专题02 二次函数（期中真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与性质 考点02 二次函数的平移 考点03 待定系数法求二次函数的解析式 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 二次函数多结论问题 考点06 实际问题与二次函数 考点07 二次函数与几何综合 地 城 考点01 二次函数的定义与性质 1．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)已知点都在二次函数的图象上，则按从小到大的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)下列关于二次函数的说法正确的是（      ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与轴交于正半轴 D．有最大值，最大值为 3．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)二次函数与轴的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)对于二次函数，下列结论错误的是（    ） A．开口向上 B．函数图象与x轴没有公共点 C．当时，y随x的增大而增大 D．函数有最小值 5．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．函数有最小值 D．可由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得 6．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)关于二次函数下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．有最小值2 D．顶点坐标是 地 城 考点02 二次函数的平移 1．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期中)将抛物线平移至，则需将该抛物线（    ） A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 3．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·湖北宜昌长江中学·期中)函数的图象是抛物线，则 ． 8．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)把抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线是 ． 地 城 考点03 待定系数法求二次函数的解析式 1．(24-25九上·湖北荆州松滋·期中)请写出一个对称轴为直线 的二次函数解析式 ． 2．(24-25九上·湖北黄冈蕲春县·)如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)直接写出______，______，______． (2)当时，函数的最大值是______，最小值是______． (3)利用图象直接写出的解集． 3．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)如图，抛物线：与x轴交于点，点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)如图2，若直线l：与x轴和y轴分别交于点D和点E，直线交直线于点F，在第一象限内的抛物线上是否存在一点，使，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图3，将（2）中直线l平移后与抛物线交于M，N两点，求证：平分． 4．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接 ，当时，求t的值； (3)设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S， ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 5．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②若为等腰直角三角形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标． 6．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)已知：抛物线的顶点是，与x轴相交于点A、点B，且点A的坐标是． (1)求上述二次函数的解析式； (2)点C、D在抛物线上，且纵坐标都是3，点C在点D左侧，直接写出这两点的坐标； (3)在如图所示的直角坐标系中描出A，B，C，D，P五个点，并画出此抛物线； (4)观察图象，写出当时，y的取值范围． 7．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． (1)求水线最高点与点之间的水平距离； (2)当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程 1．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（  ） A．无解 B．， C． D．， 2．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)已知二次函数的图象经过和两点，则的值是　　 A．0 B．2023 C．2024 D．2025 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 4．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北荆州石首·期中)若点在抛物线上，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 6．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)某种型号飞机着陆后滑行的距离为（米），所用的滑行时间为（秒）已知关于的函数解析式为，则飞机停下前最后内滑行的距离是 米． 7．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期中)若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（请用“”连接） 8．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)二次函数与x轴有 个交点． 9．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)二次函数中的的部分取值如下表：根据表中数据填空： x … 0 1 2 3 … y … m n 0 … (1)该函数图象的对称轴是______； (2)该函数图象与轴的交点的坐标是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)不等式的解集是______． 10．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)___________，___________； (2)当时，x的取值范围是___________ (3)当时，的取值范围是___________． (4)当时，x的取值范围是___________． 11．(24-25九上·湖北荆州沙区·期中)已知函数，和． (1)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，请在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象． 12．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为请观察表格完成下面题目． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 11 … (1)抛物线的对称轴是直线______； (2)若，则y的取值范围是______； (3)若，则x的取值范围是______． 13．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)已知抛物线 (1)用配方法将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 14．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区实验初中教育集团·期中)如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为_____，_____； (2)当时，直接写出的取值范围为______； (3)方程有实数根，的取值范围是_____； (4)当时，直接写出的取值范围是_____； (5)若不等式无解，则n的取值范围是______． 15．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)已知二次函数过点，，． (1)该函数的对称轴为 ，方程的解为 (2)根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为 ②当时，x的取值范围为 16．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的解为________； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (3)若方程有实数根，写出m的取值范围． 17．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M，． (1)若， ①点M到x轴的距离为________； ②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离； (2)已知点M到x轴的距离为3，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中．若点在此抛物线上，当时，总满足，求a的值和h的取值范围． 地 城 考点05 二次函数多结论问题 1．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，；则下列结论错误的是（）    A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数，均成立 2．(24-25九上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 3．(24-25九上·湖北十堰·期中)如图，已知抛物线（）的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，，则，其中正确的选项是（   ） A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．①②④ 4．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论正确是（  ） A． B． C． D．若点，均在该抛物线上，则 5．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)如图，抛物线与y轴的正半轴相交，与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点与点也在该抛物线上，下列结论：①点B的坐标为；②方程有两个不相等的实数根；③④当（为常数）时，．其中正确结论的序号是 8．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．则下列四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点，在抛物线上，当时，总有，则． 其中一定正确的是 ．（填写正确序号）． 9．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)已知点在抛物线上，下列结论：①若，则抛物线与x轴只有一个公共点；②若抛物线与x轴有2个不同的公共点，满足，则；③当时，n的取值范围是，则a的值是；④若点在直线上，当时，，则抛物线开口向上．其中正确结论 （填序号） 10．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)已知抛物线（为常数，）经过点，，且，则下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根（且），则；④若，抛物线过点，且，则．其中正确的结论是 （填序号）． 11．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 12．(24-25九上·湖北武汉武珞路中学·期中)抛物线（，，是常数）的顶点在第四象限，且．下列四个结论：，，方程的解为，，若，则当时，．其中正确的结论是 （填写序号）． 13．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期中)已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④．其中正确结论是 （写序号）． 14．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点且平行于轴的直线与抛物线有唯一公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上．当实数时，．．其中正确的结论是 （填写序号）． 15．(24-25九上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ； ； ； ．其中正确的序号有 ． 地 城 考点06 实际问题与二次函数 1．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间/（单位：t）之间只有函数关系．则小球飞出 小时，达到最大高度． 3．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)为积极响应国家“双减”政策和落实五育并举的教育理念，增校园活动氛围，倡导青春能量，绿色出行，促进学生身心健康成长，展现中学生精神风貌．全市许多学校结合社会潮流，以绿色、健康运动的宗旨号召学生通过慢跑这一具有青春、活力、健康的运动方式强健身心，以提倡全面运动将健康生活传递给周围每一个人，将组织开展绿色健康的彩虹跑活动．某销售商在这次“彩虹跑”的护目镜销售中发现：购进一批护目镜，成本为5元/副，这批护目镜在未来30天的销售单价m（元/副）与时间x（天）之间的函数关系式为（，x为整数），且其日销售量y（副）与时间x（天）的函数关系式：（，x为整数）． (1)求每天销售这种护目镜的利润W元与x天之间的函数关系式； (2)问哪一天销售这种护目镜的利润最大？最大日销售利润为多少？ 4．(24-25九上·湖北宜昌长江中学·期中)某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价（元） 40 60 80 日销售量（件） 80 60 40 (1)求与的关系式； (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，设日利润为元，求公司销售该商品获得的最大日利润； (3)若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量（件）与销售单价（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求的值． 5．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)我市首衡城是华中地区最大的农副产品集散地和批发市场．某品牌水果经销商计划在2024年中秋节期间开展“阳光玫瑰”葡萄的促销活动，经过调查统计发现，在首衡城批发“阳光玫瑰”葡萄的最低价格为每斤10元，若按每斤20元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． (1)若降价4元，则每天的销售利润是_____元； (2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰”葡萄每天盈利630元，那么每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价应降价多少元？（其它成本忽略不计） (3)当售价降价多少元时，该水果商每天销售“阳光玫瑰”葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 6．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） (1)根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为________米； (2)求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）． 7．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 8．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)为了打造校园特色文化，做“高山上的一株黄连”，某中学预搭建黄连园，决定用栅栏围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形黄连园（如图所示），栅栏在安装过程中的接口损耗忽略不计，园子里准备种植味连和雅连两种黄连，学校已定购栅栏80米．    (1)请你帮学校设计一个使黄连园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在黄连园面积最大的条件下，每平方米可种植90株味连或雅连幼苗，味连幼苗每株售价为0.1元，雅连幼苗每株售价为0.15元，学校计划购买费用不超过9600元，求最多可以购买多少株雅连？ 9．(24-25九上·湖北十堰·期中)根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调3元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间种植的面积是，求道路宽度的值． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费） （2）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 10．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度为16米，且抛物线过点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔米（中心线宽度不计），则两辆宽为米，高为米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 11．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)某商品每件成本为20元．经过市场两研发现．该商品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表： 时间：/天 1 3 10 20 日销售量 m/H 98 94 80 60 这20天中．该商品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为： （1为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： (1)直接写出m关于t的函数关系式； (2)在这20天中，求日销售利润的最大值； (3)在这20天中，日销售利润不低于608元的天数有_________天（直接写答案）． 12．(24-25九上·湖北荆州沙区·期中)某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年12月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示． 每天的定价x（元/间） 208 228 268 … 每天的房间空闲数y（间） 10 15 25 … (1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？ (2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？ 13．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分425.60分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台的冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线，如图所示，建立平面直角坐标系已知为3米，为10米，跳水曲线在离起跳点水平距离为0.5米时达到距水面最大垂直高度米．    (1)当时， ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点与点的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 14．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若十月份的销售利润是元，且让消费者获得最大实惠，求这个月的销售单价是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 15．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 16．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边的长为，矩形的面积为． (1)求与之间的函数关系式；（不要求写自变量取值范围） (2)当时，求的值． 17．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)已知某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每星期可卖出300件．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件降价x元，每星期的销售量为y件，每星期的销售利润为W元． (1)直接写出y与x的关系式为________； (2)若每星期销售利润为6080元，尽量减少库存，应该如何确定售价？ (3)若该商品按单价不低于进价且不高于55元销售，则售价定为多少，才能使销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ 地 城 考点07 二次函数与几何综合 1．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当 时，的长最小，此时的面积为 ． 2．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)直接写出A，B，C点的坐标； (2)点D是直线下方抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； (3)如图2所示，过A作两条直线分别交抛物线于第一象限点P，Q，交y轴于M，N，．当n为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含n的式子表示）；若不经过，请说明理由． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E． ①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积； ②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：． 4．(24-25九上·湖北黄冈蕲春县·)如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点D为抛物线在第四象限内的一点，连接，直线交于点E． (1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标，并直接写出的函数表达式； (2)过直线E作轴于点H，以为对角线作正方形，当顶点G恰好落在抛物线上时，请求出点G的坐标； (3)连接，令抛物线L沿射线平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线L、的交点与点C、E构成的三角形是等腰三角形，直接写出的长． 5．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)抛物线交x轴于，两点在的左边，交轴于点，且，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． (1)直接写出抛物线的解析式： (2)如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标： (3)如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为、，求的值． 6．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点（不与、重合），当面积最大时，求点的点坐标及面积的最大值． (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 7．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若点G为抛物线上一点，当时，直接写出点G的坐标； (3)如图2若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，经过A，B，C三点．经过圆心T的直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．求的值． 8．(24-25九上·湖北十堰·期中)如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，． (1)求该抛物线的解析式． (2)连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且），过点作交直线于点，连接．设的面积为． ①求关于的函数关系式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 9．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 10．(24-25九上·湖北武汉东湖高新区·期中)抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． (3)如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与性质 考点02 二次函数的平移 考点03 待定系数法求二次函数的解析式 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 二次函数多结论问题 考点06 实际问题与二次函数 考点07 二次函数与几何综合 地 城 考点01 二次函数的定义与性质 1．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)已知点都在二次函数的图象上，则按从小到大的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数图象的增减性，对称性的特点是解题的关键． 根据函数解析式可得对称轴直线为，由增减性可得当时，随的增大而减小，离对称轴越远，值越大；当时，随的增大而增大，离对称轴越远，值越大；由对称性可得，时的函数值与的函数值相等，时的函数值与的函数值相等，得到对称点，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，离对称轴越远，值越大；当时，随的增大而增大，离对称轴越远，值越大； ∵， ∴由二次函数对称性可得，时的函数值与的函数值相等， ∵， ∴时的函数值与的函数值相等， ∵点都在二次函数图象上， ∴对称点为：， ∴， 故选：A ． 2．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)下列关于二次函数的说法正确的是（      ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与轴交于正半轴 D．有最大值，最大值为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、 ，图象的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C、当时，，函数图象与轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、，开口向上， 有最小值，最大值为，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)二次函数与轴的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数为，从而令，求出值，即可得与轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数为， ∴令， 则． ∴二次函数与轴的交点坐标为． 故答案为：C． 4．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)对于二次函数，下列结论错误的是（    ） A．开口向上 B．函数图象与x轴没有公共点 C．当时，y随x的增大而增大 D．函数有最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，故选项A正确； 对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 当时，函数有最小值0，故选项D正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线与x轴有一个交点， 故选项B错误． 故选：B． 5．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．函数有最小值 D．可由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得 【答案】B 【分析】考查二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及平移的规律，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：，， ∴开口向下，故A选项不正确； 对称轴为直线，故B选项正确； 顶点坐标为，开口向下，则有最大值，故C选项错误， 由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得，故D选项错误； 故选：B． 6．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)关于二次函数下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．有最小值2 D．顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：∵，∴二次函数开口向下，故A错误； ∵二次函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，故B正确； ∵二次函数的顶点坐标是，开口向下， ∴二次函数有最大值2，故C、D错误； 故选：B 地 城 考点02 二次函数的平移 1．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到新抛物线的解析式为． 故选D． 2．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期中)将抛物线平移至，则需将该抛物线（    ） A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据函数图象平移的法则：左加右减，上加下减判断即可． 【详解】解：向右平移2个单位，向下平移1个单位得到； 故选：B． 3．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：平移后所得抛物线的解析式为：， 故选：C 4．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线是：． 故选：C． 5．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，则抛物线变成，再将抛物线再向下平移1个单位长度，抛物线变成， 故选：D 6．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用“上加下减，左加右减”的平移规律是关键．依据题意，由抛物线为，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， 又根据“上加下减，左加右减”的平移规律， ∴向右平移1个单位，再向上平移4个单位后可得，新抛物线为，即． 故选：B． 7．(24-25九上·湖北宜昌长江中学·期中)函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 8．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)把抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得到的抛物线的解析式． 【详解】解：把抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线为， 故答案为：． 地 城 考点03 待定系数法求二次函数的解析式 1．(24-25九上·湖北荆州松滋·期中)请写出一个对称轴为直线 的二次函数解析式 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式即可得出结论． 【详解】解：解析式可以为 (答案不唯一，形如，其中为常数，且即可)． 故答案为： (答案不唯一)． 2．(24-25九上·湖北黄冈蕲春县·)如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)直接写出______，______，______． (2)当时，函数的最大值是______，最小值是______． (3)利用图象直接写出的解集． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得二次函数解析式为，配成顶点式，求出对称轴为直线，则可求出最小值，又，则当时的值小于当时的值，从而可求出最小值； （）通过图象即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，待定系数法求解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与x轴交于点，， ∴，解得：， 故答案为：，，； （2）解：由（）得：， ∴二次函数解析式为， ∴， ∴对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， ∵， ∴当时的值小于当时的值， ∴当时，， ∴当时，， ∴函数的最大值是，最小值是， 故答案为：，； （3）解：当时，，解得，， 根据图象可知的解集为或． 3．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)如图，抛物线：与x轴交于点，点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)如图2，若直线l：与x轴和y轴分别交于点D和点E，直线交直线于点F，在第一象限内的抛物线上是否存在一点，使，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图3，将（2）中直线l平移后与抛物线交于M，N两点，求证：平分． 【答案】(1)此抛物线的解析式为： (2) (3)见解析 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了利用交点式求二次函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，方程思想等知识，第三问有难度，解决本题的关键是表示点和的坐标，并利用坐标说明． （1）根据交点式可求得抛物线的解析式； （2）在轴上取一点， 过 点作轴，交直线于，令和可得点和的坐标，证明， 则， 得点的坐标， 计算的解析式，联立二次函数和一次函数的解析式组成方程组解答即可； （3）设交轴于， 延长交轴于点， 设平移后的直线的解析式为：，联立方程组可得二次函数和直线的交点坐标，根据坐标可得， 证明，从而可以解答． 【详解】（1）抛物线：与轴交于点，两点， 此抛物线的解析式为： （2）如图2，在轴上取一点， 过 点作，交直线与H， 当，， ， ， 抛物线的解析式， 当，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 解得： 直线的解析式为：， ， 解得： ，， ； （3）证明：如图3，设交轴于， 延长交轴于点， 设平移后的直线的解析式为：， ， ， ， 同理可得：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ， ， ， ， ， 平分 4．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接 ，当时，求t的值； (3)设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S， ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】(1) (2) (3)①S关于t的函数解析式为②当时，存在3个符合条件的点P；当时，存在2个符合条件的点P；当时，存在1个符合条件的点P． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，， 过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图， ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ． 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知： 当时，存在3个符合条件的点P； 当时，存在2个符合条件的点P； 当时，存在1个符合条件的点P． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，一次函数与三角形面积综合，分类讨论，是解题和关键． 5．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②若为等腰直角三角形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或3 (3) 【分析】（1）将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）①由待定系数法得直线的解析式为，可求 ， ，即可求解； ②分类讨论：当时， 当时，即可求解； （3）过作交于，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质可求得，待定系数法求出直线的解析式，联立一次函数与二次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①当时， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ② ，， ， ， 轴， 轴， ， 当时，如图， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，（舍去）， ； 当时， 为等腰直角三角形， ， ， 同理可求：， ， ， 解得：，（舍去）， 综上所述：或3； （3）解：过作交于，过作轴交于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立得， 解得：或（舍去） ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，等腰三角形是判定，全等三角形的判定及性质等，能构建全等三角形及根据直角不同进行分类讨论是解题的关键． 6．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)已知：抛物线的顶点是，与x轴相交于点A、点B，且点A的坐标是． (1)求上述二次函数的解析式； (2)点C、D在抛物线上，且纵坐标都是3，点C在点D左侧，直接写出这两点的坐标； (3)在如图所示的直角坐标系中描出A，B，C，D，P五个点，并画出此抛物线； (4)观察图象，写出当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4)． 【分析】（1）设顶点式为，然后把点坐标代入求出的值，从而得到得到抛物线解析式； （2）解方程得到、点坐标； （3）先解方程得到点坐标，然后描点得到抛物线； （4）先确定和对应的函数值，再根据二次函数的性质得到时有最大值，然后确定当时的取值范围． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ，； （3）解：依题意，当时，， 解得，， ， 如图， （4）解：依题意，当时，； 当时，， 当时，有最大值4， 当时，的取值范围为． 7．(24-25九上·湖北宜昌第十六中学教联体·期中)如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． (1)求水线最高点与点之间的水平距离； (2)当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)； (2)水线的最大高度为；为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足，理由见解析． 【分析】（）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得喷水口在处的抛物线经过点和，那么可得抛物线的对称轴，结合点的坐标可得水线最高点与点之间的水平距离； （）根据抛物线上下平移，对称轴不变以及经过点和点求得当喷水口在处时的水线所在的抛物线的解析式，水线的最大高度即为对称轴与抛物线交点的纵坐标到轴的距离； 取，代入得到的抛物线解析式，求得对应的的值，即可判断出为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足的条件； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，建立平面直角坐标系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴点坐标为和，点坐标为， ∴所得抛物线的对称轴为：直线， ∵， ∴点的坐标为， ∴水线最高点与点之间的水平距离为； （2）解：设喷水口在处时，喷出的抛物线形水线的解析式为， ∵经过点，，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为，故水线的最大高度为； 答：水线的最大高度为； 当时，， ∴，， ∴为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足． 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程 1．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（  ） A．无解 B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由图象结合抛物线的对称性可求出与轴的一个交点为、，即可求解；理解二次函数与一元二次方程的关系，能熟练利用图象进行求解是解题的关键． 【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点为， 对称轴为直线， 设抛物线与轴的一个交点为 ， 解得：， ， 关于的一元二次方程的解为： ，， 故选：D． 2．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)已知二次函数的图象经过和两点，则的值是　　 A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由二次函数的图象经过和两点，从而，是关于的一元二次方程的两个实数根，故，，，进而可以判断得解． 【详解】解：二次函数的图象经过和两点， ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，，． ∴，， ． 故选：B． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ， ①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得， 解得：，又此时， 故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 故选：D． 4．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，设，而，即函数向下平移3个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解． 【详解】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标， 而， 即函数向下平移3个单位得到函数y， 则两个函数的图象如图所示（省略了y轴）， 从图象看，， 故选：B． 5．(24-25九上·湖北荆州石首·期中)若点在抛物线上，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)某种型号飞机着陆后滑行的距离为（米），所用的滑行时间为（秒）已知关于的函数解析式为，则飞机停下前最后内滑行的距离是 米． 【答案】150 【分析】本题考查了二次函数顶点式的实际运用，掌握配方法将二次函数一般式化为顶点式的方法是解题的关键． 根据题意，将二次函数一般式化为顶点式，可得飞机着地到停下共滑行了秒，米，先算出前秒的路程，再根据总路程减去前秒的路程即可求解． 【详解】解：关于的函数解析式为， ∴， ∴飞机着地到停下共滑行了秒，米， ∴飞机前秒的路程为：（米）， ∴飞机后秒的路程为（米）， 故答案为：150 ． 7．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期中)若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大，关于称轴是直线的对称点是， ， ． 故答案为：． 8．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)二次函数与x轴有 个交点． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标问题，熟练掌握判别式的取值与抛物线与x轴的交点的个数是解题的关键． 根据判别式进行判断即可． 【详解】解：令，其中，，， ， 二次函数与x轴有个交点， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)二次函数中的的部分取值如下表：根据表中数据填空： x … 0 1 2 3 … y … m n 0 … (1)该函数图象的对称轴是______； (2)该函数图象与轴的交点的坐标是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)不等式的解集是______． 【答案】(1)直线 (2)， (3) (4)或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式； （1）根据抛物线上对称的两点坐标可得对称轴方程； （2）抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，再利用对称性求解另一个交点坐标即可； （3）先利用待定系数法求解二次函数的解析式，确定抛物线的开口向上，再求解当时，的取值范围即可； （4）先画出抛物线与直线的图象，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴该函数图象的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为：或； （3）解：∵抛物线与轴的另一个交点坐标为：或； ∴设抛物线为， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （4）解：如图，抛物线与直线的图象如下：    不等式的解集是或． 10．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)___________，___________； (2)当时，x的取值范围是___________ (3)当时，的取值范围是___________． (4)当时，x的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，从而可知，．再将代入，即可求出a的值； （2）由（1）知函数解析式，令，求出x的值，得到函数图象与x轴的另一个交点，再根据函数图象即可解答； （3）由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，从而得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，进而得出的最大值为．求出当时，的值和当时，的值，再比较，即可得出当时，的取值范围； （4）根据求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围，再结合图象即可得解． 【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为， ∴． 将代入，得：， 解得：． ∴，，； （2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线开口向下， 令，则，即， 解得：， 则改抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，； （3）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，的最大值为． ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （4）解：对于，令，则， ∴． 求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围． 由图象可知当或时，函数的图象在的图象下方， ∴当时，x的取值范围是或． 11．(24-25九上·湖北荆州沙区·期中)已知函数，和． (1)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，请在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是能够正确的作出二次函数的图象，掌握函数的性质． （1）根据二次函数图象的画法作出函数图象即可； （2）根据函数图象分别写出开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）根据平移规律即可解答． 【详解】（1）解：作图象如图： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位． 12．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为请观察表格完成下面题目． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 11 … (1)抛物线的对称轴是直线______； (2)若，则y的取值范围是______； (3)若，则x的取值范围是______． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用待定系数法求出函数解析式为，化为顶点式即可作答．． （2）因为，对称轴，且开口方向向上，所以当时，有最小值，且，则越远离对称轴的所对应的函数值越大，因为，则的取值范围是，即可作答． （3）依题意，令，结合开口方向向上以及对称轴，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 则， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）解：∵，对称轴，且开口方向向上， ∴当时，有最小值，且， 则越远离对称轴直线的所对应的函数值越大， ∵， ∴当时，有最大值，且， 当，则的取值范围是． 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， 即， 令， ∵， ∴开口方向向上，且对称轴， 当时，则， 解得或， ∵开口方向向上， ∴时， 则或． 故答案为：或． 13．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)已知抛物线 (1)用配方法将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)抛物线与轴的交点坐标为：，；抛物线与轴的交点坐标为： 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）等号右边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，进行配方即可； （2）根据二次函数的图象与性质求解； （3）分别令进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：令，则，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为：，， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为：． 14．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区实验初中教育集团·期中)如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为_____，_____； (2)当时，直接写出的取值范围为______； (3)方程有实数根，的取值范围是_____； (4)当时，直接写出的取值范围是_____； (5)若不等式无解，则n的取值范围是______． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． （1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解； （5）将不等式无解转化为转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围，则，即可求解． 【详解】（1）解： ∴，， 故答案为：，1； （2）解：∵的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； （4）解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：； （5）解： ， ∴， 令， ∴不等式无解，即无解， ∴问题转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)已知二次函数过点，，． (1)该函数的对称轴为 ，方程的解为 (2)根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为 ②当时，x的取值范围为 【答案】(1)直线；，； (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）先根据待定系数法求出二次函数解析式，然后根据对称轴公式求出对称轴，令，即可求出方程的解； （2）①先，，对应的函数值，然后函数图象即可得到结论； ②先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得 ∴， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴方程的解为为，， 故答案为：直线；，； （2）解：①当时，；当时，， 当时， ∴由图象知：当时，y的取值范围为， 故答案为：； ②当时，， 解得，， ∴由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 16．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的解为________； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (3)若方程有实数根，写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，充分利用函数图象，数形结合是解题的关键． （1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根； （2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围； （3）方程有实数根，即函数与有交点，据此即可直接求出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知， 方程的两个根为，． （2）根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 此时，． （3）由图：方程有实数根 即函数与有交点， 此时，． 17．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M，． (1)若， ①点M到x轴的距离为________； ②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离； (2)已知点M到x轴的距离为3，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中．若点在此抛物线上，当时，总满足，求a的值和h的取值范围． 【答案】(1)①6；② (2)， 【分析】（1）①当时，，可得抛物线的顶点坐标为 ，即可求解； ②令，可得此抛物线与轴的两个交点为为，即可求解； （2）根据M到x轴的距离，先求出a的值可能为或，然后分情况利用数形结合画图可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点为M， ∴， 当，此时，抛物线为， ∴点M到x轴的距离为6； 故答案为：6； 令，即， 解得：， ∴此抛物线与轴的两个交点为， ∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为； （2）∵点M到x轴的距离为3， ∴． ∴或． ①当时，． 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点， ∵当时，总满足， ∴． 如图，当点在直线上时， 解得． ∴． ∵，∴． ②当时，． 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵当时，总满足， ∴． 如图所示，不符合题意， ∴舍去． 综上，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 地 城 考点05 二次函数多结论问题 1．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，；则下列结论错误的是（）    A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； 在抛物线上， ． 又， ． ，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对应任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意；． 故选：B． 2．(24-25九上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标及开口方向，即可判定选项D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 由二次函数图象可得，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，另一个交点的横坐标是1，且开口向下， ∴当时，，故选项D正确， 故选D． 3．(24-25九上·湖北十堰·期中)如图，已知抛物线（）的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，，则，其中正确的选项是（   ） A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的综合，涉及二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，掌握二次函数的图像与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴为， ， ， ，故①正确； ∵过点，二次函数对称轴为， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得，当时，， ，故②正确； 由函数图象可得，当时，， ， 把代入，得，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵二次函数开口向下， ∴，故④正确； 综上所述，正确的选项是①②④， 故选： ． 4．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论正确是（  ） A． B． C． D．若点，均在该抛物线上，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质； A. 对称轴为直线，即可判断； B.由抛物线的对称性得与轴的另一个交点在和之间，即可判断； C.由选项B得当时，，即可判断； D.由抛物线的性质得即可判断； 理解二次函数的图象及性质，并能熟练利用性质进行判断式子的符号是解题的关键． 【详解】解：A.对称轴为直线， ， ， 结论错误，故不符合题意； B.对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， 与轴的另一个交点在和之间， ，结论错误，故不符合题意； C.由选项B得当时，， ，结论错误，故不符合题意； D.，， ，结论正确，故符合题意； 故选：D． 5．(24-25九上·湖北孝感应城·期中)如图，抛物线与y轴的正半轴相交，与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴，函数的性质，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴在原点的右侧， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵时，， ∴， 故②错误； ∵抛物线与y轴的正半轴相交，与x轴交于点，，其中， ∴对称轴为直线， ∴对称轴为直线， ∴， 故③错误； 当时， 解得， ∴抛物线与直线的交点为点，， ∴不等式的解集为． 故④正确． 故选：B． 6．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记二次函数图象与系数的关系，能通过图象判断二次函数系数的取值范围是解决本题的关键． 通过开口和对称轴判断出之间的关系，即可判断出说法①②的正确性，再通过与x轴的交点个数，可判断③，通过与y轴的交点得到c的取值范围，即可判断④． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，，故说法①错误； ∴，故说法②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故说法③正确； 由图象与y轴交点在y轴的正半轴上，可知当时，， ∵， ∴，故说法④正确， ∴错误的结论个数有1个， 故选：D． 7．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期中)抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点与点也在该抛物线上，下列结论：①点B的坐标为；②方程有两个不相等的实数根；③④当（为常数）时，．其中正确结论的序号是 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据点与点也在该抛物线上，可求出抛物线的对称轴，根据点A的坐标即可求出点B坐标，可以判断①选项；根据图象可知抛物线与有两个交点，可以判断②选项；将A，B点坐标代入抛物线解析式，可得，再根据，即可判断③选项；根据对称性可知当时和时函数值相等都是c，即可判断④选项． 【详解】解：∵点与点也在该抛物线上， ∴该抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与x轴交于，B两点， ∴，B两点关于对称轴对称， ∴， 故①选项符合题意； ∵图象开口向下，与x轴交于A，B两点， ∴抛物线与有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②选项符合题意； 将A，B点坐标代入抛物线解析式，得， 解得， ∴， ∵， ∴，即③， 故③选项不符合题意； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，， ∴当时，， 故④选项不符合题意； 故答案为：①②． 8．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．则下列四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点，在抛物线上，当时，总有，则． 其中一定正确的是 ．（填写正确序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， ∵对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ②∵图象经过， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 即，故正确． ③∵抛物线与x轴交于点，点， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， ∵， ∴， ∴当时，，故正确． ④∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上，总有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的平移等知识，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 9．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)已知点在抛物线上，下列结论：①若，则抛物线与x轴只有一个公共点；②若抛物线与x轴有2个不同的公共点，满足，则；③当时，n的取值范围是，则a的值是；④若点在直线上，当时，，则抛物线开口向上．其中正确结论 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】利用根的判别式判断的根情况，即可判断①；利用根与系数关系得到，即可判断②；分和两种情况讨论函数的最值，即可判断③；利用，当时，，，得到a的取值范围，即可判断④． 【详解】解：若，则， 对于来说，， ∴抛物线与轴只有一个公共点；故①正确； 若抛物线与轴的公共点，，即由两个实数根， 则， ∴， ∴，故②正确， ∵抛物线， ∴抛物线对称轴为， 当时，抛物线开口向上，当时，的取值范围是， 当时，有最小值，即 当时，最小值， 当时，最大值， 解得， 当时，抛物线开口向下，时，的取值范围是， 当时，有最大值，即 当时，最大值， 当时，最小值， 解得， 即当时，的取值范围是，则的值是； 故③错误； 若点在直线上，则， 点在抛物线上，则， ， 当时，，， ∴，即， ∴， 则抛物线开口向上． 故④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故答案为：①②④ 10．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)已知抛物线（为常数，）经过点，，且，则下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根（且），则；④若，抛物线过点，且，则．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数符号判断，根据得到抛物线过，再结合已知条件画出大致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可． 【详解】解：∵， ∴过， ∵，过点，， ∴函数的大致图象如下两种情况： 由函数图象可得，故①正确； 由函数图象可得当时，， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 方程有两个不相等的实数根（且），可以看成抛物线与交点横坐标为， 有函数图象可得：当时，；当时，； 故③错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∵， ∴解得， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 11．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等；①由得，由二次函数的增减性，即可判断；②由时，，且经过即可判断；③由当时，，当时，，由二次函数与一元二次方程，即可判断；④由表格可求，将，代入求得，即可求解；掌握二次函数的性质，会用二次函数图象解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：① ，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：①②③④． 12．(24-25九上·湖北武汉武珞路中学·期中)抛物线（，，是常数）的顶点在第四象限，且．下列四个结论：，，方程的解为，，若，则当时，．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系及已知条件可得，该函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，当时，，进而可得，，，于是可知结论错误；利用不等式的性质可得，于是可知结论错误；根据方程的解的定义可知结论正确；利用等式的性质、不等式的性质及各项已知条件可得，抛物线对称轴，由于抛物线开口向上，因而当时，随的增大而减小，于是可知结论正确；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线（，，是常数）的顶点在第四象限，且， 该函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，当时，， ，，， 故结论错误，不符合题意； ，，， ， 故结论错误，不符合题意； 对于方程， 当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边， 当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边， ，能使方程左右两边相等， ，是方程的解， 又方程是一元二次方程，最多只有两个解， 方程的解为，， 故结论正确，符合题意； ， ， ， ， 化简可得：， 即：抛物线对称轴， 又， 当时，随的增大而减小， 故结论正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，不等式的性质，方程的解，等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 13．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期中)已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④．其中正确结论是 （写序号）． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可得，，的符号及与的关系，函数图象与轴有两个交点，由图象可得时，时函数取最大值，逐一分析判断各结论即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交点在轴上方， ，． ，故结论①错误； 抛物线与轴有2个交点， ，即，故结论②错误； 由图象可知，对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等． 当时，， 又， ． ， ，故结论③正确； 当时，可有， 当时函数值为， 又时函数取最大值， ，即． 又， ，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有③④． 故答案为：③④． 14．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点且平行于轴的直线与抛物线有唯一公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上．当实数时，．．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象与轴交于点， ． 又对称轴为直线， ． ． ，故①正确． 当时，，即：， △， 有两个相等的实数根， 过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点，故②是正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， 与轴交于另一个点为， 二次函数的图象与轴交于点，， 二次函数的图象与轴交于点，， 关于的不等式的解集为，故③错误； 当时， 实数， ， 到的距离小于到的距离， ，故④正确； 故答案为：①②④． 15．(24-25九上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ； ； ； ．其中正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断③，由，，可得，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 故答案为：①②④． 地 城 考点06 实际问题与二次函数 1．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 2．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间/（单位：t）之间只有函数关系．则小球飞出 小时，达到最大高度． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数配成顶点式 ，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∵， 当时，h的最大值为25， 即时，h的值最大， 故答案为：． 3．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)为积极响应国家“双减”政策和落实五育并举的教育理念，增校园活动氛围，倡导青春能量，绿色出行，促进学生身心健康成长，展现中学生精神风貌．全市许多学校结合社会潮流，以绿色、健康运动的宗旨号召学生通过慢跑这一具有青春、活力、健康的运动方式强健身心，以提倡全面运动将健康生活传递给周围每一个人，将组织开展绿色健康的彩虹跑活动．某销售商在这次“彩虹跑”的护目镜销售中发现：购进一批护目镜，成本为5元/副，这批护目镜在未来30天的销售单价m（元/副）与时间x（天）之间的函数关系式为（，x为整数），且其日销售量y（副）与时间x（天）的函数关系式：（，x为整数）． (1)求每天销售这种护目镜的利润W元与x天之间的函数关系式； (2)问哪一天销售这种护目镜的利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) （，为整数） (2)第22或23天销售这种护目镜的利润最大，最大日销售利润为2812元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得函数解析式以及二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据利润与日销售量、天数之间的关系列函数关系式即可； （2）根据（1）所得的函数解析式，运用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： （，为整数）， 所以每天销售这种护目镜的利润W元与x天之间的函数关系式（，为整数）． （2）解：， 抛物线的对称轴为， ，，为整数， 当或时，取得最大值， 最大值为：， 第22或23天销售这种护目镜的利润最大，最大日销售利润为2812元． 4．(24-25九上·湖北宜昌长江中学·期中)某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价（元） 40 60 80 日销售量（件） 80 60 40 (1)求与的关系式； (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，设日利润为元，求公司销售该商品获得的最大日利润； (3)若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量（件）与销售单价（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求的值． 【答案】(1) (2)1600元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）设与的关系式为，利用待定系数法求解即可得； （2）先根据日利润（销售单价成本价）日销售量求出与的函数关系式，再求出的取值范围，利用二次函数的性质求解即可得； （3）设该商品的日销售利润为元，先建立与的函数关系式为，再求出，，然后分两种情况：①和②，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意，设与的关系式为， 将点代入得：， 解得， 所以与的关系式为． （2）解：由题意得： ， ∵物价部门规定每件商品的利润率不得超过， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：公司销售该商品获得的最大日利润为1600元． （3）解：设该商品的日销售利润为元， 由题意得： ， ∵物价部门规定该商品销售单价不能超过元， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 二次函数的开口向下，对称轴为直线， 则分以下两种情况： ①当时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时， 在内，随的增大而增大；在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为，舍去； 综上，的值为70． 5．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)我市首衡城是华中地区最大的农副产品集散地和批发市场．某品牌水果经销商计划在2024年中秋节期间开展“阳光玫瑰”葡萄的促销活动，经过调查统计发现，在首衡城批发“阳光玫瑰”葡萄的最低价格为每斤10元，若按每斤20元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． (1)若降价4元，则每天的销售利润是_____元； (2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰”葡萄每天盈利630元，那么每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价应降价多少元？（其它成本忽略不计） (3)当售价降价多少元时，该水果商每天销售“阳光玫瑰”葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)600 (2)3元 (3)当每斤降价2元时，水果商每天销售该葡萄获得的利润最大，最大利润是640元 【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低4元，则可增加40斤，再根据每斤利润销量可得解； （2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价元，根据每天盈利630元列方程，解出x的值即可求解； （3）设水果商每天获得的利润为元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得． 本题考查了二次函数的实际应用问题，一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键． 【详解】（1）（元）， ∴若降价4元，则每天的销售利润是600元； （2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价元， 根据题意得： 整理得：， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降3元； （3）设水果商每天获得的利润为元， 根据题意得：， ， 当时，， 答：当每斤降价2元时，水果商每天销售该葡萄获得的利润最大，最大利润是640元． 6．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） (1)根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为________米； (2)求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）． 【答案】(1) (2)10米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）由表格中的数据即可求解； （2）用待定系数法求函数解析式，再令，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，实心球运行的竖直高度的最大值； （2）解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 令，则， 解得，（不合实际，舍去）． 故小明这次试投的投掷距离是10米． 7．(24-25九上·湖北武汉粮道街中学·期中)某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 【答案】(1) (2)排球能越过球网，不会出界，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析，二次函数与实际问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析的方法是解题的关键． （1）根据题意设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，，即在距原点米处，排球的高度为米，大于米，能越过球网，令时，排球落地点，由，可得不会出界，由此即可求解； （3）根据形状相同，过，最大高度为1米，运用待定系数法可得抛物线的解析式，分别求出该抛物线最高点时的自变量的值，该抛物线与x轴交点时的自变量的值，即可求解． 【详解】（1）解：排球经过的路径是抛物线，最高点为， ∴设抛物线解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：已知抛物线的函数表达式为：，为球网，点的坐标为， ∴当时，， ∴在距原点米处，排球的高度为米，大于米， ∴排球能越过球网， 令时，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴排球落地点， ∵球场的边界为点，米，， ∴排球不会出界； （3）解：∵排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且过，最大高度为米， ∴设抛物线的解析式为：，把代入得， ， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，抛球最大高度为米，即距离原点米时，抛球到达最高点，最高点为米， ∵球场护栏高米， ∴当时，能砸到护栏； 当排球落点在点时，抛物线的函数值为：， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴排球落点在点时，能砸到护栏； 综上所述，的范围为：． 8．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)为了打造校园特色文化，做“高山上的一株黄连”，某中学预搭建黄连园，决定用栅栏围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形黄连园（如图所示），栅栏在安装过程中的接口损耗忽略不计，园子里准备种植味连和雅连两种黄连，学校已定购栅栏80米．    (1)请你帮学校设计一个使黄连园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在黄连园面积最大的条件下，每平方米可种植90株味连或雅连幼苗，味连幼苗每株售价为0.1元，雅连幼苗每株售价为0.15元，学校计划购买费用不超过9600元，求最多可以购买多少株雅连？ 【答案】(1)当黄连园的的宽为20米，长为40米时，黄连园的面积最大，最大面积为800平方米 (2)48000株 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用及不等式的应用，理解题意，列出函数解析式是解题关键． （1）设黄连园的宽为米，长为米，黄连园的面积为平方米．根据题意得出函数解析式求解即可； （2）设种植雅连株，则种植味连株．根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设黄连园的宽为米，长为米，黄连园的面积为平方米． 当时，平方米． 答：当黄连园的的宽为20米，长为40米时，黄连园的面积最大，最大面积为800平方米． （2）由（1）可知黄连园的最大种植面积为800米． 每平方米可种植味连或雅连90株， （株） 设种植雅连株，则种植味连株． 答：最多可种植雅连48000株． 9．(24-25九上·湖北十堰·期中)根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调3元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间种植的面积是，求道路宽度的值． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费） （2）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】任务1：10米；任务2：40元 【分析】此题考查了一元二次方程实际应用． 任务1：根据中间种植的面积是列方程，解方程并根据x的范围进行解答即可； 任务2：设每平方米草莓平均利润下调y元，农户预期一个月的总利润为52万元，据此列方程， 解方程并根据要让利于顾客即可得到答案． 【详解】解：任务1：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：道路宽度x的值为10米； 任务2：设每平方米草莓平均利润下调y元， 则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 10．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族利川民族实验中学教联体·期中)鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度为16米，且抛物线过点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔米（中心线宽度不计），则两辆宽为米，高为米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米，计算当时的函数值与比较，即可求解． 【详解】（1）由题意得抛物线过原点设抛物线的函数表达式为， 把，代入表达式，得，解得：． 抛物线的表达式为：； （2）能，理由如下： 由（1）可知：； 如图，由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米， 当时，， 米， 这辆货车能并排行驶． 11．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)某商品每件成本为20元．经过市场两研发现．该商品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表： 时间：/天 1 3 10 20 日销售量 m/H 98 94 80 60 这20天中．该商品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为： （1为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： (1)直接写出m关于t的函数关系式； (2)在这20天中，求日销售利润的最大值； (3)在这20天中，日销售利润不低于608元的天数有_________天（直接写答案）． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为612.5 (3)7 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系． （1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标即可求解； （3）先求出时的取值，再根据函数的性质得出结论． 【详解】（1）解：设日销售量关于时间的一次函数为， 将，代入，得， 解得，， 则关于的函数关系式为； （2）解：设日销售利润为元， 根据题意，得 ， ， 当时，有最大值为612.5， 答：这20天中最大的销售利润是612.5元； （3）当时，， 解得，， 在这20天中，第12，13，14，15，16，17，18天利润不低于608元， 日销售利润不低于608元的天数有7天， 故答案为：7． 12．(24-25九上·湖北荆州沙区·期中)某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年12月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示． 每天的定价x（元/间） 208 228 268 … 每天的房间空闲数y（间） 10 15 25 … (1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？ (2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？ 【答案】(1)168元/间 (2)256或260元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出解析式，利用待定系数法求出对应的解析式，再求出当y的值为0时，x的值即可得到答案； （2）设出利润，然后列出利润关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， 答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完． （2）解：设每天的利润为W元， 根据题意，得： ， ∵， ∴时，W有最大值， ∵当时，，不是整数，当或时，y是整数， ∴当或时，W取得最大值．     答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润． 13．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分425.60分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台的冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线，如图所示，建立平面直角坐标系已知为3米，为10米，跳水曲线在离起跳点水平距离为0.5米时达到距水面最大垂直高度米．    (1)当时， ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点与点的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，②米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）①根据题意，得到点坐标和抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出时，的值，进而求出运动员落水点与点的距离即可； （2）设抛物线的解析式为：，将代入得到，再把点，两点分别代入求出的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意，可知，，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； ②当时，， 解得：（舍去）； ∴落水点的坐标为：， ∵， ∴运动员落水点与点的距离为米； （2）设抛物线的解析式为：，把，代入，得： ， ∴， ∴， 当抛物线过点时，，解得：； 当抛物线过点时，，解得：； ∴． 14．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若十月份的销售利润是元，且让消费者获得最大实惠，求这个月的销售单价是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数； (2)元； (3)每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用． （1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围； （2）根据题意列方程解方程，再根据让消费者获得最大实惠即可得到答案； （3）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件 由题意得： 整理得： 由每件售价不能高于65元得：，即 又因x为正整数 则x的取值范围为：，且x为正整数 综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数； （2）由题意可得，， 解得， 则商品的售价为：元或元， ∵让消费者获得最大实惠， ∴这个月的销售单价是元； （3）的对称轴为直线： 则当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小 因x为正整数，则当时，，y取得最大值； 当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润 将代入得：，此时售价为 将代入得：，此时售价为 答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 15．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）当，则，解得：，则此时水面宽度为，原先水面宽度为，故可求出增加的长度； （3）设，则，由题意得：，则，故，由开口向下，且，得当时，． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点，顶点为， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：当，则， 解得：， 则此时水面宽度为， 原先水面宽度为， ∴水面宽度增加； （3）解：， ∴对称轴为直线， 设，则， 由题意得：， ∴， ∴ ， ∴开口向下，由， 得当时，． 16．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边的长为，矩形的面积为． (1)求与之间的函数关系式；（不要求写自变量取值范围） (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）根据长方形的面积公式即可求得S与x的函数关系式； （2）将代入即可求解，注意舍解． 【详解】（1）解：若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴矩形的面积， ∴S与x的函数解析式． （2）解：当，则， 解得：， 由题意得，解得， ∴舍， ∴． 17．(24-25九上·湖北荆楚联盟·期中)已知某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每星期可卖出300件．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件降价x元，每星期的销售量为y件，每星期的销售利润为W元． (1)直接写出y与x的关系式为________； (2)若每星期销售利润为6080元，尽量减少库存，应该如何确定售价？ (3)若该商品按单价不低于进价且不高于55元销售，则售价定为多少，才能使销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)56元 (3)售价定为55元，才能每星期的销售利润最大，最大利润是6000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． （1）由销售价每降价1元，每星期要多卖出20件，知每星期实际可卖出件，即可求解； （2）先列出的表达式，再令，解方程即可； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数基本性质求解即可． 【详解】（1）解：由销售价每降价1元，每星期要多卖出20件，知每星期实际可卖出件， ∴． （2）解：． ∴， 令， ，， 尽量减少库存，∴， 此时售价为（元）． （3）解：由题意得，， ∴， 又， ∵，∴当时，W随x的增大而减小， ∴当，销售价为时，W取得最大值， 此时，（元）． 售价定为55元，才能每星期的销售利润最大，最大利润是6000元． 地 城 考点07 二次函数与几何综合 1．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期中)如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当 时，的长最小，此时的面积为 ． 【答案】 2 【分析】过点作于点，连接，由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得，设，则，，由勾股定理求可得，可证得是等边三角形，结合等边三角形的性质可推出，由勾股定理得 ，据此即可求出最小时的以及此时的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由旋转的性质得：， ， ， ， 由三线合一可得：， 设，则， ， ， ， ，， ， 点为的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当时，的值最小， 当时，的值最小， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，根据题意作出恰当的辅助线，熟练运用勾股定理及二次函数的性质进行求解是解题的关键． 2．(24-25九上·湖北武汉武昌区部分学校·期中)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)直接写出A，B，C点的坐标； (2)点D是直线下方抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； (3)如图2所示，过A作两条直线分别交抛物线于第一象限点P，Q，交y轴于M，N，．当n为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含n的式子表示）；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为：、、； (2)点E的坐标为：，或 (3)直线过定点 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、面积问题、平行四边形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）对于，分别令和，即可求出答案； （2）先求出直线的表达式为：，求出，设．分①当是边和是对角线两种情况分别进行解答即可； （3）设点P、Q的坐标分别为：、，求出直线的表达式为：，当时，，同理可得：，则，即，联立和二次函数表达式并整理得：，则，，则，即，则的表达式为：，当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 当时，或3， 即点A、B、C的坐标分别为：、、； （2）设，代入B，C坐标可得 解得，， ∴直线的表达式为：， ∵B、C的坐标分别为、； ∴， 设． ①当是边时，如图： 依题意得，，在x轴上取点P，使得， ∴ 求得， ∴或 过P作的平行线交抛物线于D，则， 设，代入得 ， 联立得：， 解得或5， 代入可得D坐标为或； 同理，代入得， 联立得到，此方程无解． 当D坐标为时，由平移性质可得E点坐标为或 当D坐标为时，由平移性质可得E点坐标为或 E点位于第四象限，满足条件E点坐标为，或 ②当是对角线时 点D是直线下方抛物线上一点，点E位于直线上方， 点E在第一象限，这与条件不符，故此情况不成立． 综上，点E的坐标为：，或 （3）经过定点， 理由：设点P、Q的坐标分别为：、， 设， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， 同理可得：， 则，即， 设直线的表达式为：， 联立和二次函数表达式并整理得：， 则，， 则，即， 则的表达式为：， 当时，， ∴直线过点． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期中)已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E． ①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积； ②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：． 【答案】(1) (2)①3；②见解析 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）①先求出点，再求出点和点，用待定系数法求出直线的解析式为：，过E作轴交BC于点F，则点，则，最后由求解即可； ②设点，，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，求出，．设直线：，联立直线PE与抛物线的解析式．则，是方程：的两根，则①，设直线：，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，②，再求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且抛物线的对称轴为直线． ∴ 解得：． ∴抛物线的解析式为：． （2）①当时，联立直线与抛物线的解析式得： ∴ 整理得： ∴， ∴点， ∵抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， 令，得，解得，， 令，得， 点和点， 设直线的解析式为：（，且k，b为常数） 则有：，解得：． ∴直线的解析式为：， 过E作轴交BC于点F，则点， ， ∴ ， ， ； ②设点，， 如图， 联立直线与抛物线的解析式， 则，是方程：的两根， ∴，． 设直线：； 联立直线与抛物线的解析式． 则，是方程：的两根， ∴①， 同理：设直线：； 联立直线与抛物线的解析式， 则，是方程：的两根， ∴② ①+②得： ∴ ∵，，， ∴． 4．(24-25九上·湖北黄冈蕲春县·)如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点D为抛物线在第四象限内的一点，连接，直线交于点E． (1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标，并直接写出的函数表达式； (2)过直线E作轴于点H，以为对角线作正方形，当顶点G恰好落在抛物线上时，请求出点G的坐标； (3)连接，令抛物线L沿射线平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线L、的交点与点C、E构成的三角形是等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）将点、点代入解析式即可求出抛物线的表达式，令，可求的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）①当在的左侧时，连接，过作轴交于，设，由正方形的性质得 ， ，，代入抛物线解析式可求出，即可求解；②当在的右时，即可求解； （3）由勾股定理得 ，由抛物线L沿射线平移个单位长度得抛物线L向左平移单位长度，向上平移个单位，由平移的规律求出，可求出与的交点为，①当时，过作交于，由勾股定理得 ，即可求解； ②当时， ③当时，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的函数表达式， 当时， ， 解得：，， ， 设直线的函数表达式为，则有 ， 解得， 直线的函数表达式为， 故抛物线的函数表达式，，直线的函数表达式为； （2）解；①当在的左侧时，如图， 连接，过作轴交于， 设， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， ， ， ， ； ②当在的右时， ， ， ， 与重合，矛盾， 故此种情况不存在； 综上所述：的坐标为； （3）解： ，， ，， ， 抛物线L沿射线平移个单位长度， 抛物线L向左平移单位长度，向上平移个单位， ： ， ， 解得：， 与的交点为，如图， ①当时，如图， 过作交于， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 解得：， ， ； ②当时，如图， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 故此种情况不存在； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形综合，二次函数与特殊三角形综合，待定系数法等；能根据正方形顶点的不同位置及等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． 5．(24-25九上·湖北武汉东西湖区·期中)抛物线交x轴于，两点在的左边，交轴于点，且，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． (1)直接写出抛物线的解析式： (2)如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标： (3)如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为、，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出，，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，证明是等腰直角三角形，则的周长为，进而求得直线的解析式为，则，表示出，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）设，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，根据根与系数的关系得出，，进而得出，然后表示出、，再求比值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， 则，． 将，代入得， 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：设， ∵， ∴ 又∵轴， 则， ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∴ ∴的周长为， ∵，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为，则 ∴ ∴的周长为， ∴当时，的周长最大， 此时，即； （3）解：如图所示，连接， ∵， 设，， 设直线的解析式为，联立抛物线解析式得， 消去得，， 根据根与系数的关系可得 又∵ ∴ 设直线的解析式为，联立抛物线解析式得， 消去得，， 根据根与系数的关系可得 又∵ ∴ ∴，解得： 同理可得 ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与二次函数综合，面积问题，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．(24-25九上·湖北随州随州曾都区实验中学教联体联考·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点（不与、重合），当面积最大时，求点的点坐标及面积的最大值． (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①；②时，有一个交点；时，有两个交点；时，有一个交点 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）求出点坐标，再将代入进行求解即可； （2）过点作于点，作轴交直线于点，交轴于点，证明为等腰直角三角形，得到，求出直线的解析式，令，则，求出的长，根据二次函数的性质求出最大值得到结果； （3）①将坐标表示出来，得到，根据题意分两种情况进行讨论即可； ②由题意求出，得到与对应的函数值相等，从而得到答案． 【详解】（1）解：点的坐标为， ①， 令，则， ， ， ， ， ， ②， 由①②可得， ； （2）解：过点作于点，作轴交直线于点，交轴于点， ， ， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为：， 将，代入， ，解得， ， 设点， ， ， 当时，有最大值，此时，且， ； （3）解：①由题意可知，， ， 当点在点右侧时，， 此时线段的长度随的增大而增大，不符合题意； 当点在点左侧时，， 此时线段的长度随的增大而减小， ， ； ②， 由①得 当重合时， 解得 的对称轴为直线 与对应的函数值相等， 时，有一个交点；时，有两个交点；时，有一个交点． 7．(24-25九上·湖北武汉武昌区三校联考·期中)如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若点G为抛物线上一点，当时，直接写出点G的坐标； (3)如图2若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，经过A，B，C三点．经过圆心T的直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．求的值． 【答案】(1) (2)， (3)；详见解析 【分析】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数与角度问题，二次函数与定值问题； （1）由求出，，然后将这三个点代入计算即可； （2）取点，，交轴于，证明，，得到，点为直线、与抛物线的交点，分别求直线、解析式，再与二次函数解析式联立求交点即可； （3）先求出圆心，再设，，求出经过的直线解析式，再与抛物线联立得到，推出，，再求出解析式及其与轴于点，得到，同理，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ，， 将，，代入得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：取点，，交轴于，则，，， ∴，， ∴， ∴点为直线、与抛物线的交点， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴即直线与抛物线的交点点的坐标， 同理直线与抛物线的交点点的坐标， ∴点的坐标，； （3）解：；理由如下： 经过三点， 圆心在的垂直平分线，与的垂直平分线的交点处， ． 为抛物线上两点， 设，， 设经过的直线解析式为， 联立得： 即：， ，． 为抛物线的顶点， ， ， 表示为，即： 直线交轴于点， 令，得 解得， 同理， ． 故的值为． 8．(24-25九上·湖北十堰·期中)如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，． (1)求该抛物线的解析式． (2)连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且），过点作交直线于点，连接．设的面积为． ①求关于的函数关系式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】(1) (2)①；②详见解析 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形等知识． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）①利用待定系数法求得直线、和直线的解析式，求得，再分两种情况，利用三角形的面积公式列式即可求解； ②画出函数的图象，利用图象解决问题． 【详解】（1）解：，， ， 将，分别代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设， ①由可知， 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 将代入，得， ， 直线的解析式为， 联立，解得， ， 如图1，当时， ， ； 如图2，当时， ， 综上可知，； ②如图3， 对于， ， 画出图象，如图： 当时，对于每个S的值，存在3个P点； 当时，存在2个P点； 当时，对于每个S的值，存在1个P点． 9．(24-25九上·湖北武汉江汉区·期中)已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)长度的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角度和线段的关系是解题的关键． （1）代入，到抛物线，求解a、b的值即可； （2）过点作轴交轴于点，设，结合得出，得出，代入直线的解析式，解出t的值即可； （3）设，，依据题意表示出直线和的解析式，再求出交点P的坐标，结合的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线解析式可得定点坐标，再利用定点坐标确定长度的最大值即可． 【详解】（1）解：代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）如图，过点作轴交轴于点，则， 设，则， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， 解得：（舍），， 点的坐标为． （3）设，， 设的解析式为， 代入得，， ， ， 联立， 消去整理得：， 与抛物线只有唯一公共点， ， 整理得：， 解得：， ， 同理可得，， 联立与可得交点； ， ， ， ， ， ， 当时，， 即经过定点， ， ， 当时，长度有最大值， 线段长度的最大值为． 10．(24-25九上·湖北武汉东湖高新区·期中)抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． (3)如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，理由见解析 【分析】（1）由抛物线过点，对称轴为直线，利用待定系数法即可求解； （2）求得，，，得直线的解析式为，直线的解析式为，设点，求得直线的解析式为，进而求得，根据结合二次函数的性质即可求解； （3）设点，，求得直线的解析式为，同理：直线的解析式为，直线的解析式为，直线，的交点在直线上运动，求得，可知，整理得，结合直线的解析式，当时，，进而可知直线经过定点． 【详解】（1）解：由题意可得：对称轴为直线， ∴， ∵抛物线过点， ∴，可得， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，，解得：，， 即：，， 当时，，即：， 设直线的解析式为：，可得，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得，解得：， ∴， 则 ， ∴当时，有最大值； （3）过定点，理由如下： 设点，， 设直线的解析式为：，代入，， 有，解得：， 即直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∵直线，的交点在直线上运动， ∴， 解①得：，解②得， 即：，整理得：， 即：直线的解析式为：， 当时，， 即：直线经过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $