专题03 旋转（期中真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03旋转 ☆6大高频烤点概览 考点01旋转的性质 考点02中心对称 考点03中心对称图形 考点04关于原点对称的点的坐标 考点05旋转作图 考点06旋转与几何综合问题 目目 考点01 旋转的性质 1.(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)如图，矩形OABC的顶点A,C分别在y轴和x轴上，点B的坐标为 (2,4),将矩形0ABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OAB'C,则点B的坐标为() A.(-4,-2)B.(-4,2) C.(2,4) D.(4,2) 2.(24-25九上·湖北孝感孝南区期中)如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得 到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论不正确的是() B A.∠BCE=∠ACD B.BC=EC C.AB=FED.BF⊥CE 3.(2425九上湖北孝感应城期中)如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=3,AB=5,现将 AB绕点B顺时针旋转90·到BD,连接CD,则△BCD的面积为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.6 B.12 C.8 D.16 4.(24-25九上湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体，期中)如图，将△ABC绕点B逆时针旋转 48°，得到△DBE,连接EC,若EC‖AB,则∠CBD的度数为() D B A.160 B.180 C.20o D.240 5.(24-25九上湖北武汉江汉区·期中)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，点A的对应点为D,点B的对应 点为E,若B恰好是线段CD与AE的交点，且∠DCE=34·,则∠A的度数是() D B A.34o B.39 C.42° D.45o 6.(24-25九上湖北武汉新洲区阳逻街·期中)在平面直角坐标系中，己知点A(2,4),将点A绕原点逆时针 旋转90°得到点A,则0A'的长度为 7.(24-25九上湖北武汉武昌区部分学校期中)在平面直角坐标系中，将点A(3,V3)绕点0顺时针旋转 150°，得到点A,则点A的坐标为一· 8.(24-25九上湖北孝感应城期中)如图，在△ABC中，∠BAC=110°，将△ABC绕点C逆时针旋转 得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,连接AD,当点A,D,E在同一条直线上时，则旋转角 ∠ACD=-· / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 9.(24-25九上湖北宜昌第十六中学教联体·期中)如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后， 得到△ABC,且C在边BC上，则∠ACB的度数为 B R C 10.(24-25九上湖北襄阳襄州区·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=135°，将△ABC绕点A逆时针旋 转90°得到△ADB,连接CD,若AB=3V5,BC=3,则线段CD的长为一· D 11.(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)如图，将将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE,且 点E落在线段BC上 B (1)旋转中心是点，旋转角是 和 (2)当旋转角为26°时，求∠AED的度数 12.(2425九上湖北武汉青山区·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，将△ABC绕 点C顺时针旋转a°得到△DEC,点D恰好落在边AB上 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求a的值； (2)点F是边DE上一点，DE=mDF,连接CF.当m=时，四边形ACFD为平行四边形 13.(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=《,点E在对角线BD上，将线段 DE绕点D顺时针旋转角a,得到DF,连接AF、CE,求证：△ADF兰△CDE. 14.(2425九上·湖北孝感应城期中)如图，己知△ABC,以AB为边作等边△ABD,连接CD,将 △ADC绕点A逆时针旋转60·得到△ABE,BE,DC相交于点F. D A (1)求证：△ACE是等边三角形. (2)求∠DFE的度数， 15.(24-25九上湖北襄阳襄州区期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60·,AC=4,将 △CAB绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE,点D恰好在AB边上，连接BE,求BE的长. 16.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度，得到△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.且 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A、B、E在同一条直线上. (1)求证：DA平分∠BDE: (2)AC与DE交于点O,∠A0E=95°，求旋转角a的度数. 17.(23-24九上湖北襄阳老河口期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=50°，将 Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△ADE,点C的对应点E落在AB上，连接BD,CE,延长CE交BD于点F. B (1)求∠BDE的度数： (2)若BD=8,求EF的长. 目目 考点02 中心对称 1.(24-25九上湖北荆楚联盟·期中)如图，△ABC与△ABC关于点O成中心对称，则下列结论不成立的 是() A.点C与点C是对称点 B.OA=0A C.∠ACB=∠CAB D.BCB C 2.(24-25九上湖北武汉江汉区·期中)在平面直角坐标系中，将函数y=x2-2x+t的图象记为C1,将C1绕 原点旋转180°得到图象C2,把C1和C2合起来的图形记为图形C.则当-1≤t≤1时，直线y=x+1与 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图形C的交点的个数是() A.2 B.4 C.2或3 D.3或4 3.(24-25九上湖北武汉武昌区三校联考期中)如图，函数G图象是由y=x2+2x+2(x≤0)的图象C1和 它关于(0,2)成中心对称的图象C2组成.下列说法：①函数G图象关于y轴对称；②当一1≤x≤1时， 函数G随x的增大而增大；③直线y=k与G图象有三个交点，则1<k<3,且k≠2；④已知不重合的 两点A(a,ya),B(b,yb)在函数G的图象上，且a<0<b,a+b=0,若当a≤x≤b时，函数G的 最大值和最小值为均为定值，则a的取值范围为一1一V2≤a≤一1.其中正确的命题有 (填序号). C 4.(24-25九上湖北荆楚联盟期中)如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,点B, 点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）· 4 O (1)作点A关于点O的对称点A1: (2)连接A1B,将线段A1B绕点A1顺时针旋转90·得点B对应点B1,画出旋转后的线段A1B1: (3)连接AB1,请你画一条直线把四边形ABA1B1的面积分成相等的两部分， 5.(24-25九上湖北荆州松滋期中)在平面直角坐标系中，△AB0的三个顶点坐标分别为A(2,3)、 B(3,1)、0(0,0). 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 r- -r- (1)将△AB0向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1O1: (2)点O为对称中心，画出与△AB0成中心对称的△A2B,0; (3)直接写出四边形ABA2B2的面积_， 目目 考点03 中心对称图形 1.(24-25九上湖北孝感孝南区·期中)下面的图案是中国移动、中国联通、中国电信以及华为公司的10g0, 其中图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A 2.(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中下列国产汽车车标是中心对称图形的是( B 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25九上湖北十堰期中)现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列 汉字既是轴对称又是中心对称图形的是（) 大美十堰 D 4.(24-25九上·湖北孝感应城期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 5.(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)下列APP图标中，是中心对称图形的是() B D 6.(24-25九上湖北荆州实验中学.期中)围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017 年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部 分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是() 7.(2425九上·湖北黄冈蕲春县)剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的 深刻感悟，下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25九上·湖北宜昌夷陵区实验初中教育集团·期中)下列图形是中心对称图形的是() 有害垃圾 可回收物 厨余垃圾 A. Recyclable 其他垃圾 C Food waste D. Residual Waste 9.(2425九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形 的是（) A B. 10.(24-25九上湖北武汉汉阳区·期中到2035年，我国的现代化建设将基本实现.2035四个数字中不是中 心对称图形的是（) 目目 考点04 关于原点对称的点的坐标 1.(24-25九上·湖北孝感云梦县·期中)在平面直角坐标系中，点(2，一1)关于原点的对称点的坐标是() A.(1,-2)B.(-2,1) C.(-12) D.（-2,-1) 2.(24-25九上湖北武汉汉阳区·期中)在平面直角坐标系中点A(1,2),则点A关于原点成中心对称的点坐 标为 3.(24-25九上湖北荆州实验中学期中点M(2,一4)关于原点对称的点的坐标是」 4.(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)己知点P(-b,1)与点Q(3,a)关于原点对称，则a+b的值是_ 5.(24-25九上湖北荆楚联盟·期中)若点Aa,1)与点B(5,b)关于原点对称，则a+b= 6.(24-25九上湖北武汉武昌区部分学校期中)若点A(m,2),B(-1,n)关于原点对称，则 m-n= 7.(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体期中)如图，矩形ABCD的对角线相交于原点 O,已知A(-1,3,B(3,-1),则点C的坐标为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 8.(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)点A(a,-5)关于原点对称的点是B(3,b),则 a十b= 9.(24-25九上湖北宜昌第十六中学教联体·期中)在平面直角坐标系中，点(1，一6)关于原点对称的点的坐 标是 10.(24-25九上湖北襄阳第三十一中学期中)在平面直角坐标系中，点A(-3,2)绕原点顺时针旋转180· 所得点的坐标是 目目 考点05 旋转作图 1.(24-25九上湖北武汉青山区·期中)如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶 点叫做格点，△ABC的顶点A,C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边AC与网格线的交点.仅 用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. B 图1 图2 (1)在图1中，先将线段AC绕点A顺时针旋转90·得到线段AD,再在线段AB上画点N,使得 ∠AMN=45o; (2)在图2中，先画点P,使得点A绕点P逆时针旋转90°得到点C,再画点B关于直线PM的对称点Q. 2.(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方点叫做格点. A,B,C三点在格点，点D在AC上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图， 专题03 旋转 6大高频考点概览 考点01 旋转的性质 考点02 中心对称 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点05 旋转作图 考点06 旋转与几何综合问题 地 城 考点01 旋转的性质 1．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，点B的坐标为，将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，根据矩形的性质和旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：点的坐标为， 将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， 故选：B． 2．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，线段的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据旋转性质以及角的运算或线段的运算得出逐项判断即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ，，，，故B选项正确，不符合题意； ，即，故A选项正确，不符合题意； ， ，故C选项不正确，符合题意； 设和交于点H， 在，，， ， ，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)如图，在中，已知，，，现将绕点B顺时针旋转到，连接，则的面积为（　　） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，先根据勾股定理解求出，作于点E，证明 ，推出，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解： 中，，，， ，， 由旋转知，， ， ， 如图，作于点E， 在和中， ， ， ， ． 故选C． 4．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)如图，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，等腰三角形的性质；根据旋转的性质得，，，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，再由平行线的性质即可得到的大小，利用和差关系即可得结果． 【详解】解：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】点睛片段 5．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为，若恰好是线段与的交点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，利用三角形内角和定理求得，再根据三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：由旋转可知，， ∴． ∴． 故选：B． 6．(24-25九上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点逆时针旋转90°得到点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中旋转的性质以及两点间距离公式知识点，解题的关键是理解旋转前后线段长度不变，利用两点间距离公式求出的长度，即的长度． 【解析过程简要分析】通过点坐标求长度，再根据旋转性质得到，进而得到长度． 【详解】作轴于点，如图， 由旋转的性质可知：， ∴的长度为， 故答案为：． 7．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，勾股定理，含角直角三角形的性质，解直角三角形，过点作 轴于点，过点作轴于点，由旋转性质可知，，，，通过正切可求出，然后根据角度和差可得，再由含角直角三角形的性质得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 由题意得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 8．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，则旋转角 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由旋转的性质可知，，又点，，在同一条直线上，则，最后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)如图，中，将绕点A顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，则可得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得，，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期中)如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点A作，由旋转的性质可判断出为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，即，根据勾股定理列式，解一元二次方程即可求出，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，连接，过点A作， 绕点逆时针旋转得到， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即在同一条直线上， ， 为等腰直角三角形， 设，即， 在中，, ，解得：或（舍去） 在中，, ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，旋转的性质求解，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理并求解为解题关键． 11．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 12．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上． (1)求a的值； (2)点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形． 【答案】(1)60 (2)2 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再证明为等边三角形得到，从而得的值； （2）先根据旋转的性得到，，再证明，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，接着中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以，从而得到的值． 【详解】（1）解： 绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 为等边三角形， ， 即的值为60； （2）解： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 当时，四边形为平行四边形， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和平行四边形的判定． 13．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定；由菱形的性质，，由旋转性质得，，由即可判定；掌握菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 证明：四边形为菱形， ，， 由旋转性质知：，， ， ， 在和中， （）． 14．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)如图，已知，以为边作等边，连接，将绕点A逆时针旋转得到，相交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识． （1）由旋转得，，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形； （2）由是等边三角形，得，而，可推导出，则． 【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， 由旋转的性质得，， ． 15．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期中)如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，求的长． 【答案】 【分析】由旋转的性质，可证、都是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出的长，即可得到． 【详解】解：将将绕点按逆时针方向旋转得到， 则，，， ，， 是等边三角形，， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， 则， ， ， 故答案为：． 16．如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上． (1)求证：平分； (2)与交于点O，，求旋转角α的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； （2）解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，， ∵， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 解得：， 旋转角的度数为． 17．(23-24九上·湖北襄阳老河口·期中)如图，在中，，，将绕点A旋转得到，点C的对应点E落在AB上，连接，延长交于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，问题随之得解； （2）根据等角对等边证明，即有，问题随之得解． 【详解】（1）解：将绕点A旋转得到， ，，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 的性质，证明等边三角形是解题的关键． 地 城 考点02 中心对称 1．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A．点C与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点与点是对称点，，，， ∴ ∴结论错误． 故选：C． 2．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)在平面直角坐标系中，将函数的图象记为，将绕原点旋转得到图象，把和合起来的图形记为图形．则当时，直线与图形的交点的个数是（    ） A．2 B．4 C．2或3 D．3或4 【答案】B 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数的旋转变换．数形结合是解题的关键． 由题意知，直线与轴的交点为，与轴的交点为，由：，可知的顶点坐标为，进而可求：；如图，由题意知，与直线有2个交点，当时，与轴交点为顶点，：；联立得，，则，方程有两个不相等的实数根，则与直线有2个交点，当时，的顶点在第二象限，与直线有2个交点，进而可知当时，与直线有2个交点，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，直线与轴的交点为， 当时，， 解得，， ∴直线与轴的交点为， 由题意知，：， ∴的顶点坐标为， ∵， ∴， 如图， 由题意知，与直线有2个交点， 将绕原点旋转得到图象，则的顶点坐标为， ∴：； ∵， ∴， 当时，与轴交点为顶点，：； 联立得，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴与直线有2个交点， 当时，的顶点在第二象限，与直线有2个交点， ∴当时，与直线有2个交点， 综上所述，直线与图形的交点的个数是4个， 故选：B． 3．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)如图，函数G图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G图象关于y轴对称；②当时，函数G随x的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则，且；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值为均为定值，则a的取值范围为．其中正确的命题有 ．（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的中心变换及数形结合的数学思想，根据中心对称的性质求出的解析式是解答本题的关键．先根据中心对称求出的解析式，利用数形结合，即可判断①②③，要使当时该函数的最大值和最小值均与、的值无关，则，据此求出的范围，即可得到的取值范围，即可判断④． 【详解】解：图象，，其顶点坐标为， ∵图象和图象组成中心对称图形，对称中心为点， ∴图象的开口与图象方向相反，大小相同，其顶点坐标为， ∴图象，， 对于函数G，当时，，当时，， ∴函数G图象不关于y轴对称，故①不正确； 结合图形，当时，函数G随x的增大而增大，故②正确； 直线与G图象有三个交点，则，故③不正确； ∵，， ∴，关于对称， 当时，，当时，， ∵当时，函数G的最大值和最小值为均为定值， 结合图形可知，当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； 当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； ∴，此时，函数G的最大值和最小值均为定值，故④正确； 故答案为：②④． 4．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)作点A关于点O的对称点； (2)连接，将线段绕点顺时针旋转得点B对应点，画出旋转后的线段； (3)连接，请你画一条直线把四边形的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图．熟练掌握利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图，是解题的关键． （1）利用中心对称的性质作图即可； （2）利用旋转的性质作图即可； （3）找到中点以及中点，连接两个中点的直线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：连接，再画出； （3）解：找到中点以及中点，连接两个中点，并延长画直线，可把四边形的面积分成相等的两部分． 5．(24-25九上·湖北荆州松滋·期中)在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．    (1)将向右平移4个单位，画出平移后的； (2)点O为对称中心，画出与成中心对称的； (3)直接写出四边形的面积 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)14 【分析】本题主要考查了考查作图-平移变换、中心对称、三角形的面积公式、正方形的面积公式等知识，熟练掌握其性质并能正确地画出图形是解决此题的关键． （1）将向右平移4个单位，对应顶点的坐标分别为，，，画出即可； （2）与关于原点成中心对称，则，，画出即可； （3）取四点、、、，画出正方形，使点分别在上，即可由正方形的面积减去分别以、、、为直角顶点的四个直角三角形的面积，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形；    （2）解：如图，为所作，    （3）解：如图，取四点、、，，依次连接点、、、，得到正方形，   ， ， ， 故答案为：； 地 城 考点03 中心对称图形 1．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)下面的图案是中国移动、中国联通、中国电信以及华为公司的，其中图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)下列国产汽车车标是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，符合题意． 故选：C． 3．(24-25九上·湖北十堰·期中)现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称进行分析即可． 【详解】解： A．“大”是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．“美”是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．“十”是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意； D．“堰”不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 4．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 5．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)下列图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形是中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、该图形不是中心对称图形，不合题意； 、该图形不是中心对称图形，不合题意； 、该图形是中心对称图形，符合题意； 、该图形不是中心对称图形，不合题意； 故选：． 6．(24-25九上·湖北荆州实验中学·期中)围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D．不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 7．(24-25九上·湖北黄冈蕲春县·)剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟，下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 8．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区实验初中教育集团·期中)下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 9．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形）和中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B、是是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 故选：B． 10．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕对称中心旋转180度后与自身重合．据此即可判断． 【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：C． 地 城 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：点关于原点O的对称点的坐标为， 故选：B． 2．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)在平面直角坐标系中点，则点关于原点成中心对称的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是中心对称，关于原点对称的点的坐标的知识，熟练掌握两对称点的坐标之间关系是解题的关键；分别找出已知点A的横、纵坐标的相反数，即可作答． 【详解】解：依题意，关于原点成中心对称的点坐标为， 故答案为：． 3．(24-25九上·湖北荆州实验中学·期中)点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解，掌握于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 4．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)已知点与点关于原点对称，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，代数式求值，熟练掌握其性质是解题关键． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反求出，，然后代入进而得出即可． 【详解】∵点与点关于原点对称 ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 5．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为： ． 6．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)若点，关于原点对称，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 7．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)如图，矩形的对角线相交于原点O，已知，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，关于原点对称的性质．矩形的对角线相互平分可知点与关于原点对称，从而得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，即点与点关于原点对称， 点， 点的坐标是． 故答案为：． 8．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)点关于原点对称的点是，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点是， 故答案为：2． 9．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 10．(24-25九上·湖北襄阳第三十一中学·期中)在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转所得点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，根据绕原点旋转后两点关于原点对称，再根据关于坐标原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答． 【详解】解：∵点绕原点旋转后所得点与点A关于坐标原点对称， ∴所得的点的横坐标为3，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 地 城 考点05 旋转作图 1．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先将线段绕点A顺时针旋转得到线段，再在线段上画点N，使得； (2)在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转得到点C，再画点B关于直线的对称点Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可．利用网格特征构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求； （2）利用网格特征作出等腰直角三角形即可，线段交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，线段交直线于点，连接延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段，点即为所求； 由旋转的性质可得， 点分别是的中点， 是等腰直角三角形， ； （2）解：如图2中，点，点即为所求． 由作图可得， ， ， 点A绕点P逆时针旋转得到点C， 由作图可得， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 点B与点Q关于直线的对称． 2．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方点叫做格点．三点在格点，点D在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．          (1)在图1中，先画的平分线，再将绕点A旋转，使得旋转后的三角形的顶点都是格点，画出旋转后的三角形； (2)在图2中，先画点G，使四边形为平行四边形，再在上画点H，使． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，然后利用等腰三角形的性质和矩形的性质可得是角平分线，根据旋转变换的性质分别作出的对应点进而即可得到答案； （2）根据平行四边形的判定定理作出图形，作点C关于的对称点，连接′交于点H，连接，点H即为所求． 【详解】（1）解：如图1，是角平分线，即为所求； （2）如图2，四边形，点H即为所求． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．(24-25九上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形的四个顶点都是格点，点E也是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，按步骤完成下列问题． (1)将线段绕B点逆时针旋转，点E的对应点为F，画出线段； (2)画线段的中点G； (3)连接，并延长交于点H，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为 【分析】本题主要考查了作图－旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明得出FH的长是解题的关键． （1）根据旋转的性质，作出点的位置即可； （2）连接，根据矩形的性质可知对角线的交点即为点； （3）利用，可求得，即可解决问题． 【详解】（1）如图所示，线段BF即为所求； （2）如图所示，连接EF，根据矩形的性质可知对角线的交点即为点G； （3）如图， 在中， ， ∵G是的中点， ∴， ∵， G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 4．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点，，，，，五个点均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，若点和关于点中心对称，画点； (2)在图（1）中，若点绕点逆时针旋转后得到点，画点； (3)在图（2）中，在线段上画点，使； (4)在图（2）中，画满足条件的格点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据网格的特点画出的中点即为所求， （2）将绕点逆时针旋转得到，再找到的对应点（与网格线的交点）， （3）连接，交于点，则即为所求； （4）找到上格点（的中点）以及关于的对称点即为所求 【详解】（1）解：如图所示，连接，根据网格画出的中点即为所求， （2）解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，再找到的对应点（与网格线的交点）， （3）如图所示，连接，交于点，则即为所求； 连接， ∵ ， ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴是直角三角形，， ∴四点共圆， ∴， 设 ∴，， ∴点即为所求； （4）如图所示，找到上格点（的中点）以及关于的对称点即为所求 如图所示，连接 由（3）可得四点共圆，，则为直径， 又为的中点，即为圆心， ∴ 根据对称性可得 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，作线段的中点，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，圆周角定理及其推论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)（1）在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． ①请在图1中，画出将绕点D逆时针旋转得到的． ②若圆O经过A，B，C三点，请在图2中作出圆O的圆心O点． （2）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺在图3中画出四个顶点在两抛物线图象上的矩形（保留作图痕迹）． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，旋转作图，确定圆心，作矩形； （1）找到各自的对应点，再连接即可得到； （2）分别作出和的垂直平分线，交点即为圆心； （3）根据两个抛物线关于轴对称，分别连接两个抛物线顶点与坐标轴的交点延长与抛物线的交点，连接即可得到四个顶点在两抛物线图象上的矩形． 【详解】解：（1）①如图，即为所求； ①如图，圆O的圆心O即为所求； （2）如图所示的矩形即为所求． 地 城 考点06 旋转与几何综合问题 1．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区实验初中教育集团·期中)如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】连接，旋转得到，三线合一得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用勾股定理构造方程进行求解，是解题的关键． 2．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)如图，点是正方形边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，交边于点，取中点，连接，当取最小值时，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，连接，过作射线，证明出动点在确定的射线上，其中，再利用将军饮马模型找出当取最小值时，的位置，证明，得到，进一步得出，从而作出判断． 【详解】解：在上截取，连接，过作射线， 四边形是正方形， ，，，， ，即，， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 动点在确定的射线上，其中， 作点关于的对称点，则在的延长线，连接，连接交于点， 则，， ， 最小值为，此时位于处， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则的值是． 故选：B． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，，而，则，在上截取，连接，，，则是等边三角形，由旋转得，，则是等边三角形，可证明，得，则，所以，取的中点L，连接交于点I，连接，，则，所以垂直平分，则，，求得，，进而求得，由，得，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， 在上截取，连接，，，则是等边三角形，， ∴，， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在经过点H且与直线所夹的锐角为的直线上运动，， ∴， 取的中点L，连接交于点I，连接，，则， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．(24-25九上·湖北黄石黄石港区·期中)如下图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小，转化成”将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为的直线上运动，再作对称求解即可. 【详解】解：如图，过点作，交、于、，过点作于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形和都是矩形， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称最短路径问题等内容，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键. 5．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为 ．    【答案】 【分析】由旋转得，而平分，所以垂直平分，则，而，可证明是等边三角形，由，求得，则，，由，得，求得，则，所以，且，由，得． 【详解】解：由旋转得， ∵的角平分线经过的中点， ∴，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是等边三角形是解题的关键． 6．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当 时，的长最小，此时的面积为 ． 【答案】 2 【分析】过点作于点，连接，由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得，设，则，，由勾股定理求可得，可证得是等边三角形，结合等边三角形的性质可推出，由勾股定理得 ，据此即可求出最小时的以及此时的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由旋转的性质得：， ， ， ， 由三线合一可得：， 设，则， ， ， ， ，， ， 点为的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当时，的值最小， 当时，的值最小， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，根据题意作出恰当的辅助线，熟练运用勾股定理及二次函数的性质进行求解是解题的关键． 7．(24-25九上·湖北宜昌长江中学·期中)（1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证，得； （2）先证是等边三角形，得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，再证，得，过点作，交的延长线于点，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可解决问题； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，则，由，得取最小值时，点在上，再由旋转的性质得，，然后证，得，设的长为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）， ，把绕点顺时针旋转，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），， 是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示： 则，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，如图所示： 则， ， 取最小值时，点在上， 如图所示： 由旋转的性质得：，， ，正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的长为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 当取最小值时的长为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；拓展创新： 【分析】问题背景∶由判定，由全等三角形的性质即可得证； 尝试应用：延长至，使得，连接，，由判定，由全等三角形的性质得，，再由 判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质即可求解； 拓展创新：连接并延长至，使，连接、，过作交于，由直角三角形的特征及勾股定理得 ，由三角形中位线定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】问题背景∶ ∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ； 尝试应用：延长至点，使得，连接，， ，， ， 边绕点C逆时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 拓展创新：如图，连接并延长至，使，连接、，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F，G分别为，的中点， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；能根据题意添加适当的辅助线构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 9．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)问题背景及探索： （1）已知在中，，E、D都在边上， ①如图1，若将绕点A顺时针旋转，当与重合时，点D旋转到，且，求出，，数量关系 ； ②如图2，若，，求的度数； 问题拓展 （2）如图3，等边边长为6，绕点A逆时针旋转得，N为与的交点，M为的中点，当E在边上运动时，请直接写出的最小值 ． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①证明，得出，根据，即可得出结论； ②过点A作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，，得出，证明，得出； （2）过点A作于点G，在上取点F，使，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，证明，得出，，证明，得出，根据中位线性质得出，说明当最小时，最小，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵将绕点A顺时针旋转，当与重合时，点D旋转到， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点A作，取，连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点A作于点G，在上取点F，使，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，如图所示： 则， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， 根据旋转可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E在点G处时，最小， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，中位线的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)如图1，在边长为8的正方形中，连接，点E在上，且，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为，连接，与相交于点G，连接，交于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止． (1)如图2，当时， ①求证：； ②点H在线段的什么位置？请说明理由； (2)在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②在线段的中点位置，理由见解析 (2)存在，的长为或 【分析】（1）①证明为等边三角形，再根据点为的中点即可得证； ②先求出，，过点作于点，证明四边形是矩形，再证明，由此即可得； （2）分三种情况：①当时，可得，这与相矛盾，则此种情况不存在；②当时，过点作于点，在中，由勾股定理求出的长，再在中，由勾股定理求出的长；③当时，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，再在中，由勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式可得的长，进而在中，由勾股定理求出的长，即可求出的长，再在中,利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：①∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵，即， ∴为等边三角形， ∵点为的中点， ∴． ②在线段的中点位置，理由如下： 由（1）①知， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在线段的中点位置． （2）解：存在，求解过程如下： 由为等腰三角形分以下三种情况： ①当时， ∵，， ∴，这与相矛盾，则此种情况不存在； ②当时，如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴在中，； ③当时，如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 综上，存在为等腰三角形的情况，此时的长为或2． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，注重分类讨论的思想是解题关键． 11．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)如图，在中，，，点为内一点． (1)如图（1），，，连接，求证：； (2)如图（2），为的中点，若，，，求线段的长； (3)如图（3），在（2）的条件下，若点为平面内一点，，连，将线段绕点顺时针旋转至，连，请直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，进而证明，即可得证； （2）作使得，连接，延长至点，使得，连接，根据（1）的方法可得，进而证明得出是等边三角形，则，解，得出，进而即可求解； （3）延长至，使得，连接，证明得出是等边三角形，求得，得出 ，进而根据的最大值为即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，作使得，连接，延长至点，使得，连接， 同（1）可得 ∴ ∵，则 如图所示过点作，则 ∴， ∴ ∵是的中点，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形，则 在中， 如图所示，作交直线于点 ∴，则 ∴， 在中，， ∴， ∴ （3）解：如图所示，延长至，使得，连接， 由（2）可得，，则 ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ 依题意，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵将线段绕点顺时针旋转至 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ，即点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴，即点在为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴ ∴的最大值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值，全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)已知，垂足为点O．在等腰中，，．交于，为的中点，交于． (1)如图1，若点B在上，则： ① (填“”，“”或“”)； ②线段、、满足的等量关系式是 ． (2)将图1中的等腰绕点O顺时针旋转（），如图2，那么（1）中的结论②是否仍成立？请说明理由． (3)将图1中的等腰绕点O顺时针旋转，请自己画图分析、思考，并直接写出线段、、满足的等量关系式 ． 【答案】(1)①；② (2)成立，理由见解析 (3)，图及证明见解析 【分析】（1）①如图1，证明和可得结论； ②根据勾股定理可得； （2）如图2，（2）中的结论②成立，作辅助线，构建全等三角形，证明、、、四点共圆，得，同理得：，再证明，得，，根据勾股定理得：，由直角三角形中最长边为斜边可得结论； （3）如图3，连接，则证明，根据是等腰直角三角形，得，等量代换可得结论，开方后是： ． 【详解】（1）解：①， 理由：如图1，   在等腰中，， ， ， ， ， ， ，， ， 连接， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； ②； 在中， ， 又由①知， ，即， ， ． （2）解：如图2，（1）中的结论②成立， 中的结论②成立，理由如下： 如解图②，连接， ，点为的中点， ， ， ， ， ，即， ， 四点共圆， ， ， 是等腰三角形． ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图3，结论：， 理由是：连接，则， 同理：， ， ， ， ， 即， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为 ． 【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的性质等知识，并运用了类比的思想解决问题，有难度，要注意辅助线的作法；本题的2、3问能标准作图是关键． 13．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期中)如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、． (1)探究模型：求证：； (2)类比模型；如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积． (3)应用模型：如图3，中，，，将绕点顺时针旋转，得，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)9 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）过作于，构造全等三角形解决问题即可； （3）过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，证明即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 又 ， （2）在中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，如图，过作于，则， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则， ，， ， 由旋转得，，， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，“三垂”模型等知识，掌握相关知识是解题的关键． 14．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，将绕点逆时针旋转得，，交于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连，求证：； (3)直接写出点，间的最短距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据等角的余角相等证明，再利用三角形内角和定理证明，则可证明； （2）过点作交的延长线于点，证明，得到，，则，由勾股定理得，据此可证明； （3）连接，过点D作交延长线于H，连接，先证明；再证明是等腰直角三角形，得到，进而可证明，得到，则点G在以H为圆心，半径为1的圆上运动（一段弧），故当三点共线，且在上时，有最小值，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，理由如下： 设交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点作交的延长线于点， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点D作交延长线于H，连接， 由旋转的性质可得 ， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点H是定点， ∴点G在以H为圆心，半径为1的圆上运动（一段弧）， ∴当三点共线，且在上时，有最小值； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，即点，间的最短距离为． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形；解（3）的关键在于构造全等三角形确定点G的轨迹是一段圆弧． 15．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)如图，在中，，，将绕点O逆时针旋转角得到，连接，． (1)当时，求的长度； (2)当时，判断与的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定． （1）先求得，根据旋转的性质得出，证明为等边三角形，即可求解． （2）根据直接证明，可得，又根据旋转性质得到，即可证得平行． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可知， ∴为等边三角形， ∴． （2）．证明如下： ∵，，， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． 16．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)如图，中，，，点D为上一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到，，，连接AE． (1)求的值； (2)若的面积为5，时，求的长； (3)G为所在平面内一点，且，，，请画出草图并直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或4 (3)或，图见解析 【分析】（1）通过旋转性质，先证得，再通过直角等腰三角形的基本性质即可求解； （2）先通过的面积求出，再求出，再在中，利用勾股定理求解即可； （3）分两种情况点可以在的内部或者的外部，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵由旋转的性质可知，，， 又∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴． （2）连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可知，，得到， 设，即，， 在中，， ∴， 解得， ∴为2或4． （3）点可以在的内部或者的外部， 当点在的内部时，将逆时针绕点旋转与重合，连接，如图 ∴，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 当点在的外部时，将逆时针旋转与重合，连接，如图， ∴，，， ∴ ，∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． ∴或． 【点睛】本题考查三角形的全等，旋转的基本性质，勾股定理等知识点，综合性强，能够正确做出辅助线是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $