专题01 因式分解（期中复习讲义）（必备知识+7大题型+分层检测）八年级数学上学期鲁教版五四制

专题01 因式分解（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 因式分解的定义与概念 能准确判断一个代数式的变形是否为因式分解，能说明其与整式乘法的互逆关系。 基础必考点，常以选择题形式出现。易错点在于混淆因式分解与整式的乘法运算。 2. 提公因式法 能熟练确定多项式各项的公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂），并能正确提取公因式。 核心高频考点，几乎所有因式分解题的第一步都要考虑此法。易错点：提取公因式后，括号内的项数应与原式相同，特别注意某项全部提出后剩下的是1而不是0。 3. 公式法（平方差） 能识别符合平方差公式 的多项式，并能正确运用公式进行分解。 高频考点。易错点：① 忽略公式的前提是“平方差”（即两项符号相反）；② 没有将系数也写成平方的形式（如）；③ 分解不彻底（如 应继续分解为）。 4. 公式法（完全平方） 能识别符合完全平方公式的多项式，并能正确运用公式进行分解。 高频考点。易错点：① 对中间项“2ab”的符号判断错误；② 首尾两项不是完全平方数（式）；③ 中间项不是首尾两项平方根乘积的2倍。 5. 综合提公因式与公式法 能综合运用提公因式法和公式法，按照“一提二套”的步骤对复杂多项式进行彻底分解。 期中考试的压轴题常见考点，难度和分值较高。命题趋势：常出现在解答题中，用于考察学生的综合能力和思维顺序。易错点：分解不彻底，或提取公因式后未能及时发现可继续使用的公式。 说明：相当于“知识工具箱”，梳理本章节基础知识，提炼本单元核心概念、公式、法则等，注意添加示例或易错点以理解透彻该知识点。 知识点01 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点02 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点03 公式法 （1）平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： （2）完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 知识点05 因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型一 已知因式分解的结果求参数 解｜题｜技｜巧 根据因式分解结果与原多项式恒等的性质，通过对比系数建立方程求解参数。关键在于确保各项系数对应相等，注意符号和次数，代入验证结果合理性。 【典例1】把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 【变式1】多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】若多项式可分解为，则a+b的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解以及多项式乘以多项式法则．根据多项式乘以多项式法则把展开，再求出a，b的值，进而求解． 【详解】解：∵可分解为， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式3】若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 【答案】 【分析】本题考考查了对整式分解因式的运用能力，掌握十字相乘法是解本题的关键．本题可利用这一公式，根据题意可设另一个因式为，可以得到，进而得出的值． 【详解】解：根据题意可设另一个因式为， ， ∴， ，． 故答案为：． 题型二 提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 首先确定各项系数的最大公因式和相同字母的最低次幂，将公因式提取到括号外。注意多项式首项为负时先提取负号，提取后括号内项数与原式一致。 【典例1】因式分解： ． 【答案】 【分析】观察式子 ，发现每一项都含有公因式 ，通过提取公因式来进行因式分解．本题主要考查了因式分解中的提取公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 【详解】解：, 故答案为： 【变式1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握用提取公因式法分解因式． 对原式变形，提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 【变式2】因式分解：； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： ． 【变式3】分解因式． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：原式． 题型三 利用平方差公式分解因式 解｜题｜技｜巧 适用于二项式，识别“a²-b²”形式，准确找到两个平方项及其底数。分解为(a+b)(a-b)，注意系数和指数均可为平方形式，分解后需化简。 【典例1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式1】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知是解题的关键．根据平方差公式进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式3】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式即可． 【详解】． 故答案为：． 题型四 利用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 针对三项式，判断是否符合“a²±2ab+b²”结构，确认首尾为平方项，中间为两底数积的2倍。分解为(a±b)²，注意符号与中间项一致。 【典例1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；由完全平方公式即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可． 【详解】解：A、，常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平方公式进行分解因式； B、，符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进行分解因式； C、，有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解因式； D、，只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分解因式； 故选：B． 【变式2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，公因式因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用整式的乘法运算展开，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型五 综合利用提公因式和公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 遵循“先提公因式，再套公式”的顺序。提取公因式后观察剩余因式结构，选择平方差或完全平方公式继续分解，确保每一步彻底分解。 【典例1】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤及注意点是解答的关键． （1）先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】多项式因式分解的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，先看能不能提公因式，再看能不能套用平方差和完全平方公式，然后考虑十字相乘，多项式项数大于3项的就要考虑分组分解法．先提取公因式a，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式2】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式3】将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 题型六 利用因式分解进行简便计算 解｜题｜技｜巧 将复杂数字或式子转化为因式乘积形式，优先凑整或产生公因数。通过提取公因式或应用公式简化运算，注意观察数字特征灵活处理。 【典例1】计算： ． 【答案】199 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，正确理解用平方差公式因式分解是解题的关键．用平方差公式因式分解化简计算即可． 【详解】． 故答案为：199． 【变式1】小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【答案】B 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： ∴能被2022，2023，2024整除， 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式2】计算： ． 【答案】3.98． 【分析】直接提取公因式1.99，即可得答案． 【详解】1.992+1.99×0.01 =1.99×（1.99+0.01） =1.99×2 =3.98. 故答案为：3.98． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【变式3】利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型七 在实数范围内因式分解 解｜题｜技｜巧 不仅考虑有理数，还需将平方差式(a²-b²)进一步分解为。注意二次项系数也需化为平方形式，确保所有因式均为实数不可约。 【典例1】在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 【变式1】实数范围内分解因式 ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，对于第一空直接利用平方差公式分解因式，对于第二空先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 【变式2】在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先提取公因数2，再由平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解中的换元法以及十字相乘法、平方差公式的综合运用．将四次多项式转化为二次多项式，随后对二次多项式分别运用十字相乘法分解，解题的关键是对于能继续用平方差公式分解的部分进一步分解，最终完成高次多项式的因式分解． （1）首先使用换元法转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原，最后运用平方差公式进行求解即可． （2）首先使用换元转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式变为， 所以． 再把代回，得到． 再将分解，得． （2）解：设，则原式变为． 所以． 再把代回，得到． 进一步分解，，， 所以． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 2．（20-21八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（2025·云南楚雄·三模）下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 4．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 6．（21-22八年级上·陕西西安·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值和因式分解的应用．利用因式分解把分解为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 7．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （2）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解． （4）先计算整式的乘法进行计算，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，将各式因式分解后进行判断即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键， 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不能进行因式分解，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知一个正方形的面积是，则该正方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长．正方形的面积等于边长的平方，因此需将给定的面积表达式因式分解为完全平方形式，求得边长后乘以4得到周长． 【详解】题目给出的面积为 ，将其按降幂排列为 ， 观察 ，发现其符合完全平方公式 ， 其中，，，因此 ， 所以正方形的边长为 ， 由于题目中 ，故 ，边长为 ， 正方形的周长为：， 选项A为边长，非周长，不符合题意， 选项B和C在时为负数，不符合题意， 选项D符合计算结果，符合题意， 故选：D． 11．（24-25八年级上·四川内江·开学考试）如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 12．（21-22八年级下·陕西西安·期末）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 13．（24-25九年级下·山东滨州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式． 先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 14．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，熟练运用乘法公式是解题的关键． （1）提公因式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式，进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 15．（24-25七年级下·山东济南·期中）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于两个建筑的占地面积(图中阴影)展开了讨论． 数据采集： 两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)其中，求这两个建筑物的占地面积的差是多少？ 【答案】(1)回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为 (2)这两个建筑物的占地面积的差是 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，完全平方公式因式分解的应用，掌握长方形的面积计算公式和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形面积公式，根据大长方形的面积-空白长方形的面积计算回字形福建土楼的占地面积，直接计算阴影部分的面积得到山西大院的占地面积即可； （2）将化为两个完全平方之和等于的形式，根据偶次方的非负性质分别求出，的值，从而求出这两个建筑物的占地面积的差即可． 【详解】（1）解：， ． 答：回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 答：这两个建筑物的占地面积的差是． 16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题； (1)分解因式：______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状． 【答案】(1) (2)当时，最小值是5 (3)周长为5，它是等腰三角形， 【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出最小值； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，根据三角形的三边关系求出c的值，即可判定的形状． 【详解】（1）解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： （2）解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是5； （3）解：∵， ∴ 即， ， ， ∵根据三角形三边关系有， ∴， ∵c为正整数， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式，平方差公式，平方非负性的应用，，三角形的三边关系等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 17．（21-22八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用公式法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 多项式的最小值是； （3）解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 18．（24-25八年级下·山东济南·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)是4的倍数．说明见解析 (3) 【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键； （1）根据即可判断； （2）计算的结果，根据结果即可作出判断； （3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“智慧数”； 故答案为：是； （2）解：是4的倍数． 理由如下： ， 而是4的倍数， ∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数； （3）解： ． 19．（24-25七年级下·山东青岛·期中）我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，，比较M和N的大小，先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以． (1)图1所示是边长为的正方形边长增加得到的正方形，此正方形的面积为；图2所示是边长为的正方形一边增加，另一边减小，得到的长方形，此长方形的面积为．请用作差法比较与的大小． (2)已知，，请用作差法比较M与N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用以及多项式乘以多项式，熟练掌握相关公式及方法是解题关键． （1）根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值；然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可； （2）根据作差法比较M与N的大小即可． 【详解】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴； （2），， ∴ ， ∴． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2) (3)代数式有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方式和因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键： （1）如果两个多项式A、B满足，那么A就叫做完全平方式，据此求解即可； （2）根据题意可知两平方项为，据此确定一次项即可得到答案； （3）仿照题意利用完全平方公式把原式变形为，再根据偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：①不是完全平方式；②不是完全平方式；③是完全平方式；④不是完全平方式， 故答案为：③； （2）解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为． 21．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空 ； 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： ； 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解： 尝试运用：例题把多项式因式分解： ； 请依次解决下列问题： (1)将“观察猜想”，“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容； (2)利用上述方法因式分解：； (3)利用上述方法因式分解：． 【答案】(1)①，②（①、②两处内容可以互换），③，④，⑤，⑥（⑤、⑥两处内容可以互换） (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解、整式的乘法与图形面积，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）观察猜想：根据三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积即可得①和②；说理验证：根据提取公因式的方法分解因式即可得③④⑤⑥； （2）将改写成，参考“说理验证”的方法分解因式即可得； （3）将改写成，参考“说理验证”的方法分解因式即可得． 【详解】（1）解：观察猜想：∵三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积， ∴， 说理验证： ， 故答案为：①，②（①、②两处内容可以互换），③，④，⑤，⑥（⑤、⑥两处内容可以互换）． （2）解： ． （3）解： ． 22．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)①；②时，S的值最大，最大值是9． 【分析】本题考查了配方法的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）对M、N作差，可得，再利用平方的非负性解答即可； （3）①利用三角形的面积公式求出S关于t的代数式即可；②利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）①由题意，，， ， t的取值范围是：， ； ②， ，当时，它的最大值是0， 的最大值是9， 即时，S的值最大，最大值是9． 23．（24-25八年级上·山东济南·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图形，可以发现多项式因式分解为_________； (2)若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： __________________（因式分解形式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形与整式乘法，熟练掌握整式乘法的应用是解题的关键， （1）利用两种不同的方法计算图中的面积，即可得到从而得到答案； （2）根据题意可得：所有裁剪线长之和为：，由于每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，所以可得到，，进而求出的值，即可得到答案； （3）根据图中图形的变化关系可得到几何体的体积不变，分别求出几何体变化前后的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由图1可得：矩形的面积为：， ∵； 故答案为：． （2）解：由图得，所有裁剪线长之和为：， 每块小长方形的面积为4， ， 四个正方形的面积之和为34， ， ∴， ∴， 或（舍去）， ， （3）解：由图2中左图得，几何体体积为：， 由图2中右图得，几何体体积为：， ． 24．（24-25八年级上·山东烟台·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤； (2)见解析，； (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法，因式分解与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到三个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解的结果再展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 综上：的值为：9或21或12． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 因式分解的定义与概念 能准确判断一个代数式的变形是否为因式分解，能说明其与整式乘法的互逆关系。 基础必考点，常以选择题形式出现。易错点在于混淆因式分解与整式的乘法运算。 2. 提公因式法 能熟练确定多项式各项的公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂），并能正确提取公因式。 核心高频考点，几乎所有因式分解题的第一步都要考虑此法。易错点：提取公因式后，括号内的项数应与原式相同，特别注意某项全部提出后剩下的是1而不是0。 3. 公式法（平方差） 能识别符合平方差公式 的多项式，并能正确运用公式进行分解。 高频考点。易错点：① 忽略公式的前提是“平方差”（即两项符号相反）；② 没有将系数也写成平方的形式（如）；③ 分解不彻底（如 应继续分解为）。 4. 公式法（完全平方） 能识别符合完全平方公式的多项式，并能正确运用公式进行分解。 高频考点。易错点：① 对中间项“2ab”的符号判断错误；② 首尾两项不是完全平方数（式）；③ 中间项不是首尾两项平方根乘积的2倍。 5. 综合提公因式与公式法 能综合运用提公因式法和公式法，按照“一提二套”的步骤对复杂多项式进行彻底分解。 期中考试的压轴题常见考点，难度和分值较高。命题趋势：常出现在解答题中，用于考察学生的综合能力和思维顺序。易错点：分解不彻底，或提取公因式后未能及时发现可继续使用的公式。 说明：相当于“知识工具箱”，梳理本章节基础知识，提炼本单元核心概念、公式、法则等，注意添加示例或易错点以理解透彻该知识点。 知识点01 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点02 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点03 公式法 （1）平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： （2）完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 知识点05 因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型一 已知因式分解的结果求参数 解｜题｜技｜巧 根据因式分解结果与原多项式恒等的性质，通过对比系数建立方程求解参数。关键在于确保各项系数对应相等，注意符号和次数，代入验证结果合理性。 【典例1】把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【变式2】若多项式可分解为，则a+b的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式3】若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 题型二 提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 首先确定各项系数的最大公因式和相同字母的最低次幂，将公因式提取到括号外。注意多项式首项为负时先提取负号，提取后括号内项数与原式一致。 【典例1】因式分解： ． 【变式1】因式分解： ． 【变式2】因式分解：； 【变式3】分解因式． 题型三 利用平方差公式分解因式 解｜题｜技｜巧 适用于二项式，识别“a²-b²”形式，准确找到两个平方项及其底数。分解为(a+b)(a-b)，注意系数和指数均可为平方形式，分解后需化简。 【典例1】因式分解： ． 【变式1】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】分解因式： ． 题型四 利用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 针对三项式，判断是否符合“a²±2ab+b²”结构，确认首尾为平方项，中间为两底数积的2倍。分解为(a±b)²，注意符号与中间项一致。 【典例1】因式分解： ． 【变式1】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】因式分解： ． 【变式3】因式分解： ． 题型五 综合利用提公因式和公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 遵循“先提公因式，再套公式”的顺序。提取公因式后观察剩余因式结构，选择平方差或完全平方公式继续分解，确保每一步彻底分解。 【典例1】分解因式： (1) (2) 【变式1】多项式因式分解的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】分解因式： ． 【变式3】将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 利用因式分解进行简便计算 解｜题｜技｜巧 将复杂数字或式子转化为因式乘积形式，优先凑整或产生公因数。通过提取公因式或应用公式简化运算，注意观察数字特征灵活处理。 【典例1】计算： ． 【变式1】小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【变式2】计算： ． 【变式3】利用因式分解计算： (1)； (2)． 题型七 在实数范围内因式分解 解｜题｜技｜巧 不仅考虑有理数，还需将平方差式(a²-b²)进一步分解为。注意二次项系数也需化为平方形式，确保所有因式均为实数不可约。 【典例1】在实数范围内分解因式： ． 【变式1】实数范围内分解因式 ； ． 【变式2】在实数范围内因式分解： ． 【变式3】在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·云南楚雄·三模）下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 6．（21-22八年级上·陕西西安·期末）已知，求的值． 7．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 8．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知一个正方形的面积是，则该正方形的周长为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·四川内江·开学考试）如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 12．（21-22八年级下·陕西西安·期末）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 13．（24-25九年级下·山东滨州·期中）计算： ． 14．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) 15．（24-25七年级下·山东济南·期中）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于两个建筑的占地面积(图中阴影)展开了讨论． 数据采集： 两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)其中，求这两个建筑物的占地面积的差是多少？ 16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题； (1)分解因式：______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 17．（21-22八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用公式法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 18．（24-25八年级下·山东济南·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 19．（24-25七年级下·山东青岛·期中）我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，，比较M和N的大小，先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以． (1)图1所示是边长为的正方形边长增加得到的正方形，此正方形的面积为；图2所示是边长为的正方形一边增加，另一边减小，得到的长方形，此长方形的面积为．请用作差法比较与的大小． (2)已知，，请用作差法比较M与N的大小． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 21．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空 ； 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： ； 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解： 尝试运用：例题把多项式因式分解： ； 请依次解决下列问题： (1)将“观察猜想”，“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容； (2)利用上述方法因式分解：； (3)利用上述方法因式分解：． 22．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 23．（24-25八年级上·山东济南·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图形，可以发现多项式因式分解为_________； (2)若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： __________________（因式分解形式） 24．（24-25八年级上·山东烟台·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $