第16讲 数列的概念及其表示（六大题型）（专项训练）（上海专用） 2026年高考数学一轮复习讲练测

第16讲 数列的概念及其表示 目录 01 常考题型过关练 题型01 确定数列中的最大（小）项 题型02 根据数列的单调性求参数 题型03 判断数列的增减性 题型04利用an与sn关系求通项或项 题型05 数列周期性的应用 题型06 由递推数列研究数列的有关性质 02 核心突破提升练 01 确定数列中的最大（小）项 1．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 2．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 【答案】B 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 3．已知数列中，，则下列说法正确的序号是 . ①此数列没有最大项；②此数列的最大项是； ③此数列没有最小项；④此数列的最小项是. 【答案】② 【详解】由，得 ， 对于函数，， 设，则， 当，即时，函数取得最大值， 当时，，函数为增函数， 当时，，函数为减函数， 所以数列中，当时，数列递增，且， 当时，数列递减，此时有， 所以数列的最大项是，最小项为. 故答案为：②. 4.设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，不妨设， 所以或， 所以或， 所以或 因为，，所以， 所以， 因为，所以 所以，又， 所以 所以，又 若，为偶数时， 要使最大，则最小，又，所以， 所以当时取最大值，最大值为 若，为奇数时， 要使最大，则最小，又，所以， 所以当时取最大值，最大值为， 同理可得 若，为偶数时，则的最大值为 若，为奇数时，则的最大值为 又， 所以的最大值为， 故答案为：. 5.对于数列、、，若对任意的恒成立，则称数列、、具有性质.设； （1）证明：数列、、具有性质的一个充分条件为：； （2）若，、、满足（1）的充分条件，求； （3）若、、的每一项均为有理数，但每一项均为无理数，试给出数列、、具有性质的充要条件.若在此条件下令，试探究数列的一些性质（如单调性，极限，的最大项等）. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）单调递减，，. 【详解】（1），， 所以，， 因此，数列、、具有性质的一个充分条件为：； （2），且，可得， 所以，，， 所以，， ， ，因此，； （3），， ， 、、为有理数列，为无理数列， ，所以， 当时，则，则， 令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，数列单调递减，，数列的最大项为. 6.设数列中前两项给定，若对于每个正整数，均存在正整数（）使得，则称数列为“数列”. （1）若数列为的等比数列，当时，试问：与是否相等，并说明数列是否为“数列”； （2）讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由； （3）已知数列为“数列”，且 ，记，，其中正整数， 对于每个正整数，当正整数分别取1、2、、时的最大值记为、最小值记为. 设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值. 【答案】（1）为“数列”；（2）当时,为“数列”；当时,不是“数列”；（3）；当时，取最大值为 【详解】（1）与相等, 因为是等比数列,所以, 则, 当时,,, 所以, 所以与相等； 因为对每个正整数，均存在且,使得 所以为“数列” （2）因为首项为、公为“数列”差为的等差数列, 所以, 当时,对每个正整数,均存在正整数且使得, 所以当时,为“数列”； 当时, , 若, 则,解得,不符合题意, 所以不是“数列” （3）由题可知,对于每个正整数,均有,, 且对于所有正整数,均有,即, 对于每个正整数,选取恰当的正整数,使得,, 由, 则, 即, 类似的, ,即, 因为,,, 所以,, 所以, 因为,所以, 所以, 即, 所以正整数时,成立,即正整数时,成立, 所以在正整数满足时,当时,取得最大值为 7.已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为，如数列：时，，，. （1）已知数列：，写出集合及； （2）求证：不存在， （3）求的最大值以及的最小值，并说明理由. 【答案】（1），；（2）证明详见解析；（3）的最大值为17，的最小值为16，理由详见解析. 【详解】（1）， ，. （2）假设， 设 则 即，因为，所以. 同理，设 可以推出， 中有两个元素为1，与题设矛盾， 故假设不成立，所以不存在. （3）的最大值为17，的最小值为16. ①例如数列：. 此时，，. 得到是可能的. ②现只需证明：的最小值为16. 先证明为不可能的，假设域. 设， 可得， 即，元素最大值为10，所以. 又 ， 同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以. 而由已知条件得到是可能的， 所以的最小值为16. 02 根据数列的单调性求参数 8．设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 【答案】C 【详解】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到， 由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素. 当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得， 此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确.   对于B选项，当时，有且. 要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素， 所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了， 这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确.   对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得. 由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误.   对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，. 由此得到方程，整理得，解得或， 因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确.   故选：C. 9．（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ． 【答案】 【详解】因为的前项和为，为增数列， 所以数列从第二项开始要为正数， ， 则范围为. 故答案为： 10.，任意，满足，求有序数列有 对. 【答案】48 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 11.已知定义在R上的函数满足，当时，．设在区间（）上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 因为定义在上的函数满足， 所以， 令，则， 当时，有， 即当时，， 又， 令，则，，有， 所以当时，， 同理可得，时，， 根据规律，得当，， 且此时的在单调递增， 又因为为在区间上的最小值， 所以，，，，， 若存在，使得有解， 则有有解，进而必有， 令，设最大，则， 即，即，即最大； 所以当时，有， 所以. 故答案为： 【点睛】易错点睛：本题的易错点在由有解得到，而不是，要注意不等式恒成立和不等式有解的等价条件的区别： 若恒成立，则； 若有解，则. 12.已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列是等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． （2）因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 13.已知数列满足，且． (1)求的值； (2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，故，即. 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 从而，.所以. （2）设数列满足， 因为数列为严格增数列， 故对正整数恒成立，   即对正整数恒成立， 当时，取到最小值.所以. 14.若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”. (1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）； (2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值； (3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值. 【答案】(1)是上的“弱增函数”，理由见解析 (2)1 (3)所有可能的值为和 【详解】（1）函数是上的“弱增函数”，理由如下： 显然，是上的严格增函数， 对于函数，， 当时，恒成立， 故是上的严格减函数， 从而是上的“弱增函数”. （2）记， 由题意得， ， 由是上的“弱增函数”可得函数是上的严格增函数，而是上的严格减函数， 函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数， 令，则， 当，即时，解得或， 当时，，则函数在上单调递减， 即函数是区间上的严格减函数， 由是上的“弱增函数”，得， 所以， 所以的最大值为1. （3）， 由是“弱增数列”得，即. 又因为d是偶数，所以， 从而. 故， 由得，所以当时，，即， 故若，则不存在和，使得. 从而. 若，解得，满足； 若，解得，满足； 若，解得，不满足. 当时，，故不存在大于5的正整数，使得. 综上，所有可能的值为和. 03 判断数列的增减性 15．设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】为等比数列，设公比为， 当，数列不一定是递增数列， 如当，时，中的各项均为负数， ，是递减数列，充分性不成立； 当数列为递增数列时，不一定成立， 如当，时，，，，必要性不成立. “” 是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 16.治理垃圾是改善环境的重要举措．地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的（记2020年为第年）. (1)写出地每年需要焚烧垃圾量与治理年数的表达式； (2)设为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列为递减数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量构成数列. 当时，是首项为，公差为的等差数列， 所以； 当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以， 所以，治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量的表达式为 （2）为数列的前项和，则． 由于 由（1）知，时，，所以为递减数列， 时，，所以为递减数列， 且，所以为递减数列， 于是，因此，所以数列为递减数列． 04利用an与sn关系求通项或项 17．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【详解】对数列：① ② ①－②得：， 所以是以3为公比的等比数列， 令， 对①：若，. 因为，且为整数，，其余. 以为例，. 若，则，这与矛盾. 所以不能恒成立.故①为真. 对②：以为例： 设， 令，则方程的解有，，，，5个满足. 即时，数列的“数列”有5个. 当时，， 令，则方程满足的解的个数更多. 即时，数列的“数列”多于5个. …… 依次类推：当数列至少5个，故②为真. 故选：A 18．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 05 数列周期性的应用 19．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 20.已知，且（为正整数），则 . 【答案】 【详解】因为，且， 所以，， ，， ，，， 所以是以为周期的数列， 因为， 所以. 故答案为： 21.数列满足，，若对于大于2的正整数，，则 . 【答案】 【详解】由题意知：， 故是周期为3的周期数列，则. 故答案为：. 22.已知为实数，数列满足：①；②．若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列． (1)当时，求的值； (2)求证：存在正整数，使得； (3)设是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)8 (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）解：当时，又 ，，，， 所以； （2）证明：当时，， 所以在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列， 即， 所以当足够大时，总可以找到，使， 当时，则存在，使得， 当时，则存在，使得， 综上所述存在正整数，使得． （3）解：当时，，， 当时，由（2）得，存在正整数，使得， 因此此时不存在，所以， 所以，， 故此时数列是以2为周期的周期数列， 当时，则， 由（2）得，存在正整数，使得， 因此此时不存在， 所以此时数列不是周期数列， 所以当时，数列是以2为周期的周期数列， ，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以存在，使得． 06 由递推数列研究数列的有关性质 23.若项数为10的数列， 满足 ， 且， 则数列中最大项的最大值为 . 【答案】8 【详解】因为，所以或， 不妨设， 即中相邻两项相差最大为2，但又要保证，则数列中的项有增有减， 假如中有个2，增量最大为，则有项是减少的， 则必有，所以，解得或4， 取，取最大值0，按最大连续增量8计算，有，即中有最大值为． 故答案为：8 24．（2025·上海黄浦·三模）一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为 ． 【答案】 【详解】由点A出发，经过偶数次移动只能到达点，经过奇数次移动后只能到达， 考虑移动（为偶数）次返回到的路径数为，显然； 由于移动次后只能位于点，其中位于再移动1次可回到， 则考虑移动次后所在点，把这4个点分成两类，点和点， 若在点，路径数为，再移动2次返回到只有3种折返路径； 若在（路径数为）中的一个，再移动2次返回路径数， 每个点处都有2条路径（）， 因此移动（为偶数）次返回到的路径数， 即，累加得，总路径数为， 因此青蛙跳跃（为偶数）次后恰好回到的概率， 所以六次跳跃后回到顶点A的概率为 故答案为： 25．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 【答案】 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. 一、单选题 1．已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列存在最小项 D．数列存在最大项 【答案】C 【详解】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列； 对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项； 当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值 综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误 故选：C 2．数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（   ） A．数列是常数列 B．若，则是递增数列 C．若，则 D．若，则的最小项的值为 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，则， 而不一定成立，故不一定是常数列，A错误； 由，显然且，即不单调，B错误； 若，则，，故，偶数项为3，奇数项为， 而，C错误； 若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确. 故选：D 3．数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 【答案】A 【详解】设数列的前项和为，的前项和为，则，， 当时，， 当时，， 经验证，时成立，所以， 同理可求得，适合； 所以， 令， 又，，，， ， 当时，，，所以，且时，， 则， 所以当时，，数列单调递增，得； 当时，，数列单调递减，得； 当时，，数列单调递增，得； 由此可知最大，最小， 综上所述，数列存在最大项，也存在最小项. 故选：A 二、填空题 4.已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】因为①， 当时，；当时，②． ①－②可得，则③，且，不符合式③， 所以． 故答案为：. 5.已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，且为递增数列， 所以，即，解得， 故答案为： 6.已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 . 【答案】 【详解】因，则，， ，，，， 可见4是数列的一个周期，且， 故. 故答案为：. 7.若各项均为正整数的无穷数列满足，则数列 单调数列（填“是”或“不是”）；符合条件的数列有 个. 【答案】 不是 15 【详解】由，可得， 用换得， 两式作差得. 若存在无穷多个，使得，设这些的值从小到大排列依次为， 因为，所以， 所以对于任意的，都有， 对于每一个，， 所以为无穷递减数列， 又∵，，所以每次递减的值至少是1，但，这就产生了矛盾； 所以只能存在有限多个，使得， 所以存在，使得当时都有. 这就可以得到数列不可能是单调数列. 于是将代入中可得， 因为的因数只能是的形式，所以其因数个数共有个， 所以有序数对的值也一共有15对， 每一对的值唯一的决定了其后面的所有项， 同时由递推公式得可知，每一对的值唯一的决定了其前面的所有项， 所 以数列一共有15个. 故答案为：不是；15. 8．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    【答案】 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    三、解答题 9.若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【答案】(1)或 (2)（i）或；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题知，， 解得，或； （2）（i）由题知，则，， 由，则；， 由，则；，但，， 所以；而，… 以此类推，当，时，. 所以若3是数列中的项， 则或或，解得或. （ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且， 所以，同取以2为底的对数，得， 即.又，所以， 则， 累乘整理，得， 所以时，. 当时，符合上述不等式， 所以，结论得证. 10.若数列满足，则称为“阶跃数列”. (1)若，判断是否为“阶跃数列”； (2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围； (3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”. 【答案】(1)为“阶跃数列”； (2). (3)证明见解析 【详解】（1）令，则， 所以，即，所以为“阶跃数列”； （2）令， 则， 又为“阶跃数列”，所以， 所以，即， 令，则，所以为递减数列， 所以当时，取到最大值1，所以. （3）因为为“阶跃数列”，所以，即， 所以 所以. 当时，， 整理得， 所以，即； 当时， 所以对，即数列是“阶跃数列”. 11.已知数列的通项公式为（表示不超过实数的最大整数），数列的通项公式为. (1)写出数列的前6项； (2)试判断与是否为数列中的项，并说明理由； (3)证明：数列与数列的公共项有无数多个. 【答案】(1)，，，，，； (2)不是数列中的项，是数列中的项，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）依题意，数列的通项公式为， 所以，，， ，，； （2）不是数列中的项，是数列中的项，理由如下： 由，，则， 又，，，则不是数列中的项； 又，， 又，，， 则，故是数列中的项； （3）先证明存在无穷多个正整数使得，（其中表示的小数部分）， 假设只有有限个正整数使得， 不妨设， 则当任意的,时，， 不妨设某个，，且，为正自然数， 不妨设为一个具体的常数，且，故 由于为正整数，故， 的取值为， 由于，因此一定存在某个使得， 故，这与矛盾. 故假设不成立， 因此存在无穷多个正整数使得， 对于每个满足的正整数，令， 则有， 所以有，即， 从而， 所以数列与数列的公共项有无数多个. 12.定义：是无穷数列，若存在正整数k使得对任意，均有则称是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列的间隔数 （1）若，是不是近似递增数列，并说明理由 （2）已知数列的通项公式为，其前n项的和为，若2是近似递增数列的间隔数，求a的取值范围： （3）已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数. 【答案】（1）是近似递增数列，详见解析（2）（3）证明见解析； 【详解】（1）是近似递增数列,理由如下： 因为， 或[注：2，3，4，…，都是间隔数.] 即，所以是近似递增数列. （2）由题意得， 所以对任意恒成立， 即恒成立，. 令，则， 即a的取值范围是. （3）因为等价于， 即，（*） 因为n，k是正整数，所以，均取不到， 所以时上式恒成立，即是近似递减数列，4是它的间隔数. 当，当时，，故不等式（*）不成立； 当，当时，，故不等式（*）不成立； 当，当时，，故不等式（*）不成立； 所以，4是它的最小间隔数. 23.对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列” （1）若求数列的前n项和； （2）证明：数列的“收缩数列”仍是； （3）若，求所有满足该条件的数列． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列的通项公式为，，． 【详解】（1）由可得为递增数列， 所以， 所以. （2）因为， ，所以 所以， 所以，又因为， 所以， 所以数列的“收缩数列”仍是. （3）由， 可知当时，， 当时，，则，因为，所以， 当时，，即（*）， 若，则，所以由（*）可得，与矛盾； 若，则，所以由（*）可得，即与同号，这与相矛盾； 若，则，所以由（*）可得，符合， 猜想，满足的数列为 ，，， 经验证左边， 右边， 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件， 由上述的情况可知，时是成立的， 假设是首次不符合，的项，则， 由题设条件可得， 即（&）， 若，则，所以由（&）式化简可得与矛盾， 若，则，所以由（&）式化简可得，所以与同号，这与矛盾， 若，则，所以由（&）化简可得，这与矛盾， 所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件， 所以所有满足条件的数列的通项公式为，，. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 数列的概念及其表示 目录 01 常考题型过关练 题型01 确定数列中的最大（小）项 题型02 根据数列的单调性求参数 题型03 判断数列的增减性 题型04利用an与sn关系求通项或项 题型05 数列周期性的应用 题型06 由递推数列研究数列的有关性质 02 核心突破提升练 01 确定数列中的最大（小）项 1．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 2．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 3．已知数列中，，则下列说法正确的序号是 . ①此数列没有最大项；②此数列的最大项是； ③此数列没有最小项；④此数列的最小项是. 4.设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为 ． 5.对于数列、、，若对任意的恒成立，则称数列、、具有性质.设； （1）证明：数列、、具有性质的一个充分条件为：； （2）若，、、满足（1）的充分条件，求； （3）若、、的每一项均为有理数，但每一项均为无理数，试给出数列、、具有性质的充要条件.若在此条件下令，试探究数列的一些性质（如单调性，极限，的最大项等）. 6.设数列中前两项给定，若对于每个正整数，均存在正整数（）使得，则称数列为“数列”. （1）若数列为的等比数列，当时，试问：与是否相等，并说明数列是否为“数列”； （2）讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由； （3）已知数列为“数列”，且 ，记，，其中正整数， 对于每个正整数，当正整数分别取1、2、、时的最大值记为、最小值记为. 设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值. 7.已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为，如数列：时，，，. （1）已知数列：，写出集合及； （2）求证：不存在， （3）求的最大值以及的最小值，并说明理由. 02 根据数列的单调性求参数 8．设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 9．（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ． 10.，任意，满足，求有序数列有 对. 11.已知定义在R上的函数满足，当时，．设在区间（）上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ． 12.已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 13.已知数列满足，且． (1)求的值； (2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围． 14.若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”. (1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）； (2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值； (3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值. 03 判断数列的增减性 15．设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16.治理垃圾是改善环境的重要举措．地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的（记2020年为第年）. (1)写出地每年需要焚烧垃圾量与治理年数的表达式； (2)设为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列为递减数列． 04利用an与sn关系求通项或项 17．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 18．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 05 数列周期性的应用 19．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 20.已知，且（为正整数），则 . 21.数列满足，，若对于大于2的正整数，，则 . 22.已知为实数，数列满足：①；②．若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列． (1)当时，求的值； (2)求证：存在正整数，使得； (3)设是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由． 06 由递推数列研究数列的有关性质 23.若项数为10的数列， 满足 ， 且， 则数列中最大项的最大值为 . 24．（2025·上海黄浦·三模）一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为 ． 25．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 一、单选题 1．已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列存在最小项 D．数列存在最大项 2．数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（   ） A．数列是常数列 B．若，则是递增数列 C．若，则 D．若，则的最小项的值为 3．数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 二、填空题 4.已知数列满足，则 ． 5.已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ． 6.已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 . 7.若各项均为正整数的无穷数列满足，则数列 单调数列（填“是”或“不是”）；符合条件的数列有 个. 8．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    三、解答题 9.若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 10.若数列满足，则称为“阶跃数列”. (1)若，判断是否为“阶跃数列”； (2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围； (3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”. 11.已知数列的通项公式为（表示不超过实数的最大整数），数列的通项公式为. (1)写出数列的前6项； (2)试判断与是否为数列中的项，并说明理由； (3)证明：数列与数列的公共项有无数多个. 12.定义：是无穷数列，若存在正整数k使得对任意，均有则称是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列的间隔数 （1）若，是不是近似递增数列，并说明理由 （2）已知数列的通项公式为，其前n项的和为，若2是近似递增数列的间隔数，求a的取值范围： （3）已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数. 23.对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列” （1）若求数列的前n项和； （2）证明：数列的“收缩数列”仍是； （3）若，求所有满足该条件的数列． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $