，则． 由于直线过，故直线方程为， 代入，得，故，即， 所以． 又由于，及重心在轴上，故， 得，． 所以直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故． 从而． 令，则， 可得． 当时，取得最小值，此时． 题型二、抛物线的性质 4．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】 由抛物线的性质可知， 焦点，准线：. 又因为为的准线与的对称轴的交点， 所以. 因为位于上，则， 所以，故 根据两点间距离公式： ， 故选：B. 5.已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【详解】 分别过点M，N作，垂足为，则 由抛物线的定义，得 由，得， 则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴ , . 由图2，， ， , ， ∵M，O，B三点共线，∴ 综上，或9. 故选：C. 6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题：，设， 由抛物线定义知：， 又为的重心，所以，所以， 故选：B. 7.（多选）已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A．将的坐标代入C：，得，故A错误． 对于B，由题可得，点A，F的横坐标相同，所以直线轴，故B正确． 对于C，因为点A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正确． 对于D，若，因为，所以，故，解得，故D正确． 故选：BCD 8．（多选）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【详解】A（√）由抛物线，知其焦点为，准线方程为． B（√）如图所示，过作准线于点，则， 故， 当且仅当，，共线时（即图中），最小， 最小值为到准线的距离4.    C（×）由，当且仅当共线时取等号，故的最大值为． D（√）由，知的中点坐标为，而，故，所以以线段为直径的圆与轴相切． 故选：ABD 9.已知抛物线方程为，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．已知点，则 ；设点，若恒成立，则k的取值范围为 ． 【答案】 4 【详解】如图所示，过点Q作抛物线准线的垂线QE，垂足为点E， 设，则为锐角， 设抛物线的准线与x轴的交点为M，则， 由抛物线的定义可知，， 因为，所以， 所以， 当点P的坐标为时，，则， 此时． 当点时，若恒成立， 则，， 所以． 故答案为：4； 10.已知抛物线E：的焦点为F，焦距为的椭圆C：的左、右焦点分别为，（在F的右侧），E与C交于A，B两点，若为等边三角形，且A，，B三点共线，则 ． 【答案】 【详解】由题得轴，且过，所以为椭圆通径，故， 又，则①， 在中，由对称性，易知为等边三角形的角平分线， 所以， 则在中，，即， 则②，联立①②，得， 解得． 故答案为：. 题型三、直线与抛物线的位置关系（重点） 11.已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 12.已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 【答案】C 【详解】由点在抛物线C上，得，由，得，解得， 抛物线C：的焦点，设直线l：，， 由，得，则，则， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为25． 故选：C 13．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    设点，，直线， 联立，化简为，， ，， ， ， ，， ，， ，，， 又，直线与横轴交点的横坐标为2， ，， 则. 故选：B. 14．如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设：，：，，，， 联立得， 所以，即，，， 联立得， ，，， 所以，则， 故，． 又，所以，解得， 则，， 故， 点N到直线AB的距离， 故． 故选：A 15.(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 16．（多选）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交准线于，过点作准线的垂线，垂足为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，对于抛物线， 则，其焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 25．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 【答案】BCD 【分析】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的定义求解判断ABC；表示出的面积，进而求解判断D. 【详解】由抛物线，则，准线， 设直线的方程为，， 联立，则， 则，， 则， ， 而，. 对于A，由，则，即， 则，解得（舍去）或，即， 所以，或，， 则直线的斜率为或，故A错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是， 所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于D，， 点到直线的距离为， 则， 当时，的面积取得最小值8，故D正确. 故选：BCD.    17．（24-25高二下·广东深圳·期末）（多选）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【答案】ACD 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， 所以， 因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以， 所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以， 同理， 令，则，因为，则，所以， 所以， 所以，其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. （2025高三上·广东深圳·专题练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，直线，与直线分别交于点． (1)求的方程； (2)记的纵坐标分别为，当时，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，据此可得抛物线方程； （2）设直线方程为：，设，，由题可得 ，然后结合韦达定理可得答案. 【详解】（1）由题，焦点为，准线为， 因焦点到准线的距离为2，可得，则的方程为：； （2）由题，焦点为，准线为， 当直线的斜率为0时，显然不符合题意， 则设直线方程为：，其斜率为. 将直线方程与抛物线方程联立，消去x得： ，判别式为：，设，， 则，又，则，， 从而直线方程为：，直线方程为：， 将两直线方程分别与直线AB方程联立：， 则， 从而， 又由韦达定理：，， 则. 从而直线的斜率为. 68．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知过点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为坐标原点，且. (1)求的值； (2)设点，记直线，的倾斜角分别为，，证明：； (3)，为过点的两条直线，且直线与轴的正半轴交于点，直线与轴的负半轴交于点，记点到直线，的距离分别为，，若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）联立直线与抛物线方程得韦达定理，进而根据数量积的坐标运算，代入即可化简求解， （2）根据两点斜率公式，即可化简求解斜率之和为0. （3）根据相切，可得切线长定理以及勾股定理，即可结合基本不等式求解. 【详解】（1）设直线的方程为， 由，得. 设，， 则，， 故，解得， （2）， 而 ， 所以， 因此，互补，即； （3）以为圆心，1为半径作圆, 由于，且,故直线与圆相切， 故记与圆的切点分别为,，连接， 由题意得 . 由切线长定理，知，，， 所以 又 ， 所以，解得 所以 ， 当且仅当，由于，即时，取等号. 故面积的最小值为8. 1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 3．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 4.（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（   ） A．点的横坐标为 B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C．直线的斜率为 D．若的周长为12，则 【答案】ACD 【详解】解：由题可知∥轴.因为为等边三角形，所以，则点在线段的中垂线上. 设的中点为,连接，则. 设,,的坐标分别为，，，因为，，所以，所以选项A正确. 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，因为，所以，则.将代入方程，可得，所以得，即,从而，所以选项B错误. 因为，所以直线的斜率为，所以选项C正确. 若的周长为12，则.因为，所以，解得，所以选项D正确. 或 故选：ACD. 5.（2025·河北保定·三模）（多选）已知抛物线C 的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线与C交于两点，分别记C在点A，B处的切线为，，则下列说法正确的是（    ） A．C准线方程为 B． C． D．若 则 【答案】BCD 【详解】抛物线中，焦点到准线的距离为，故抛物线方程为， 焦点，准线. 选项A：准线方程为，故A错； 选项B：设直线的方程为：，联立抛物线得： 则，故B对.    选项C：抛物线方程为，设过的切线斜率为，则切线方程为： ，联立抛物线方程得：，即 ， 因为为切点，方程有唯一解， 所以，结合，化简得. 所以 同理，. 联立抛物线在A、B处切线方程：， 故点的坐标为，由B知，，故点. 所以， 最小值在时取得，此时，故C对. 选项D：根据抛物线焦点弦长公式：，故D对. 故选：BCD. 6.（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的标准方程为， 由的准线方程为，得， 故的标准方程为； （2）将代入，得， 设，则， ， 所以， 所以，即； （3）联立，得， 设， 则，所以， 所以， ， 所以的周长为， 因为函数为增函数，且， 所以方程的解为， 所以.    7．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)设为上且不与O重合的一点， （ⅰ）若与面积相等，求的坐标； （ⅱ）若在曲线段上，求面积的最大值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）或或；（ⅱ） 【详解】（1）设：， 则： 而，所以. （2）（ⅰ），与有相同的底，只需要其高相同即可. ①设：，，故 ②设：，或，即：或 综上：或或 （ⅱ）的底 要使高最大，即：与相切： ，， 此时，，，.    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 抛物线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抛物线的定义（常考点） 1 题型二、抛物线的性质 2 题型三、直线与抛物线的位置关系（重点） 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、抛物线的定义（常考点） 1．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．3 B． C．4 D．5 2.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 题型二、抛物线的性质 4．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 5.已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7.（多选）已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 8．（多选）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 9.已知抛物线方程为，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．已知点，则 ；设点，若恒成立，则k的取值范围为 ． 10.已知抛物线E：的焦点为F，焦距为的椭圆C：的左、右焦点分别为，（在F的右侧），E与C交于A，B两点，若为等边三角形，且A，，B三点共线，则 ． 题型三、直线与抛物线的位置关系（重点） 11.已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12.已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 13．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 14．如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 15.(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 16．（多选）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交准线于，过点作准线的垂线，垂足为，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·广东深圳·期末）（多选）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 18.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，直线，与直线分别交于点． (1)求的方程； (2)记的纵坐标分别为，当时，求直线的斜率． 19．已知过点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为坐标原点，且. (1)求的值； (2)设点，记直线，的倾斜角分别为，，证明：； (3)，为过点的两条直线，且直线与轴的正半轴交于点，直线与轴的负半轴交于点，记点到直线，的距离分别为，，若，求面积的最小值. 1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 4.（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（   ） A．点的横坐标为 B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C．直线的斜率为 D．若的周长为12，则 5.（2025·河北保定·三模）（多选）已知抛物线C 的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线与C交于两点，分别记C在点A，B处的切线为，，则下列说法正确的是（    ） A．C准线方程为 B． C． D．若 则 6.（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)设为上且不与O重合的一点， （ⅰ）若与面积相等，求的坐标； （ⅱ）若在曲线段上，求面积的最大值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $